八下數學 46 三角形的邊角關係(3)：30-60-90度特殊角三邊比例、歷屆會考真題詳解、講義 51-53 及 81-82 頁核心攻略｜何肇忠老師 (最新課綱)

歡迎收看數學簡單,我是張老師 那今天晚上我們要教的是那個八年級就是國二的數學 目前進度呢是邊角關係的第三次上課 因為上禮拜老師有一些事故 所以導致那個課程就沒有上 所以我們今天就來上那個邊角關係的部分 那首先看那個51頁這邊來 我們今天要教的是特殊角 有多特殊喔 特殊角不外乎兩種 那第一種就是那個你們都知道的 等腰直角三角形 這可以把它做筆記做下來 何謂等腰直角三角形 顧名思義就是等腰又直角對不對 然後呢它的角度是45度 它是45、45、90度的一個等腰直角三角形 如果我把那個兩個股的比例給它設為1跟1 它有個特性叫做1比1比 不是壓壓厚 1比1比根號2 為什麼是1比1比根號2 因為它的斜邊就是根號的5平方相加 1平方還是1啊 所以1加1開根號就變根號2 這個要背下來喔 因為這很好用 當你遇到等腰直角三角形的時候 它的三邊比例關係叫做1比1比根號2 我舉個例子喔 譬如說今天題目這樣出啊 它說等腰直角三角形 然後呢這邊是5根號2 求兩股到底有多長 因為你有背過 背過什麼 背過遇到等腰直角三角形的時候呢 它的三邊比例關係啊 就是1比1比根號2 按照比例放大 欸幾倍 5倍嘛 乘5倍變5根號2 那乘5倍就好了 所以515、515 所以答案是5比5比5根號2 所以這種東西啊 按照比例放大縮小可以用的 一定要背下來喔 這是第一個 好再來第二個 第二個呢我們要教更特殊的 它就是所謂的那個 30、60、90度的特殊角的角度 那我也是不叫你們直接背喔 我先給你們一些想法 就是為什麼它會有這種東西 我們舉例好了 像那個正三角形 還記得吧 所謂的正三角形呢 它是三個角都幾度啊 都是60度 所以才稱之為正三角形 它是三邊等長 而且呢三個角都是60度 那如果說呢 我們前面有學過的那個 就是等到三角形 給它畫垂線 那一條線就會垂直平分底邊 因為你給它畫垂線的時候 這一條線 它不但是上面那個角的角平分線 也是底邊的中間垂直平分線 所以它是又垂直又平分底邊對不對 所以我舉例喔 如果這個邊長我設1 那這邊有沒有1 也是1 因為它全等 那1加1多少 就變2對不對 所以這邊是2那這邊呢 這邊也是2 那這個時候高怎麼斜 高要怎麼求 高的求法就是用 斜邊平方減谷平方開根號 對不對 所以這個谷怎麼求啊 這個高怎麼求 用斜邊的平方 2平方是不是4 4減掉1平方 是不是4減1 變成3 3要開根號 所以變什麼 變根號3 這個時候呢 我們就把這一塊 另外拉出來背 怎麼背呢 你看喔 當你遇到特殊角 遇到30、60、90度的時候 這邊是30度 這邊是60度 這邊是90度 當你遇到30、60、90度的時候呢 它的三邊比例關係 叫做1比2比根號3 哪邊是1 小角度對過來是1 哪邊是2 2最長斜邊是2 哪邊根號3 60度對過來 這邊叫做根號3 然後背下來 它的特殊角的比例 它是1比2比根號3 那怕同學不熟悉 我再畫一個 你們再告訴我 它要怎麼對應 看到這裡直角 這邊是30度 好 寫到不給你了 來 要寫它的三邊比例關係 怎麼寫 哪邊是1 有沒有 來 小角度對過來這邊是1 哪邊是2 直角最大對過來斜邊這邊是2 哪邊是根號3 這個沒有寫的是60度 所以對過來怎麼樣 這邊是根號3 所以當你遇到30、60、90度的時候 它的三邊比例關係 就叫做1比2比根號3 有沒有把它記下來 因為這很重要 好 那我們開始來講解 看那個第51頁來 這個概念一有的話 後面都很好解 很容易的題目 來我們看那個第一題 這個你有背下來之後 後面都是秒殺題了 你只要稍微動腦一下 答案就出來了 會解很快 它要求BC長 要求BC長 那你看一下 有沒有特殊角 我說老師沒有 對沒有 因為30、30是60 這不就120片鈍角 沒有30、60、90 沒有你不用擔心 你要自己去把它生出來 知道嗎 怎麼做呢 過A點畫垂線 你過A點畫垂線之後 它這個是等腰三角形沒錯吧 因為底角都30 對不對 所以它是個線對稱 那這邊10這邊也是10 再看喔 你畫高之後 怎麼樣 90度啦 30度 那這邊呢 這邊是60度了 按照我們所寫的 它的比例怎麼寫的 它是1比2比根號3 你把它寫出來 哪邊是1 小角度對過來這邊是1 哪邊是2 斜邊最長的是2 哪邊根號3 這邊 這邊叫根號3 它的三邊比例關係呢 就是1比2比根號3 然後你再看喔 這個2邊10的發生什麼事 5倍放大耶 所以把這1比2比根號3 按照5倍放大 所以51得5 它這個高原來是5 這邊黃色的這個高是5 這乘5倍變成多少 它變成5根號3 所以這邊是5根號3 那一此類推啊 這邊也是5根號3 對不對 所以它除了BC長 答案多少 答案是5根號3乘2 變成10根號3 那詳細的過程 同學自己再補一下 好不好 這第一題喔 有沒有覺得解很快 有啦 解超快的 好 再來看下一題 它有說角B90度 角C30度 欸度沒有寫到 30度 這2X光號度 3Y度 然後呢 它說豬是AC的終點 講到終點 那做記號啊 打兩撇 做獨家的記號 然後呢 它說球X跟Y 分別是多少 這是怎麼做 你看喔 有沒有學過 看到30度 看到90度 這不就60嗎 它的三邊比例關係 怎麼比的 1比2比根號3 哪邊是1 30度對過來這邊是1 哪邊是2 斜邊這邊是2 哪邊根號3 這邊是根號3 因為比例上是 1比2比根號3 對不對 結果寫完之後 你再看喔 這是終點耶 中間那一角是終點 終點不是把2給平分掉的 所以2除2不就1 所以這邊是1 這邊也是1 那你看喔 如果這邊1這邊1 這邊60度喔 60度的等腰三角形 就是個四個什麼形呢 它是個正三角形 所以它這邊60 這邊也是60 那這邊也60 所以3Y是60 那Y多少 3Y等於60度 那Y就是20 對不對 Y是20 好再來 那再來喔 那你要求這2X好不好求 好求啊 90扣60啊 那不就變30 所以2X10會等於30 所以X答案多少 答案是15 所以要求X跟Y 分別是15跟20 而且你還會知道個東西 因為這邊呢 三邊等長 這邊1這邊1 這邊也是1 所以這是個正三角形 然後這邊是等腰三角形 因為這邊說 斜邊這個豬的中點 它豬A等於豬B等於豬C 都一樣長 應該做一樣長的符號 這樣寫 這是第二題喔 好關於那個 斜邊中點的性質啊 在國三才會講到 好我們再來看那個 第三題 題目就這樣子而已喔 它要求X跟Y是多少 Y是求長度啊 X要求度數對不對 你會想到莫名其妙 求度數一定有問題的 什麼問題呢 你看喔 9跟18 先約分知道嗎 你就約分了嘛 919928 這裡還直角對不對 你會想的啊 哪一個特殊角 遇到這種情況呢 叫做1比2比√3 那個特殊角 叫做30 60跟90 哪邊是30度 1對過來這邊是30度 對不對 哪邊是60度 √3對過來這邊是60度 有沒有 它是1比2比√3 的比例放大的結果 所以9 按照9被放大 919928 9乘√3 這邊是9√3 所以Y是兩個9√3 所以Y多少呢 9√3乘2 答案叫做18√3 好那你要求S答案多少 答案就是30度啊 對不對 所以S答案是30 這是第三題 有沒有覺得很簡單 那條件是你要先把那個 特殊角的比例關係給記熟來 你沒有記熟就很難用 好 看那個第52頁 好接著我們繼續講那個 邊角關係的問題 好再一題 再來52頁 這裡可以打星號 那一樣都很重要 這種題目出來 這斷考必考 一定會考這一題 不考投給你 那麼這一題它說 已知呢 A珠長是9 C珠長是4 那圖中幫你寫好了 BC45 AB42 它形容那個圖的長度 然後最好先AC的長度為正整數N AC的長度 是正整數N 那N的值 正整數N 那N可能是誰啊 把它列出來 看答案會不會很多 我也不知道 來找一下 怎麼找呢 你看喔 這個我們有講過對不對 如果這個是N好了 這個第三邊範圍怎麼找 以上面三角形來看的時候 這個N的範圍 會比另外兩邊相加還要小 比另外兩邊相減還要大 所以這邊放一加一減 知道嗎 5個2相加 5加2 放這邊 那這邊放什麼 5減2 就相加相減啦 所以N的範圍怎麼寫 它會在7跟3之間 所以以上面三角形來看 這N的範圍 在3 7之間 可是以下面來看又不一樣了 所以有兩個都寫 以這三角形來看的時候 N的範圍怎麼找 N的範圍 一樣在相加相減之間 相加是9跟4 所以是9加4 右邊9加4 左邊是9減4 一樣在相加相減之間 所以N的範圍 就會小於13 但是會大於5 這兩個怎麼樣 要取共同的範圍 什麼叫取共同範圍 如果你真的忘記 就學我們上次那一招 去畫豎線 然後把數字標出來去畫範圍 看哪邊有重疊 那我們現在就比較精準來找 我教你怎麼找 你看喔 比7小比13小 你覺得比什麼小 會符合兩個條件 要比 所以要比7小 因為比7小一定比13還要小 再來喔 這個是大於3 這是大於5 我們這樣看 這是N大於3 算是3小於N沒錯 可是我這樣看 是N大於3 N大於5 大於3 大於5選哪一個 對 大於5 因為你大於5一定大於3 可是你大於3 未必大於5 懂我意思嗎 所以要挑大於3 大於5的 所以N要大於5 那題目說N又是整數 那答案剩一個 N整數誰啊 答案不就6 所以要說N是多少 N答案是6 我以為N很多答案 結果沒有一個 它只有一個答案而已 N答案是6 那這是第一題 這樣有沒有問題 沒有 我們看一下第二題 它給的條件分別是 X-2 還有X-3 X-4 你看喔 這三個線段可以構成三角形 要求X的範圍 首先我們會認為 它的三邊長都不能是負數 所以第一個條件怎麼寫 寫這一個 一定要大於0 X-4一定要大於0 所以X怎麼樣 它必然要大於4 一定要比4大 那比4大就這邊都可以了 這個就大於3 這大於2 那當然大於4就全部都有了 這是條件第一個 好第二個 這三個邊長啊 哪一個最長 你不要看到4它最長 不是啦 它-4 它最短對不對 是A-2的最長 A-2是最長邊 最長邊再怎麼長 都要比另外兩邊相加還要小 所以它會小於 這一個 加這一個 這樣懂意思嗎 A-2是最長邊 最長邊再怎麼長 都比另外兩邊相加還要小 所以它會小於X-3 然後加上X-4 它再怎麼長 都比另外兩邊相加還要小 所以A-2就會小於多少 把它整理一下 A加X是2X -3-4叫-7 把它整理 2X一過來-2 變-X -2一過來加2 -7加2是-5 這個時候小心喔 當你動到不等於是負號的時候 箭頭會轉向 所以兩邊乘負號不是沒事喔 你乘負號之後呢 它的方向改變了 變X大於5 得到這個結果 所以你想喔 我們現在要合併它答案 X大於4 X大於5 你挑哪一個 對 答案挑這個 因為X大於5的話 一定會大於4 所以它問你說X的範圍 答案叫X大於5 只要X大於5就可以了 這是第二題喔 這樣有沒有問題 我們再看第三題 它說三角形的ABC中 已知ABC是7 然後呢BC是9 好像說那這樣角C的話呢 判斷角C 它到底是銳角 還是鈍角 還是有沒有可能是直角 就角C的身分啦 是銳角嗎 鈍角嗎 直角嗎 我們也不知道啦 我們來畫圖好了 你就開始畫圖啦 我們用圖來去解釋它 它是ABC BC最長 那就畫一下 ABC BC比較長 ABC 大概這樣畫 AB是7 BC是9 對不對 這是C 那你看喔 我們現在的角度變這樣子 至少你會知道BC大於AB 對不對 那有沒有學過 大邊對什麼 大角對不對 所以大邊對大角 那小邊就對小角 對不對 所以你看喔 你的C 角C這個角 它再怎麼大 都要比角A還要小 沒錯吧 因為這樣子 我們再寫 就是因為 因為那個BC邊 會大於AB邊 所以BC對誰 BC對角A嘛 所以角A就大於角C 對不對 因為角A大於角C 那這個時候呢 你看喔 角A比角C大 那角C可以是直角嗎 如果角C是直角 代表說角A比直角更大 你的三角形喔 這個直角 這比直角還更大 相差超過180 那它怎麼辦 它沒有角了知道嗎 所以那個不可能直角 那角C可能鈍角嗎 你鈍角 你角C鈍角 那角A不鈍鈍 不是更鈍對不對 因為你都鈍角 它不是更鈍對不對 都大於90了嘛 那不行啊 那它怎麼辦 所以鈍角還沒了 所以則 則角C B為銳角 好 這是那個 第三題的說明 這樣有沒有問題 好 再來看那個 第四題喔 這也是棒棒題 打星號 很棒的一題喔 常常考在那個 進階的一些題型 在比大小 就這一題喔 同學會比到亂掉 我教你怎麼比 不會亂掉 來 看那個 53頁 的第四題喔 我先把圖畫下來 好 那要比較什麼呢 它要比較AB 跟BC 跟C珠 跟A珠 通常這種題目考出來 它不大會考選擇 一般都會考說明 說明或是證明題喔 就叫你說明它 誰跟誰打 就是叫你去把它排出來 你的理由是為什麼 ABBCC珠A珠 好了 沒了 那首先 我們就 好 首先 我們先把它角度算出來 好 它的角度呢 180 扣60扣68 這邊就52度 對不對 這邊呢 180 扣60扣63 這邊是57度 所以第一個 我們先把那個 位置的角度 給求出來 那求出來之後呢 我跟你講 這個很好比 你知道嗎 它們關鍵是說 你看 雖然是AB 它要比較 你看畫一下 它要比的是誰 你知道嗎 它要比AB 要比AB 比AB 要比BC 這邊 比BC 要比C珠 又要比A珠 它就是不要比B珠 其實關鍵在B珠 你知道嗎 關鍵是B珠 為什麼 因為 如果加B珠之後 這邊會有三角形 你比較這個三邊大小 然後這個加B珠之後 比這三邊大小 所以這兩邊 分別比三邊大小 再把它併在一起 答案就出來 你知道嗎 所以我們要這樣做 我們就 第一個 我這樣寫 我們先用說明方式來寫 第一個 在三角形 的BC珠中 BC珠中 因為 因為它的角度怎麼看 因為這樣子 角B是最大角沒錯吧 角B大於角珠 大於角C 角B 大於角珠 大於角C 所以 你看喔 B珠C沒錯 所以怎麼寫 所以B對過來是C珠邊最大 所以C珠邊最大 大於誰 角珠的 對過來是BC邊 過來是BC邊 過來大於是角C 角C對過來是B珠邊 所以大於B珠 這樣沒錯吧 第一個的結果 好看第二個 第二個呢 在三角形的這一個 AB珠 AB珠中 因為 因為一樣寫大小 角度怎麼排 角A最大 過來角珠過來角B 對 角A 大於角珠 大於角B 所以喔 所以角A對誰 角A對B珠 所以B珠會最大 然後大於誰 哪一個 角珠的 角珠往下對 對到AB 所以大於AB 那大於誰角B 角B這個對過去 A珠 所以大於A珠 對不對 然後再來呢 第三個 由一二可得 得什麼東西後來 我開始整理了 你看喔 我們剛剛呢 第一個呢 第一個是說明說 到最後呢 是C珠大於BC大於B珠 第二個說明說呢 B珠大於AB大於A珠 有沒有覺得好像延續下來了 對不對 C珠大於BC大於B珠 那B珠大於AB大於A珠 所以呢 C珠大於BC大於AB大於A珠 有沒有 就得到了 所以答案 所以可得什麼 可得C珠 大於BC 然後共同都有B珠 B珠我不寫 因為他沒有要比B珠嘛 再下一個 寫AB 大於AB 就停不下來AB啊 還有A珠 有沒有全部都出來了 大於A珠 所以則得證 由一二可得 極為所求 好不好 都要寫極為所求是嗎 寫極為所求 感覺硬硬的 很硬的感覺 極為所求 這樣有沒有問題 這是那個比較大小的問題 所以很容易嘛 只要兩邊 兩個三角形分開比大小 答案就出來了 是不是很容易 這第四題 這樣OK嗎 好第五題 他說如圖 三角形ABC是隻要有三角形 然後呢 角BAC90度 A珠垂直BC 他畫好垂直符號了 畫的方向跟我不大一樣 沒關係啦 那角B是50度 角C是10度 都寫好了 好再來呢 回答下一個問題 第一個說角珠AB跟角珠AC 去找一下吧 第一個要求的是 角珠AB 跟角珠AC 珠AB珠AC 你看喔 90度喔 50啊 這邊呢 180扣90剩90 扣50剩40 這不就40 這40旁邊就50啦 又懷疑了 因為90扣40不就50 所以呢 所以那個角珠AB 珠AB是40度 角珠AC就50度 那我畫的看起來根本就不像 不過沒關係啦 珠AC是50 我們的圖參考了 好再來第二個要比較什麼 又來啦 要比較這個咧 要比較A珠 B珠 要比較 C珠 A珠B珠C珠 我們把記號做一下吧 不然找不到 A珠B珠C珠 A珠 B珠 C珠 我看到了 那可以啊 那就開始動手啦 怎麼動手 我們在那個 在三角形的這個 AC珠來看 A珠C來看 你會發現哪個邊最大 誰大於誰 看得出來嗎 就是你這個 A珠跟C珠 A珠C珠做比較 怎麼看 這個對過來是這個 小角對小邊 大角對大邊 對不對 看得出來齁 它看得出來是C珠邊 會大於A珠邊 沒錯吧對不對 再看下面這個 三角形的BA珠 或AB珠都可以啦 AB珠齁 比較哪兩個 比較這兩個 有沒有 比較那個A珠跟B珠 A珠跟B珠怎麼看 因為小角對小邊 大角對大邊 所以是A珠 會大於B珠 所以由以上這兩個 可得什麼結果 C珠大於A珠 A珠大於AB啊 所以這 C珠大於A珠 又大於B珠 沒錯吧 都比出來啦 A珠B珠C珠 所以C珠大於A珠 大於B珠 這樣就對下來了 所以極為所求 折 折極為所求是嗎 這是那個 筆大小的問題 這樣有沒有問題 應該沒有啦 好再來我們看那個 快完了快完了 我發現內外角快講完了 不是內外角 那個邊角關係快講完了 那我們看那個在81 來看歷屆試題 那題目說 如下土三角形ABC中 AC等於BC 馬上做記號啊 AC AC等於BC 對還錯 AC等於BC 做記號 做等腰記號 所以這個角等於這個角 馬上做記號做起來 然後呢又小於AB 所以AB最大 這個大這個小 這個也小 小邊對小角 大邊對大角 那角一角二呢 分別是角ABC 跟角ACB的外角 這是外角這是外角 還有比較角一角二 跟那個 什麼角度的問題 來我們這樣看 因為我們有學過 大邊對大角 這是大角 這兩個都等腰的啊 所以小邊對小角 小小 所以兩個底角都小的 只有它大的 這大角 這兩個都小角 大概就知道這樣子而已 好繼續看 它說呢 這樣子角一會小於角二 是這樣子嗎 你看角一 角一的這個角叫外角 這個外角等於 對面兩個內角 叫小加大 那角二也是外角 它是小加小 有沒有看到 角一是外角 它是小的加大的 那角二是外角 是小加小 那當然是角一比較大 因為角一還是小加大 所以角一會大於角二 看得出來嗎 角一是外角 等於這加這 角二是外角 等於小加小 小加大比較大 所以角一大於角二 那AB就不用理它 AB都錯了 心學上說 角A加角二 小於180 這怎麼一回事 角A加角二 小於180 角A 再加角二 會小於180 為什麼會這樣子 你看喔 角二這個角 它是這邊加這邊 對不對 那它跟這兩個相加 才會是180 角二加這個角 纔是180 所以這個角 比這個角還要更小 那這兩個相加 就小於180了 對不對 這懂意思嗎 所以它心學上說 角A加角二 小於180對不對 當然對啊 因為角A再加上 這沒有名字 我給寫個三好了 寫個三 角二 不角A啦 角二 角二加角三 纔是180 我們就這樣看 看它關係 你看喔 我們的角二 角二在後面這個 角二的這個 它要加角三 纔是180 對不對 因為平角不是嗎 對不對 可是你看喔 我們角三的這個角 標注是大的 角二角二都有一樣 你角A這個角 比角三還要再小 這個標注是小的角 這兩個相加是180 那你還比它 角比它小 怎麼相加就比180還小 沒錯吧 所以這成立了 所以答案選的是C 這邊有沒有問題 OK喔 我們看那個 體幹的部分 它說呢 BC等於AC BC等於AC喔 這裡等於這裡喔 等腰 然後呢 注意兩點呢 分別在BC跟AC上 然後A珠垂直BC BE也垂直AC A珠BE較於F點 它說A珠是4 不好寫 我這樣寫 A珠是4 然後呢 C珠是3 C珠是3喔 A珠是4喔 那不是345嗎 那這邊是5 這邊也是5 沒錯喔 好 再來 它要比較的是那個 角FB珠 跟角FC珠 還有角FCE的關係喔 FB珠 我們把它畫出來喔 FB珠是這個角 好 FC珠 FC 欸 還有漏一個沒畫到 再漏一條線喔 FC珠 是這個角 還有一個是 FCE的角 FCE就這個角 還有三個喔 比這三個角的大小關係 那我們這樣看的話呢 嗯 有些角度我們可以把它先推出來 像這邊是3嘛 這不就2 5減3 這邊2對不對 好 它的BF呢 這個是什麼 這是斜邊長 斜邊長等於谷平方相加沒錯吧 所以BF的平方 平方厚 會等於 2平方就是4嘛 再加上F珠的平方 因為斜邊平方是谷平方相加 對不對 好那再來啊 我們看喔 那CF的這個呢 CF的這個 CF斜邊平方 它會等於這邊 一樣是9 再加上 這邊是3平方9嘛 再加上F珠的平方 為什麼要這樣寫喔 這樣寫你會發現喔 你會發現喔 F珠平方是不是都一樣 這邊是這邊9 所以誰大 CF大於BF 所以得到這個結果 CF會大於BF 如果CF的長 這比較長 大於BF 這比較小 這個時候呢 我們可以判斷出來 大邊對大角 小邊對小邊 剛好說那個 FB珠 會大於FC珠 結束了啊 就結束了耶 我們的A選項啊 有沒有 它的A選項給什麼呢 就給這個啊 角的 FB珠 會大於角的 沒有寫到角 會大於角的 好來 我把它寫一下 FB珠這個角 會大於角的 FC珠 那我們剛剛已經說明出來了喔 我們剛剛就這兩個做平方做比較 發現喔 BF的平方 就是這個的平方 是2平方加F珠平方 所以4加F珠平方 那CF的平方呢 這是斜邊平方 這兩個古平方相加 也是F珠平方加3平方 3平方是9嘛 所以9加F珠的平方 那這兩個都一樣 9跟4來比較 9比較大 所以CF會大於BF 對不對 那CF大於BF之後呢 那CF是什麼角 CF是什麼邊 是大邊 大邊對大角 所以這比較大 有沒有 這會比較大 那小邊對小角 所以這會比較小 所以我們在看的時候呢 會知道說 FB珠的角比較大 大於它 FC珠 那A選項就有了 所以答案選A 好 那這是那個第二題喔 好 那我們今天上到這裡啦