九上數學 35 點、直線、圓的位置關係(3)：切線性質與弦心距活用、畢氏定理實戰計算、講義第 6-7 頁｜何肇忠老師(最新課綱)

歡迎收看數學很簡單,我是張老師 那今天晚上呢,我們要教的是 九年級國三的數學 目前的進度呢,講的是 點、線、圓的位置關係 那關於那個切線性質 非常的重要 比如說那個,切線段等長 圓歪一點做切線 切線段一樣長 這個東西要知道 另外呢,切點跟圓心連起來 會垂直 那這也要知道,如果你都不知道沒關係 你把那個前兩個課程 再看過一遍 你先把它看著過來 這樣上課比較沒有問題 我們今天主要是教那個應用的部分 好,在那個講義的第六頁呢 我們直接從題目來下手 那我先把這個題目的圖 先畫下來 第六頁的第七題 這個呢,在圖上面看的話呢 你會發現 它這樣子畫 你會發現 從這邊開始 從這邊開始,這個點 我們定義叫做P好了 你有沒有注意到 它從P這邊,對這些圓 分別做切線 做切線 碰到一點嘛 做切線 然後呢,它是要求什麼,它要求A 要求A啊,怎麼會這樣求呢 其實這裡送分題,為什麼 因為切線段等長 有沒有,所以這一段 A等於這一段 以這個來看的時候 切線段等長,這裡又等於這裡 這裡又等於這裡 這裡又等於什麼,等於A 所以A不用算了,答案就是4 理由是根據 切線段等長 圓外一點做切線 切線段等長,所以每個都一樣長 全部都切線段 剛好都是啦 所以A答案是4 那個這個有沒有問題 第八題 那第八題呢,這也是一種 切線性質的一種應用 那你看第八題 它這邊畫垂直 所以你會知道,這個地方就是切點 對不對 這裡又畫垂直,所以這個地方 它也是切點 那兩個切點,它把圓心連起來 這邊有一個交點,這邊是A 那其中的話呢 邊長這邊4,這邊5 這邊是A,這是B,這是C 它的目標是要求ABC ABC分別有多長 其中呢,這個A最好求 因為根據我們背的 只要三角形,它的三邊比例關係 幾比幾比幾,3比4比5 有沒有,所以A答案就是3 因為345嘛,5要在斜邊 5最長在斜邊 345,這樣子沒有錯 所以A答案是3 再看喔 這兩個三角形 你有沒有注意到,它很特殊 我們還剛學過的 它是一個相似三角形 AA相似 因為對頂角相等 再加一組 兩個都直角 所以它是AA相似 相似以後怎麼樣 相似以後對應變成比例 這個10是直角對過來的 這個直角對過來是5 這個5,這個10 放大幾倍 兩倍大 5變成10 直角對過來是10 5變10,兩倍大 所以這邊的長度 4就會變成8 然後呢 這邊是3 4會變成8,所以這裡是8 對不對,圈圈對過來是3的 兩倍大之後 圈圈對過來 就變成了6 所以要求ABC分別是多少 A是3,B是6,C是8 這是第八題 這樣有沒有問題 也是很輕鬆的一題 看第九題 這裡是很常見的一題 同學如果沒有遇到 沒有遇過,有時候發現他想不出來 怎麼處理它 這也是你聽過一次你就會的 我們看第九題 這裡是很標準的一題 務必要打星號一定要學起來 這一題 它題目是說 如圖 圓O分別有 AB射線 跟BC射線 還有一個是CA的射線 它跟這個圓 分別切於 珠1F3點 也代表說 這個珠它是切點 這個1也是切點 這個F也是切點 它有三條切線 一個是A珠切線 一個是BC切線 一個是AC的切線 這樣沒錯 它說A珠長是10 這裡的長度是10 問你說 三角形 ABC的周長是多少 這裡有點奇怪 它求的是三角形 ABC的周長 已知的話是A珠是10 那你要怎麼做 這裡我們這樣看 我們有說過 因為圓歪一點做切線 它會造成切線斷等長 所以你A珠是10 那F也是10 因為切線斷等長 這裡是10 再看喔 我們的目標是要求這個三角形 ABC的周長 我畫線畫起來給你看 看得更清楚 我要求這個的周長 對不對 可是你會發現沒辦法這樣直接求 但是我們可以怎麼做呢 我們可以這樣想 對B來說 B也是圓歪一點做切線 然後呢 切線斷等長 所以B珠打兩撇 等於B1打兩撇 再看喔 C也是啊 圓歪一點做切線 切線斷等長 我給它打一撇好了 打一撇 所以CE等於CF 再看一次喔 所以BE等於B珠 CE等於CF 那你要求這個藍色三角形 的周長 那我是不是可以把這個BE移出來 因為BE等於B珠啊 所以BE移到這邊來 BE移出來 再來呢 CE呢 把它扳下來 BE移過來喔 把CE移下來 結果你要求這個的周長 就是AB加B珠 也是AC加CF 那AB加B珠不就10 那這邊也是10 所以這個三角形的周長 答案就是20 有沒有想到 可以這樣做喔 那過程要怎麼寫 我寫這裡喔 三角形的 ABC 它的周長喔 我們本來是三段加起來 哪三段呢 分別是AB段 還有AC段 再加上BC段 那其中呢 我們把那個BC拆開 BC拆成BE 加CE 所以AB加AC 我照抄 但是呢 這個BC被我拆開了 拆兩段 拆成BE跟CE 拆成BE 加CE 這理由是因為 這裡喔 是因為我把它分割了 好接著繼續喔 那AB加AC 再加上 我把BE換掉 我把BE換B珠 換B珠理由就是因為 切線段等長 我把CE換掉換成CF 所以呢也是因為切線段等長 結果你看喔 我們重新再重組過之後 AB啊 這樣畫很奇怪 這樣太多線了 你看喔 AB加B珠 AB加B珠是A珠啊 所以這兩個合併會變成A珠 就AC加CE AC加CE會變成AF 變成A珠加AF A珠加AF 答案就是10加10 所以答案是20 這裡如果考非選 那你就要這樣寫喔 如果沒有考非選沒關係 答案就20 因為切線段等長 所以從這邊的周長就是A珠加AF 所以答案是20 這題有沒有問題 很棒的一題喔 這常常在那個選擇或填充會遇到 非選我倒很少看到 那如果非選考出來就要變成要這樣寫 你要寫個流程給老師看一下 這第九題 好看那個第七頁 好第七頁開始呢 我們要教的是那個 弦心距跟弦的一些 球弦長的應用 弦心距還記得吧 就是你把那個弦的終點 跟弦心連起來 那個距離我們就稱之為 弦心距 而且弦的終點跟弦心連起來 它會垂直 那關於那個簡易的證明我們上次有說過 就不再說囉 那我們看那個在第七頁這邊 的第一題 我們從題目來下手 它題目會怎麼出 我先把它原化一下 這個題目比較簡易 它是有一個AB弦 然後呢 弦心這邊給的是O 來馬上我們來看這題 如圖呢 原O的半徑為13 我們這樣做記錄啊半徑就是R R等於13 然後呢AB的弦心距 是12 你看喔它有說 AB弦的弦心距 什麼叫弦心距 就是弦的終點跟弦心連起來 它一定會垂直 那這個距離我們就稱之為 弦心距 這一段 垂直的這一段 這個剛好是終點 這個長度呢題目有說 它是12而題目沒有畫出來 你把它畫出來給它寫12 所以這邊是12 它要求什麼呢它要求AB到底有多長 AB的弦長是多少 你現在這樣做 你把那個OA連起來 為什麼要連它 連它很單純嘛因為題目有說半徑是13 所以OA就13 好那你有背過啦 什麼12 13 你再搜尋一下什麼12 13 什麼12 13 5 12 13 所以這邊答案是5 那時候你沒辦法背到的 你就斜邊平方減谷平方 開根號就13平方 減掉12平方開根號 那一樣是5 那求出來5之後呢5加5 這邊5這邊也是5 你這邊是5喔這邊也是5 兩邊都是5 5加5 所以AB長答案是10 那這題應該比較簡易啦 所以我們就過程這樣帶過 這個比較不會考非選 考非選我投給你 這頂多考選擇題又填中題而已 這樣子有沒有問題會算齁 好下一題啦 看那個第二題 好第二題開始就把那個題目呢 做一些小小的變化 一樣是求那個弦跟弦進去 做一些變化 好第二題它題目是說呢 它是AB 平行C珠 然後OM垂直AB OM垂直AB喔 這裡有垂直符號喔 再畫一次 它有說平行啊所以這裡有垂直這邊也有垂直啊 因為同位角相等對不對 然後呢它說已知 ON等於MN ON的這一段 做記號等於MN 這兩個是一樣長的喔 ON等於MN 然後AB長又是12 欸注意喔 它給AB長顯12 顯長12那超難用的 你給它切一半你知道嗎 AB長12我知道啦切一半答案是6 這邊寫6就好了你不要給它寫12 你寫12反而不好用這小技巧 然後C珠長是18對不對 18是這整段長啊 一樣給它切一半一半就是9 你這樣會比較好用 它說圓O的半徑為多少 你看這裡有多缺 不是啦多麼的有勇氣 它叫你去求圓O的半徑 圓O的半徑在哪邊呢 其實就是 OC OA OB O珠 都是圓O的半徑 然後我把半徑代號給它設R 習慣上啦 我就把圓的半徑 圓的半徑一般我們的習慣都設定 它叫做R 半徑是R 半徑R之後你發現呢 你把這OA連起來 我用那個 藍色好了 OA連起來喔 這裡是半徑 OC連起來這裡也是半徑 你有沒有注意到 這兩個半徑都分別跟 兩個直角三角形會有關係 而且還跟 這兩個長度相等的有對應到 所以這個時候呢 我們雖然說知道是要求圓的半徑 要求半徑R 可是你不要直接設半徑R是微之數 你要去設這兩個長度是微之數 所以我去設什麼呢 我假設 假設MN ON 都是X 因為題目有說嘛這兩個一樣長 它是ON等於 MN 那都等於X 這兩個相等是題目的已知 但我給它都設X 所以這邊我寫上去喔 這邊是X 這邊也是X 所以你看喔 以這個三角形的 OMA來看 你看那個三角形的 OMA 它是個什麼形 直角三角形 這個時候OA是不是斜邊 斜邊就是半徑 所以我寫半徑就是OA OA的平方 會等於什麼 古平方相加 古平方有誰 有這裡跟這裡 這裡的長度是2X 所以等於2X 的平方再加上 6平方 這個是因為這個情況下 再來我們再看喔 在這個ONC三角形 ONC三角形 你也發現了 OC又是斜邊 斜邊也是半徑 OA跟OC根本就一樣長 因為它是半徑 所以OC斜邊的平方 等於古平方相加 這個是古 這個9也是古 所以它是X平方 再加上9的平方 結果你再看一次喔 我們可以列等式了有沒有 因為OA等於OC 都是半徑R不是嗎 所以這個時候後面的這一個 就等於這一個 列等式 這兩個會相等 所以這個我把它乘出來 2X平方乘出來之後 答案就是4X的平方 再加上這邊6636 會等於 這邊是X平方招潮 99是81 我把這裡一過來減 所以3X平方 會等於多少 36一過來減36 81減36 先算一下45 應該沒有錯吧 然後把31乖除以3 31乖除以3 所以X平方等於15 等於15之後呢 這個不要開根號不要理它 因為我目標是要求半徑 哪邊有半徑 OC OA都是半徑 所以OC是半徑 那半徑平方等於什麼 古平方相加 因為這是斜邊嘛 它的古是X跟9 所以X平方加9 X平方有沒有答案 有了在這裡 就是15 所以你這樣寫 R平方就會等於 X平方是15 所以15再加上 9平方是81 所以15加81答案是96 兩邊同時開根號 右邊加正負 可是因為半徑沒有負的 所以你寫非選要這樣寫 R就等於正負 根號96 那這個如果要化解的話 你再把它整理一下 那96它是16去乘以 16乘6 16開出來是4 所以是4根號6 正負的是 根號6 但是負不合 所以半徑多少 答案是4根號6 取正的 負不合 寫非選一定要這樣寫 你不要突然給它寫正的 老師說你有小毛病又扣個幾分去了 基本上是兩邊同時開根號 右邊加正負 但註明說負不合 寫非選這樣做 如果沒有非選是選擇題 寫開心就好了 R就是取這個 再化解一下 這個化解過後 如果你忘記可以使用短除法 去慢慢享受一下 這是第三題 這樣有沒有問題 沒有 再換下一題 我們看第七頁 的第三題 這是第二題 第三題 今天狀況那麼多 這第二題題號標錯 我纔要準備講第三題 這第二題更正一下 題號是2才對 再看下一題 下一題才第三題 這樣題號就不用查了 留著繼續用 第三題 我把題目的意思再描述一次 如圖 OT垂直AB 與M OM廠是二分之一MT OM廠 是二分之一MT 你的想法這樣子 OM的長度 題目說是 二分之一MT 我先把它寫下來 然後原O的半徑為 12公分 求AB有多長 原O的半徑為12 半徑12什麼意思 你把OA連起來 長度就是12 半徑12這個意思 然後求AB廠 其中你會發現 我把OM算出來 AM就出來 AB也跑不掉 重點是這個東西怎麼去處理它 我把兩邊都乘2 2OM 等於MT 這個時候OM 比MT 的比例你要寫幾比幾 你要寫1比2 還是2比1 內層內外層外要變回去 內層內要1MT 外層外要2OM 所以答案是1比2 這樣寫法就不會錯亂 知道嗎 OM比MT的比例是1比2 因為內層內1MT 外層外2OM這樣寫沒有錯 1比2 所以比例上來講的話呢 這邊是1這邊是2 比例是1比2就2比1 2比1之後呢給它設R 2R跟1R 這樣會錯亂 R又是半徑 現在把它當作比例來看就很奇怪 不要是R 我們現在這邊的R都用半徑比較多 怕寫R之後同學會亂七八糟的 既然是2比1的話 我們就簡單這樣想 你是把12分幾份 12分成了2加1 3等份 12除以3多少 答案是4 所以MT有多長 乘4倍之後428 乘4倍之後414 理由是2比1 一共是3等份 其中這也是半徑 半徑是12嘛 12除以3不就是4 所以變成4之後一等份是4 給它乘4倍大 所以4284148加4是12 所以半徑一樣長沒有錯 要求AB長先求MA MA怎麼求 MA就是谷 谷要怎麼做呢 斜邊平方減谷平方開根號 斜邊是12 所以是12的平方 減掉4平方開根號 那12的平方多少 12平方是144 減掉4平方是16 所以144減掉16變根號幾 根號的 這邊是8 128 那根號128之後呢 再把它整理一下 根號128要怎麼整理它 短除法 短除法是整理最有效的 128 就用短除啦 用二除64 64之後8跟8就好了 因為我們開根號是兩個兩個算一個 8864 所以兩個8算一個82不要出來 所以答案是8 根號2 問題是這個的長度是哪邊的 它是MA的 它要求AB的斜長 那就是MA加MB 可是都一樣長啊 所以8根號2乘2 那8根號2乘2多少 答案就是16根號2 所以這題呢 它要求的AB長 答案這裡16根號2 這樣有沒有問題 這個是講那個弦跟弦心距 它們的一些關係 再來呢 再來剛好 這些告一段落 今天上的比較少 好沒關係啦 我們下禮拜也是接著要上 我們這一次段考的範圍就是把這原講完 那剩下課程我們就再安排好了 因為等一下我們要做一些 理化的筆記 我又怕時間上會時間不上 好那我們就今天先上到這裡 掰掰