Bất kỳ số nào cũng có thể là cơ số? - Thuyết minh

Tiếp tục là một video thú vị trên kênh Digital Genius. Video này nói về vấn đề Bất kỳ số nào cũng có thể là một cơ số. Chúng ta thường viết các số theo hệ thập phân, hay nói cách khác là cơ số 10. Trong đó, các chữ số biểu tí các lũy thừa khác nhau của 10. Nhưng chúng ta cũng có thể sử dụng các cách khác để viết các số. Chẳng hạn như chúng ta có thể sử dụng cơ số 6, hoặc cơ số 2. Bây giờ, giống như chúng ta có thể sử dụng các số tự nhiên làm cơ số. Chúng ta cũng có thể sử dụng các số âm như âm 5 hoặc âm 12 làm cơ số. Các số có thể viết dưới dạng phân số được gọi là số hiệu tỉ. Chúng ta cũng có thể sử dụng các số này để tạo ra các hệ số duy nhất. Số thực bao gồm tất cả các tập hợp trước đó, nhưng chúng cũng chứa các số vô tỉ như căn bậc 2 và các số siêu việt như pi hoặc e. Chúng ta cũng có thể tạo ra hệ thống số khác dựa trên số thực. Ngoài số thực, chúng ta có số ảo. Chúng ta cũng có thể tạo ra các cơ số ảo và chúng thậm chí có thể biểu thị số thực. Khi chúng ta kết hợp số thực và số ảo, chúng ta có số phức. Và như bạn có thể đoán, đây cũng có thể là cơ sở cho hệ thống số. Nhưng, để hiểu những hệ thống số khác thường đó, trước tiên chúng ta hãy quay lại cơ sở số tự nhiên. Trong bất kỳ cơ số B nào, các chữ số biểu thị lý thừa khác nhau của B, và nếu B là một số tự nhiên lớn hơn 1, trong cơ số B, chúng ta có thể sử dụng các chữ số từ 0 đến B'1, ví dụ như trong cơ số 7. Chúng ta sử dụng các chữ số từ 0 đến 6 và chúng sẽ đại diện cho các lý thừa khác nhau của 7. Chúng ta cũng có thể thêm phần tập phân bằng cách lý thừa âm và có thể biểu thị phân số. Từ bây giờ, chỉ số ở góc dưới bên phải sẽ biểu thị cơ số của số. Các số không có chỉ số sẽ luôn ở cơ số 10. Chúng ta có thể dễ dàng chuyển đổi các số giữa các cơ số khác nhau. Chúng ta chỉ cần nhân lên các chữ số theo lý thừa tương ứng của cơ số, rồi cộng tất cả lại. Nhưng có một điều quan trọng chúng ta cần nhớ. Khi muốn chuyển một số sang cơ số khác 10, chúng ta cần thực hiện các phép tính trong cơ số đó. Trong ví dụ này, chúng ta muốn chuyển đổi một số từ cơ số 9 sang cơ số 5. Trong cơ số 5, chúng ta có thể sử dụng các chữ số từ 0 đến 4, nên chúng ta phải viết 8 thành 13, và chúng ta cũng phải viết số 9 là 14. Bây giờ, chúng ta chỉ cần nhân mỗi chữ số với lý thừa tương ứng và cộng chúng lại. Nhưng không quên rằng, chúng ta thực hiện tất cả các phép tính trong cơ số 5. Vì vậy, 4 x 14 vàng 121, chứ không phải 56, như trong cơ số 10. Một điều cuối cùng trước khi chúng ta nói về các cơ số âm. Trường hợp đặc biệt của cơ số 1, theo quy tắc mà số tự nhiên còn lại tuân theo, rằng trong cơ số B, chúng ta sử dụng các chữ số từ 0 đến B'1. Trong cơ số 1, chúng ta chỉ có thể sử dụng các chữ số 0, nên chúng ta sẽ không thể biểu thị bất kỳ giá trị nào ngoại trừ 0. Vì vậy, để có thể biểu thị số nguyên trong cơ số này, hãy giả sử rằng chúng ta có thể sử dụng bất kỳ dấu nào làm chữ số duy nhất. Cơ số này không hiệu quả nắm trong việc biểu thị các giá trị lớn hơn, vì giá trị của một số cũng bằng độ dài của nó. Khi chúng ta nói về cơ số 0, chỉ có một số không thể là cơ số, không được lăng lên lĩa thừa của bất kỳ số nguyên nào cũng bằng 0, và không lĩa thừa 0 là không xác định. Vì vậy, cơ số 0 không thể tồn tại, vì nó không thể biểu thị bất kỳ giá trị nào ngoại trừ 0. Điều đáng ngạc nhiên là tất cả các số thực khác mà bạn có thể nghĩ đến có thể là cơ số, và tất cả các cơ số đó đều có thể biểu thị số nguyên. Vì vậy, chúng ta hãy bắt đầu khám phá các cơ số thú vị đó từ các số âm. Trong cơ số âm 10, các chữ số biểu thị các lĩa thừa khác nhau của âm 10. Lĩa thừa lẻ sẽ là âm, và lĩa thừa chắn là dương. Vậy chúng ta nên sử dụng chữ số nào trong cơ số này? Trong cơ số dương, chúng ta sử dụng các chữ số từ 0 đến cơ số b'1 Để có thể biểu diễn tất cả các số nguyên trong cơ số âm, chúng ta sẽ sử dụng các chữ số từ 0 đến chỉ thuyệt đối của cơ số b'1. Nên trong cơ số âm 10, chúng ta sẽ sử dụng các chữ số giống như trong cơ số 10. Nhưng các chữ số được viết trong cơ số âm 10 sẽ không giống với các số trong cơ số 10. Vì lĩa thừa lẻ của âm 10 là số âm, nên các số trong cơ số này được xây dựng khác nhau. Ví dụ, để biểu thị 473 trong cơ số âm 10, trước tiên, chúng ta phải lấy Trong cơ số âm 10, chúng ta cũng có thể biểu thị các giá trị âm mà không cần sử dụng dấu chữ. Ví dụ, số này bằng âm 95. Tất cả các giá trị âm đều có số chữ số chắn và tất cả các giá trị dương đều có số chữ số lẻ khi chúng được viết trong cơ số âm. Cơ số của các số nguyên âm khác hoạt động giống như cơ số âm 10. Sau số nguyên, chúng ta có số hiệu tỷ. Số hiệu tỷ là tất cả các phân số, trong đó từ số và mẫu số là các số nguyên. Trước tiên, chúng ta hãy xem xét các cơ số dạng 1 trên một số nguyên N. Ví dụ, cơ số 1 phần 3. Trong cơ số này, các chữ số biểu thị các lũy thựa khác nhau của 1 phần 3, tức là 1, 1 phần 3, 1 phần 9, v.v. Nhưng nếu chúng ta viết sau phần thập phân, chúng ta sẽ nhận được lũy thựa âm cho chúng ta 3, 9, 27, v.v. Tất cả các giá trị đó chỉ là lũy thựa trong cơ số 3, nhưng bị đảo ngược. Nên để có thể biểu thị bất kỳ số nào trong cơ số 1 phần 3, chúng ta chỉ cần các chữ số giống như trong cơ số 3, tức là 0, 1 và 2. Ngoài ra, các số được viết trong cơ số 1 phần 3 chỉ là đảo ngược trong cơ số 3. Ví dụ, 32 và 2 phần 3. Trong cơ số 3 là như thế này. Nên trong cơ số 1 phần 3 nó được viết ngược lại. Và điều đó đúng, vì sau khi nhân các chữ số với lũy thựa tương ứng của 1 phần 3, chúng ta nhận được 32 và 2 phần 3. Điều đó đúng với mọi cơ số có dạng 1 trên một số nguyên N, ngay cả khi N âm. Một thực tế khác là trong mọi cơ số có dạng 1 trên một số nguyên N, chúng ta sử dụng các chữ số từ 0 đến giá trị tuyệt đối của N chủ 1. Bây giờ, chúng ta hãy xét phân số dạng A trên B, trong đó A và B không bằng 1. Trước tiên, hãy xem ví dụ trong đó A lớn hơn B, chẳng hạn cơ số 7 phần 3. Trong cơ số này, cũng như tất cả các cơ số khác, các chữ số biểu thị lũy thừa khác nhau của 7 phần 3. Nhưng, chúng ta có thể sử dụng chữ số nào? Vì chúng ta có 7 trong 7 phần 3, chúng ta hãy xem xét kỹ hơn cơ số 7. Để truyền một số thành cơ số 7, chúng ta chỉ cần nhân từng chữ số với lũy thừa tương ứng và cộng tất cả chúng lại. Đừng quên rằng, chúng ta phải thực hiện tất cả các phép tính trong cơ số 7, nhưng có một cách nhanh hơn, cho phép chúng ta chuyển đổi Trước tiên, chúng ta chia 265 cho 7, chúng ta được 37 và dư 6. Sau đó, chúng ta chia 37 cho 7, chúng ta có 5 dư 2. Bây giờ, chúng ta chia 5 cho 7, chúng ta được 0 dư 5. Điều đó có nghĩa là 265 trong cơ số 7 được viết là 526. Tại sao phương pháp này hoạt động? Chúng ta chia 265 cho 7 và chúng ta nhận được 37 dư 6, nghĩa là chúng ta có thể viết 265 là 37 dư 7 cộng 6. Tiếp theo, chúng ta chia 37 cho 7, nên 37 có thể được viết là 5 dư 7 cộng 2. Sau khi nhân mọi thứ ra, chúng ta nhận được rằng số này bằng 5 dư 7 dư 7 bằng 5 dư 7 bình phương gọng 2 dư 7 mũ 1 và cộng 6 dư 1 là 7 mũ 0. Bây giờ, hãy xem cách này hoạt động như thế nào trong cơ số 7 phần 3. Chúng ta bắt đầu như sau, chúng ta chia 265 cho 7, bây giờ chúng ta sẽ làm điều gì đó khác. Chúng ta nhân 37 với 3, sau đó chia 111 cho 7, chúng ta được 15 dư 6. Nên, chúng ta tiếp tục nhân 15 với 3 và chia cho 7. Chúng ta tiếp tục làm như vậy cho đến khi chúng ta nhận được 0. Điều đó có nghĩa là 265 trong cơ số 7 phần 3 sẽ trông như thế này. Và một lần nữa, tại sao nó lại hoạt động? Chúng ta chia 265 cho 7, vì vậy chúng ta có thể viết nó là 37 dư 7 cộng 6. Sau đó, chúng ta nhân 37 với 3, điều đó có nghĩa là chúng ta có thể viết 37 là 111 phần 3. Chúng ta có thể viết như thế này. Khi đó, chúng ta có thể viết 111 là 15 nhân 7 cộng 6. Sau đó, chúng ta có thể viết là 15 là 45 phần 3, v.v. Sau khi nhân mọi thứ ra, chúng ta có được điều này. Vì vậy, chúng ta biết rằng đây là biểu diễn của 265 trong cơ số 7 phần 3, bởi vì các chữ số là số dư khi chúng ta chia cho 7. Lên giờ đây, chúng ta biết rằng trong cơ số 7 phần 3, chúng ta có thể sử dụng các chữ số từ 0 đến 6. Thủ thuật này là thực sự hữu ích khi chúng ta muốn chuyển đổi các số thành cơ số phân số. Nó chỉ hoạt động nếu tử số lớn hơn mẫu số. Nhưng bây giờ, chúng ta hãy xem xét các cơ số trong đó mẫu số lớn hơn tử số. Chúng ta đã thấy được rằng các số được viết trong cơ số 1 phần n, chỉ nào đảo ngược được viết ở cơ số n. Điều đó có nghĩa là các số viết theo cơ số a trên b là các số đảo ngược viết theo cơ số b phần a. Vì a phần b mũ n bằng b phần a mũ chữ n. Hãy xem cơ số 3 phần 7 đảo ngược của 7 phần 3. 265 được viết là 64366 trong cơ số 7 phần 3. Nên trong cơ số 3 phần 7, nó sẽ được viết là 6.6346. Và chúng ta có thể thấy điều này đúng vì sau khi nhân các chữ số theo lũy thửa tương ứng, rồi cộng chúng lại, ta được 265. Nên trong cơ số này, ta sẽ dùng các chữ số từ 0 đến 6. Tóm lại, trong cơ số a phần b, các chữ số biểu thị các lũy thửa khác nhau của a phần b. Nếu a lớn hơn b, ta dùng các số từ a đến a chữ 1. Nhưng nếu b lớn hơn a, chúng ta sử dụng các chữ số từ 0 đến b chữ 1. Và nếu chúng ta muốn chuyển đổi một số thành cơ số, trong đó b lớn hơn a, trước tiên chúng ta chuyển đổi số này thành cơ số b trên a và đảo ngược đó. Các số thực ngoài việc chứa các số hiệu tỉ, nó cũng chứa các số vô tỉ. Đó là những số không thể biểu diễn dưới dạng tỷ lệ của hai số nguyên, và được viết dưới dạng cơ số 10 có biểu diễn thập phân vô hạn. Ví dụ, căn bậc 2 của 2, căn bậc 3 của 5, hoặc p. Hãy xem xét cơ số của căn bậc 2. Ví dụ, cơ số căn bậc 2 của 5. Trong cơ số này, các chữ số biểu diễn Cơ số này có nhiều điểm chung với cơ số 5. Vì căn bậc 2 của 5 bịch phương bằng 5. Căn bậc 2 của 5, mũ 4 sẽ bằng 5 bịch phương. Nói chung, căn bậc 2 của 5, mũ 2n sẽ bằng 5 mũ n. Vì vậy, để biểu diễn bất kỳ số nào trong cơ số căn bậc 2 của 5, chúng ta chỉ cần sử dụng các chữ số tương tự trong cơ số 5, là từ 0 đến 4. Chẳng hạn, 97 trong cơ số căn bậc 2 của 5, được viết là Số này được biểu thị trong cơ số 5 chỉ là 342. Các chữ số biểu thị lũy thừa lẻ của căn bậc 2 của 5 đều bằng 0. Điều này đúng với mọi giá trị hữu tỉ. Trong cơ số này, chúng ta có thể dễ dàng biểu diễn các giá trị vô tỉ là bồi số của căn bậc 2 của 5. Ví dụ, 123 trong cơ số này sẽ bằng 8 cộng 2 căn 5. Ở đây, các chữ số biểu thị lũy thừa lẻ không bằng 0. Với cùng một logic, chúng ta có thể tạo ra các cơ số của các căn bậc cao hơn. Ví dụ, căn bậc 5 của 7. Căn bậc 5 của 7 mũ 5 sẽ bằng 7. Và nói chung, là căn bậc 5 của 7 mũ 5N sẽ bằng 7 mũ N. Nên, trong cơ số này, chúng ta có thể sử dụng các chữ số giống nhau như trong cơ số 7. 36 trong cơ số 7 được biểu diễn là 51. Để biểu thị giá trị này trong cơ số căn bậc 5 của 7, chúng ta chỉ cần viết các số 0, trong đó lũy thừa của căn bậc 5 của 7 là số vô tỉ. Cứ như vậy, chúng ta có thể tạo cơ số từ bất kỳ căn bậc nào của bất kỳ số nào. Tất cả các căn đều là số đại số, nghĩa là chúng có thể là nghiệm của một đáp thức có hệ số hiệu tỉ. Nhưng, các số vô tỉ cũng bao gồm các số siêu việt như Pi hoặc E. Hãy xem cơ số Pi hoạt động như thế nào. Trong các chữ số cơ sở của Pi, biểu thị cho các lũy thừa khác nhau của Pi, nhưng không rõ chúng ta nên sử dụng chữ số nào. Có thể là các chữ số trong cơ số 3 vì nó là số nguyên gần nhất với Pi. Nhưng khi đó, các số nguyên duy nhất chúng ta có thể biểu thị trong cơ số này sẽ là 0, 1 và 2. Và chỉ số Pi-0 mới cho chúng ta một số nguyên. Giống như Pi trong cơ số 10 có biểu diện thập phân vô hạn, 10 trong cơ số Pi sẽ cũng là vô hạn, như với tất cả các số nguyên khác. Nên, về mặt lý thuyết, có thể tạo cơ số Pi nhưng nó sẽ hoạt động không tốt như các cơ số đại số. Điều này cũng đúng với số E, cũng là một số siêu Việt. Nhưng đáng ngạc nhiên là cơ số E lại đặc biệt theo một cách nào đó. Để giải thích tại sao, trước tiên chúng ta cần nói về cơ số kinh tế. Cơ số kinh tế là một cách để đo lường hiệu quả của một cơ số. Ví dụ, trong cơ số 16, chúng ta có thể viết tất cả các giá trị từ 0 đến 250 năm chỉ bằng 2 chữ số. Nhưng trong cơ số 16 có thể có 16 ký hiệu. Mặt khác, trong cơ số 2, chúng ta chỉ có 2 ký hiệu mà mỗi chữ số có thể có. Để biểu thị tất cả các giá trị từ 0 đến 250 năm, chúng ta sẽ cần 8 chữ số. Ví dụ như cơ số kinh tế được tính cho một số được viết trong cơ số nào đó. Để tính cơ số kinh tế cho một số là 231 được viết trong cơ số 10, chúng ta lấy số chữ số dùng để viết số đó. Trong trường hợp này là 3. Và nhân nó với tổng số ký hiệu trong cơ số đó. Trong trường hợp này là 10. Vì vậy, cơ số kinh tế của 231 viết trong cơ số 10 bằng 30. Cơ số kinh tế cho số n viết trong cơ số b có thể khái cót hóa bằng công thức này. Chúng ta có thể vẽ đổ thị công thức này cho b bằng 10. Để thấy rõ hơn hàm này, trục hoành nằm trong thang logazit, chúng ta có thể thấy rằng hàm nhảy khi chúng ta thêm một chữ số mới. Nhưng khi n rất lớn, thì các bước nhảy trở lên ít quan trọng hơn. Điều đó có nghĩa là đối với các giá trị lớn của n, và bằng b nhân với logazit tự nhiên của n trên logazit tự nhiên của b. Vậy, nếu muốn biết cơ số nào có cơ số kinh tế nhỏ nhất, thì chúng ta chỉ cần biết phần này là nhỏ nhất. Chúng ta có thể vẽ đổ thị hàm số này và có thể thấy rằng nó có giá trị nhỏ nhất tại số e. Nên có nghĩa là cơ số e là cơ số hiệu quả nhất. Nhưng, như chúng ta đã thấy với cơ số pi, các số siêu việt không hoạt động tốt như các cơ số khác, nên thông tin này không hữu ích nắm. Và nó ở đây chỉ là một sự thật thú vị. Bây giờ, chúng ta biết rằng tất cả các số thực ngoài dự số không đều có thể là cơ số, mặc dù một số trong chúng không hoạt động tốt như những cơ số khác. Ngoài số thực, chúng ta có số ảo. Số ảo là số thực nhân với đơn vị ảo bằng căn bậc 2 của âm 1. Chúng ta có thể tạo cơ số bằng cách sử dụng cơ số ảo. Thậm chí, chúng ta có thể biểu thị cả số thực và số ảo. Ví dụ, cơ số 3i. Trong cơ số này, các chữ số biểu thị các lũy thừa khác nhau của 3i. 3i lũy thừa 0 bằng 1. 3i mũ 1 bằng 3i. 3i bình phương bằng chữ 9. 3i lập phương bằng chữ 27i. Vân vân. Điều này tạo ra một mẫu. Trong đó chúng ta có một số thực dương. Sau đó là số ảo dương. Rồi đến số thực âm. Rồi đến số ảo âm. Và sau đó lại là số thực dương. Nhưng chúng ta lên sử dụng chữ số nào cho cơ số này? Trong cơ số căn bậc 2 của 5 chúng ta sử dụng các chữ số giống như trong cơ số 5. 3i bằng căn bậc 2 của âm 9. Nên trong cơ số này chúng ta sẽ sử dụng các chữ số giống như trong cơ số âm 9. Tức là từ 0 đến 8. Điều này cho phép chúng ta biểu thị bất kỳ số thực và số ảo nào. Nhưng trong cơ số này cũng cho phép chúng ta biểu diễn các số có cả phần thực và phần ảo. Ví dụ 72 trong cơ số này sẽ bằng 21i cộng 2. Như chúng ta đã thấy chúng ta có thể tạo cơ số từ hầu hết các số thực và số ảo thuần thủy. Nhưng tiếc là chúng ta không thể tạo cơ số từ tất cả các số phức. Chẳng hạn chúng ta xét cơ số 2 cộng 2i trong cơ số này. Các chữ số biểu thị các lũy thừa khác nhau của 2 cộng 2i. 2 cộng 2i lũy thừa 0 bằng 1. Rồi 2 cộng 2i. Rồi 6i. Vân vân. Bất kỳ số nào có lũy thừa 0 đều bằng 1. Điều này cho phép chúng ta biểu diễn tất cả các số nguyên trong bất kỳ cơ số nào nếu chúng ta sử dụng các chữ số. Nhưng trong các cơ số số phức chúng ta cũng muốn biểu thị tất cả các số phức. Ở đây bộ số nhỏ nhất của y là 2 nên chúng ta chỉ có thể biểu thị bộ số của 2i không thể thể hiện bất kỳ bộ số nẻ nào của y trong cơ số này. Khi chúng ta muốn biểu diễn bất kỳ bộ số nào của y trong cơ số ảo thuần thủy chúng ta chỉ có thể sử dụng lũy thừa âm Ví dụ như trong cơ số 3i chúng ta có lũy thừa 1 3i chữ 9 và tất cả các lũy thừa khác đều là bội của 3i nhưng 3i mũ âm 1 bằng 1 phần 3i và khi chúng ta nhân cả từ số với mẫu số với 3i chúng ta nhận được kết quả là bằng chữ y phần 3 Nên nếu chúng ta muốn viết 4i trong cơ số này không phải là bội số của 3i chúng ta chỉ cần lấy 2 nhân 3i và cộng 6 nhân với chữ y phần 3 Vì vậy 4i được biểu diễn trong cơ số 3i sẽ đạt 20,6 Do đó để có thể biểu diễn tất cả các số ảo trong cơ số dạng phức chúng ta cần có dạng N cộng hoặc chữ y Nhưng đó không phải là vấn đề duy nhất Hãy nhìn vào cơ số 1 cộng y Trong cơ số này chúng ta có thể biểu thị tất cả các bội số lẻ của y Ví dụ 110 sẽ bằng 1 cộng 3i Chúng ta có một số thực dương sau đó là số thực dương và số ảo dương Tiếp là số ảo dương số thực âm và số ảo dương số thực âm v.v Chúng ta có thể thấy một khuôn mẫu ở đây Chúng ta có 3 giá trị ảo dương và 3 giá trị ảo âm Sau đó chúng ta lại có 3 giá trị ảo dương và 3 giá trị ảo âm Các giá trị thực tạo ra cùng một mẫu Để biểu thị tất cả các giá trị trong cơ số này chúng ta sẽ cần rất nhiều chữ số Vì chúng ta có rất nhiều giá trị dương cạnh nhau và rất nhiều giá trị âm cạnh nhau Nhưng bây giờ chúng ta hãy nhìn vào cơ số chữ Y cộng 1 Trong cơ số này các mẫu rất khác nhau và các giá trị ảo xem kẽ giữa âm và dương Điều này cho phép chúng ta biểu thị bất kỳ số nào chỉ bằng các chữ số 0 và 1 Nhưng chúng ta chỉ thay đổi số 1 thành số âm 1 trong cơ sở Hãy xem điều gì xảy ra khi chúng ta thay đổi từ Y thành âm Y Chúng ta có thể thấy rằng trong cơ sở 1 chữ Y chúng ta vẫn có mẫu Trong đó các giá trị dương và âm nằm trong từng nhóm 3 Nhưng trong cơ sở thứ 2 chúng ta có một mẫu trong đó các giá trị dương và âm xem kẽ nhau Nên mẫu đó không phụ thuộc vào dấu của Y mà nó phụ thuộc vào dấu của số thực Chúng ta có thể đổi 1 thành bất kỳ số tự nhiên nào khác Ví dụ cơ số 2 chữ Y và âm 2 chữ Y Các giá trị dương và âm lại làm cạnh nhau Trong cơ sở thứ 2 các giá trị dương và âm không hoàn toàn xem kẽ Nhưng chúng không thuộc nhóm lớn Và điều đó vẫn cho phép chúng ta biểu thị bất kỳ số nào Vì vậy bây giờ chúng ta biết rằng các cơ số phức phải có dạng chữ N cộng chữ Y Và để biểu thị bất kỳ giá trị phức nào trong các cơ số đó chúng ta chỉ cần sử dụng các chữ số từ 0 đến N Hãy quay lại cơ số chữ 1 cộng Y Trong cơ số này chúng ta có thể biểu thị bất kỳ số nào có chữ số 0 và 1 Chẳng hạn để biểu thị 11 chúng ta bắt đầu bằng 16 chữ 8 và chữ 8Y cộng 8Y cộng 2 và 2Y trừ 2Y và cộng 1 Đó là một cách phức tạp để biểu diễn 11 Nhưng có một điều mà các cơ số phức rất giỏi là biểu diễn các số ảo và số phức mà không sử dụng chữ Y Chẳng hạn 7Y biểu diễn trong cơ số này sẽ trông như thế này Tất cả những số bất cường đó đều rất thú vị để khám phá Một số trong số chúng có ưu điểm và một số trong số chúng trở nên vô dụng Nên có lẽ để không quá phức tạp chúng ta nên sử dụng cơ số 10