九上數學 45 圓心角、圓周角及弦切角(3)：平行線截等弧性質、圓內接四邊形實戰應用、弦切角進階練習、講義第 39-42 頁｜何肇忠老師(最新課綱)

歡迎收看數學簡單,我是張老師 那今天晚上我們教的是九年級國三的數學 目前的進度講的是 圓心角、圓周角跟斜切角的一些相關的題目 那上次有一題實在是太芭樂了 那個解題有錯誤 加法加錯就算了 連帶那個後面的解題的過程都錯了 兵敗如山倒,一錯錯到底 那這裡又把它重新說過 在那個第39頁的第5題 這裡我重講 因為實在太糟糕了 這裡講得不好 把它重說一次 第5題 有時候解題就那麼奇妙 就是你在一錯一慌張的時候 的確會這樣子 就是那個會 就是開始就會亂了陣腳 所以有時候考試的時候信心很重要 在考前的時候稍微深呼吸一下 調養一下你的那個情緒 你在作答上就會比較順利 尤其那些緊張型的 有些考試會緊張的 你在考前就稍微先深呼吸個幾次 兩三次 然後再開始再作答 這樣會穩定你的情緒 就不會這麼慌張 有時候明明就是你會 但是會太緊張了 結果就弄錯了 來看那個第5題 他說兩個圓呢 交於AB兩點 那CB豬三點貢獻 而且BC虎是90度 這裡是90度 看到就要寫了 再來角C35度 這裡35度 35度 再來那個要求 AB豬虎的度數 他是要求這個虎AB豬 AB豬的虎度是多少 把它算出來 那我開始看了 有哪些東西我們可以對應跟使用的 那其中這邊是90度 那麼角CAB什麼角 它是個圓周角對不對 圓周角度數是虎的一半 90一半不就45 所以角CAB是45度 好有了這個時候呢 我們會發現 這個是圓周角35度 對過來AB虎是70度 不過有沒有幫助還不知道 我們再看一下好了 然後他是要求虎AB豬 那哪邊是虎AB豬呢 我用紅線畫起來 虎的AB豬從這邊開始 A開始到B 一直到豬對不對 你要求虎AB豬 那換句話說 你也可以求A豬虎 再用360 扣掉A豬虎對不對 因為看起來那個AB豬虎無法直接求 除非你要求到這個角 角豬圓周角對過來AB虎 這個虎是兩倍大對不對 或者是說你要求到這個角 這個角出來之後對過來是B豬虎 然後這是這個角的兩倍大 然後這兩相加變AB豬虎 可是怎麼看的話會發現 這個角似乎也沒辦法直接求 然後這個角也無法直接求 那我們再看哦 利用這兩個角 我可以推出來角AB豬幾度對不對 角AB豬這個角 角AB豬是一個圓周角 那這個角呢 它也是這個三角形ABC的外角 我們說那個外角等於這兩個角相加 外角等於對面兩個內角 35加45 答案就是80度 我們上次就這邊有加法加錯 然後又改了一次 這邊是80 這圓周角 這圓周角對過來 對過來這個A豬虎幾度 兩倍大 80乘2 答案就是160對不對 160之後呢 它要求的AB豬虎用360 扣掉160 所以AB豬虎多少 答案就是200度 那不用再除2 上次可能一解錯的時候又慌張了 老是會慌張哦 所以就算錯了 再給它除2一次 其實不用除了 AB豬虎答案就是200度 這樣有沒有問題 那這是第五題 因為一錯再錯 乾脆重講過好了 這是第五題 這題題目是說呢 ABCDE是一個正五邊形 而且頂點都在圓上 那P豬是一條切線 要求角P豬1 那P豬1變什麼東西啊 鹹切角對不對 為什麼這樣說 因為呢有切線會有鹹 有鹹 有切線 這個角角就稱之為鹹切角 那鹹切角度數呢 是這個虎的一半 豬一虎的一半 所以你只要求出豬一虎 再把它除2就好了 那豬一虎好不好求 好求你看哦 這什麼形 這是個正五邊形 正五邊形五邊都一樣長 五邊如果一樣長的話呢 我們說過等鹹對等虎 也代表說哦 這五個虎都一樣大 這A一虎啊 E豬虎啊 豬C虎全部都一樣大 那一圈360直接去除以5 把360度去除以5 除以5之後呢 答案是72度 所以每個虎都72度 換句話說豬一虎怎麼樣 它也是72度 這個時候呢 角1P豬1的角 鹹切角 是這個虎的一半 所以把這72除2 答案就是36度 這是第一題 加盟一題 小題目了 記得 等鹹對等虎 然後鹹切角怎麼求 是這個虎的一半 好再看那個第二題 第二題的題目是說呢 這PA跟QB 都是一個射線 然後切圓於AB兩點 所以AB叫切點 這個是切點 這個也是切點 然後呢 角CBQ是25度 來找一下CBQ CBQ這個地方 是25度 把它寫上去 然後呢 角Q40度 這裡是40度 它要幹嘛 它要求AB虎的度數跟角A 兩個東西 要求AB虎到底有幾度 還有角A是幾度 這兩個要我們算出來 來我們看一下 利用這些已知條件 怎麼樣求出AB虎 跟角A 你看喔 AB虎的這個虎 這個虎對過來的圓周角是這裡 有沒有 角ACB 那麼這個角ACB好不好求 角ACB根本就很好求 怎麼說 還有這個BCQ三角形 角C的外角 有沒有 ACB這個地方 它是這個三角形CBQ的外角 外角等於這裡加這裡 所以25加40 答案就是65度 所以這邊是65度 65度之後呢 AB虎怎麼樣 兩倍大乘二 所以這個角ACB求出來65度之後 這個AB虎的話呢 就是等於這個角的兩倍大 因為圓周角是AB虎的一半 所以除二變它 它變過去要乘兩倍 所以AB虎是65乘2 答案是130 所以第一個AB虎答案就是130度 再來第二個是要求角A 角A什麼角 角A叫圓周角 對哪裡 對這裡叫BC虎 可是BC虎你再看喔 這個是切點 這個是弦 這是切線 這什麼角 弦切角 弦切角度是誰的一半 注意看 它是BC虎的一半不是嗎 所以BC虎幾度 那BC虎的話呢 它就是25的兩倍 25的兩倍多少 答案就50 乘二之後變50 50度 那如果BC虎50度 那角A呢 50的一半啊 所以答案是25度 有的時候其實你會發現 這個虎是BC虎 它對到圓周角是角A 它的弦切角是這個角 在哪個角度怎麼樣 一定會一樣大 因為都是BC虎的一半 所以你也可以不用算了 這邊25度這邊怎麼樣 保證25度 因為都是BC虎的一半 有沒有幹嘛算 所以答案25度 這樣沒問題 這是第二題 第一題 題目是說呢 角A豬B是32度 來找一下A豬B A到豬到B 這裡啦 A到豬到B 這裡32度 寫上去了 那個圖真的給很小 你還是要寫上去 寫得比較清楚 再來角豬EC 78度 豬EC這裡 這裡是78度 然後呢求兩個 還要求C豬虎 要求角ACB C豬虎是多少度 然後角ACB 又是多少 問這兩個東西 好我們看 C豬虎在哪裡 C豬虎是這裡 這裡的話呢 它的角度是看哪邊 看這個角A 有時候在C豬虎呢 它是個弧度 它要對過去的圓周角在這裡 所以這個角我求出來 C豬虎不是問題 所以問題是說 這個角到底是幾度 這裡有幾度 那怎麼求呢 又來了 你看到沒有 這個是A豬E三角形 這個是外角 頂點還是外角 外角等於這裡加這裡 所以角A好不好求 所以角的豬AC 我們就會用這個 用外角78扣掉32度 所以78度扣掉32度 答案是46度 所以角豬AC怎麼樣 46度 這邊46 因為這兩個相加等於它 所以78扣32變46 那麼C豬虎呢 是這個圓周角兩倍大 所以把46乘2就好了 46乘2 答案就是92度 所以第一個 C豬虎92度 再來第二個呢 它要求的是角ACB 你看喔 ACB在這裡 那這個角對誰 對AB虎 它是AB虎的一半 所以你會發現喔 AB虎這邊又對到這32度 對啊 圓周角對同虎喔 這邊也是對AB虎 這邊也對AB虎 都是AB虎的一半 所以怎麼樣 都是32度 你32度 它也32度 所以它要求這個角ACB 答案就是32度 根本就不用算了 因為圓周角對同虎 角度會相等 同樣的 這邊46度 那這邊呢 也是46度 為什麼 因為都是 圓周角都對C豬虎 所以圓周角對同虎 這兩個怎麼樣 一定會相等 都是46度 這樣有沒有問題 它沒問這個 它問的是這個 所以角ACB 答案是32度 這是第一題 容易 簡單對不對 好 再來 我們看那個第二題 好 第二題要說呢 如圖呢 ABC豬是圓O上相依四個點 那角A是110 角A是110沒有寫 馬上寫 110度 在這個角B是80度 多寫一寫 80度 然後呢 C豬 CO垂直D 這裡有垂直 然後折 折問兩個東西 角E幾度 角E是多少度 然後第二個呢 要求角2 角2幾度 好 那照理說這邊是90度以後呢 這個兩個角不會給你 你要自己去推 所以你看 這什麼形 等腰只好三角形 因為半徑都一樣長 180減到90除2 所以這邊45這邊45 應該後來還求出來的 那角E這個角 你要怎麼辦呢 你要說在圓周角要對什麼 對不到 有沒有 圓周角是沒錯的 要對不下來 因為這邊這個沒有延伸下來 再看 我們說過 圓內接四邊形 對角互補 有沒有 怎樣補 這樣補的 就說這個角 跟這個角 相加是180 所以180扣110 上面就70 所以這兩個相加是70 那角E怎麼求 我用70度 扣掉45度 所以答案就是25度 所以角E25度 好 再來 一樣的情況 圓內接四邊形 對角互補 所以角B的對角 對哪邊去 對到這邊來 所以這是圓內接四邊形 怎麼看 這個 圓內接四邊形 所以這兩個相加是180 180扣80 那就100 100再扣掉45度 所以100扣掉45度 角2答案多少 55度 所以分別是25度跟55度 這第二題 也是很容易對不對 OK 好 再來看那個下一題 好 我們看那個第三題 它題目是說這個四邊形ABCD 是一個圓內接四邊形 四個點都在圓上 叫圓內接四邊形 而且AB平行CD 它是T型 T型上下底有平行 然後它說C珠為直徑 角AC珠24度幫你寫好了 要求AB的弧度 還要求這兩個角 角CA珠跟角CE珠 來 我們來看一下 它的答案都在題目裡面了 你要求AB弧 你要怎麼求 我們分別來看一下 這個什麼角 這個是圓周角 24度 那對過去A珠弧呢 兩倍大 圓周角多數是弧的一半 就A珠弧除2變24嘛 所以兩倍乘過去 A珠弧是48度 如果這48的話 告訴你這邊也是吧 為什麼 因為平行線會解等弧 平行的線會解等弧 這48 這邊也是48 所以BC弧也是48 那AB弧呢 要去扣啊 一圈360 上半部一半 就180 180扣48扣48 所以180扣掉96 這邊最難的 減法很不好減 真的不好減 0減6是4嘛對不對 17減掉9是8 84度 所以AB弧是84度 好了之後呢 再來求角CA珠 CA珠哦 欸CA珠太棒了送分 為什麼要 直徑對不對 直徑以下是半圓 半圓的話這個弧是180度 這什麼角 圓周角 就對半圓啊 所以一半答案是90 其實你有看也知道 只要直徑對過來的這個角度 都是直角90度 所以角CA珠是90度 那角CE珠呢 CE珠哦 CE珠 CE珠怎麼辦呢 CE珠是這個角 這個角的做法的話呢 兩種啦 這邊24啊 那這邊呢也24 為什麼 不是因為這要對應到 是說48這樣對過來 圓周角48的一半 這邊是24度 對不對 24度 那你要求角CE珠的話呢 180去扣 三角形 內角是180 180扣24扣24 得到它 所以180扣掉兩個24嘛 扣掉48 減法最難的 相減是2 變成7減掉4是3 132度 所以角CE珠132度 答案都算出來了 這是第三題 這樣有沒有問題 圓內接式邊形的體型 也算容易啦 它說呢 它說AB跟C珠為圓的兩弦 AB是弦 C珠也是弦 而且呢 AB會平行C珠 我有說過 平行的線會接等弧 先做記號 免得再忘記了 這兩個是一樣大的弧度 然後呢 BC1弧是110度 這邊到這邊是110度 BC1弧 角C珠132度 C珠1這裡 32度 然後它要求角A1珠 A1珠找一下 哪邊是A1珠 A1珠 A1珠這裡 要求這裡是幾度 對不對 好 那怎麼做 可以啊 32度啊 這什麼角 圓中角 然後對過來幾度 兩倍大 64度 這裡全部是110 扣64得到這個弧 所以110度 扣掉64 減法最難的 相減變多少 10減掉10是6 這邊剩10 借它了 剩10 46 所以這邊是46度 老師有說過 平行線接等弧 這邊46對過來 這邊也46度 46度之後 這什麼角 圓周角 我就要求那個 A珠46 一半多少 答案23度 所以要求的是角A1珠嗎 A1珠 答案就是 這個A珠弧的一半 二分之一A珠弧 所以答案是23度 這是第一題 這樣子OK嗎 很容易對不對 很容易啦 我知道 大家多練習啦 好 再看下一題 好說呢 AP AP是一條切線 切到P點 所以是P點 自己注意一下 而且呢 AP又平行BC 有沒有說過 平行線怎麼樣 會接等弧 有沒有 接等弧什麼意思呢 就這個弧 BP弧 等於CP弧 叫做平行線位接等弧 這要自己先做記號起來 因為題目不會告訴你 你一定要自己做記號 然後角1是24度 角1在哪邊 這邊是24度 它要求什麼 它要求的是角珠 太輕鬆了對不對 你看 它要求角珠 這裡是24度 什麼角 圓周角 角124度 那麼CP弧呢 兩倍大 24乘2 48度 這48 那麼PB弧 一樣也是48 因為平行線會接等弧 這裡48 這裡也48 4848出來之後 什麼角 角珠 角珠在這裡 什麼角 這是圓周角 你把它邊長延伸去看 這樣延伸過來 延伸過來 就這個弧的一半 有沒有 它是BPC弧的一半 等於二分之一的BPC弧 那麼BPC弧多少 BPC弧是96度 48加48 96 所以二分之一乘96 96除二之後 答案又變48了 所以那個角珠答案是48度 這樣沒問題 這是第二題 你們老師可不可以想睡覺 應該不會 跟你講 每次我上課的時候 師母聽到我上課都睡著了 她現在就在睡覺裡 好神奇 只要我講話就睡覺了 太不可思議了 神奇的魔力 以後她絕對不會失眠 只要睡不著就放我的教學影片給她看 她馬上秒睡給你看 這個是41的這一題 她現在睡著了 講到壞話她聽不到 來看那個 41 來看那個第三題 那麼ABC除以 圓上的五個點 而且AB平行C1 然後B平行C2 看一下 它有說AB平行C1 BC又平行C珠 我們有說過 平行線會結等弧 先做記號做起來 因為這樣子平行 所以這個弧等於這個弧 結果你又說這樣是平行的 所以這個弧又等於這個弧 我發現有三個弧可以做一樣的記號 接著再看 它說角1是28度 角1這邊28度 然後角3是62度 角3是62度 要幹嘛 它要求角2 沒有幹嘛 求這個而已 就缺這個角2不知道 把角2給求出來 那我們看一下 可以怎麼做呢 首先這邊是28 對哪裡 對這裡 28的兩倍大 這邊是56度 所以C珠56度 62度是對這裡 圓中角 角3對這裡 對AB弧 兩倍大 62乘2 1 62乘2 124 124度 結果124加56 180 剛好 124加56是180 一圈360 360歸180 還剩180 還剩180怎麼樣 分給這三個 1 2 3 去平分 所以都是60 有沒有 這都是60度 這60 這也60 這60的話 角2怎麼樣 對弧還是它的一半 所以答案就是 30度 這第三題 這樣有沒有問題 應該有 好繼續來 時間還夠 我們再看 這是在那個第42頁 範例6的第一題 它說AB是個半圓 半圓 然後C珠為半圓的切線 有切線的話要切點 這邊是切點 半圓 C珠是切線 B珠又垂直AB AB是直徑過圓心 這邊垂直 這也算切點 然後再來AC垂直AB 一樣的情況 這也是切點 然後它說AC長是3 這邊是3 然後B珠是5 這邊是5B珠 B珠是5 它要求什麼 第一個要求C珠長是多少 第二個是要求AB長是多少 我們仔細看一下 這邊是3的話 那C也是3 為什麼 圓外一點做切線 切線段等長 有沒有 這裡3這裡3 一樣情況 這邊是5 那這邊也是5 切線段等長 所以你要求C珠長3加5 答案是8 第二個要求AB長 AB長 AB長跟CH一樣長 所以這CH是我們後來畫的 應該題目沒有給 對…題目沒有給 這個是後來額外畫的 來 所以這應該不能畫給你看 這是後來才畫出來的 後來我們就過C點 這邊做垂線 做垂線之後 這個垂到H去了 這個時候你看 你要求AB長 你要求的AB長 就是等於求CH長 對不對 那CH怎麼求呢 看這個資料有三角形 這邊斜邊是8 那這邊多少 自己扣一下 這裡是5 扣掉這邊多少 對過來 這邊是3 有沒有 這是個長方形的 所以這邊3 這邊也3 5扣掉3 這邊是2 可以求了 所以CH要怎麼求 它是根號的 資料有三角形 斜邊平方 減骨平方開根號 斜邊是8 所以它是8平方 減掉2平方開根號 那8平方是64 先算64 扣掉4 60 根號60 根號60要劃減 因為一般的這種問答題 就是要劃減 除非好選擇 不然就要劃減一下 劃減怎麼做呢 你可以這樣想 60剛好是一個 445完全平方數 4乘15變60 那4開根號變什麼 變成2 15開不出來 所以答案是2√15 用這個方式想比較快 所以AB常是2√15 如果你完全忘記的話沒關係 短除法也可以做 怎麼做呢 把60做短除 用2除30 開根號的時候 它的開法是兩個兩個算一個 兩個2算一個2 算一個2 所以2出來了 這個3乘15出不來 出不來不要出來在裡面 所以一樣是2√15 自己寫一下 所以AB常答案就2√15 這是42頁的上面的第一題 好那現在題目的話 我們今天就來不及說完 我們就下禮拜再繼續說 好不好 好今天上到這裡囉 掰掰