Tìm xác suất để 1200 người trong 1 tòa nhà có số SỢI TÓC bằng nhau! Nguyên lý Dirichlet

Xin chào mọi người. Hôm nay mình xin giới thiệu một vấn đề rất thú vị mà bạn Tấn Phát Phạm đã để lại trong phần bình luận. Hãy tính xác xuất để có ít nhất 2 người ở trong tòa nhà 1200 người, vào cùng một thời điểm, có cùng số sợi tóc. Một câu hỏi rất hấp dẫn, tính xác xuất. Nhưng lại là xác xuất có cùng số sợi tóc. Ví dụ nhiều người hói đầu thì thế nào nhỉ? Đây là trường hợp vui mà mình đề cập, những người hói coi như có số tóc bằng nhau. Trong videos này, mình sẽ đề cập đến câu trả lời cho vấn đề này. Trước tiên, mình sẽ nói với các bạn về 2 vấn đề. Một là về nguyên lý trùng chim. Hai là bài toán sinh nhật. Đây là 2 cơ sở ta kết hợp để trả lời cho câu hỏi đầu bài. Thứ nhất về nguyên lý trùng nuôi chim bổ câu. Phát biểu rằng, nếu có em hộp, và em con chim bổ câu chiếm bất kỳ hộp nào, và em lớn hơn em, thì phải có ít nhất 1 hộp có 2 con chim bổ câu trong đó. Nghe có vẻ hiển nhiên, nhưng nguyên lý này có thể mang lại một số kết quả đáng ngạc nhiên khi áp dụng trên quy mô lớn cũng như trong toán học trừ tượng, đặc biệt là trong các trường hợp ánh xạ các hàm. Đây là một trường hợp của nguyên lý trùng chim bổ câu. X là tập hợp các con chim bổ câu, Y là tập hợp các ô chuồng. Vì vậy, nếu ta giả sử 1 người có trung bình nhỏ hơn 1.200 sợi tóc, thì trong 1.200 người chắc chắn có 2 người có số lượng tóc giống nhau. Tuy nhiên, điều này không trả lời câu hỏi của bạn, bởi vì câu hỏi của bạn là một câu hỏi xác xuất. Ngoài ra, nếu có 1.200 linh 1 người trong tòa nhà đó, điều đó không chỉ có nghĩa là ít nhất 2 người có cùng số lượng tóc, mà tất cả 1.200 linh 1 người đều có thể có cùng số lượng tóc. Tuy nhiên điều đó không thể xảy ra. Nói cách khác, nguyên lý trùng chim bổ câu là câu trả lời cho câu hỏi có hoặc không, cực tiểu hoặc cực đại, không phải câu hỏi xác xuất. Để trả lời câu hỏi xác xuất, chúng ta đến với phần thứ 2, bài toán sinh nhật. Đây là một trường hợp đặc biệt của nguyên lý trùng chim bổ câu, còn được gọi là nghịch lý ngày sinh. Bài toán hỏi rằng trong 1 tập hợp gồm n người được chọn ngẫu nhiên, xác xuất để ít nhất 2 người trong số họ có cùng ngày sinh là bao nhiêu? Từ nguyên tắc trùng chim bổ câu ở trên, rõ ràng là nếu có 366 người trong tập hợp, thì chắc chắn 100% rằng ít nhất 2 người trong số họ sẽ có cùng ngày sinh nhật, vì có 365 ngày trong 1 năm, bỏ qua năm nhuận. Tuy nhiên, khi bạn nói về xác xuất, không phải sự chắc chắn, hay cực đại, cực tiểu, do đó vấn đề được đặt tên là nghịch lý ngày sinh. Theo trực giác, nếu 366 người trong tập hợp là chắc chắn 100%, thì 365 phải tạo ra xác xuất gần như 100%, 364 thấp hơn một chút, v.v. Giảm dần, đạt xác xuất 50% ở 183 người, và đạt 0% ở 1 người. Nhưng đáng ngạc nhiên, điều đó lại khác ra so với sự thật. Bạn chỉ cần 23 người để có xác xuất 50% là ít nhất 2 người trong số họ có cùng ngày sinh, và chỉ 70 người có xác xuất 99,9% là giống nhau. Xác xuất tăng nhanh từ 2 lên 50, chậm hơn từ 50 đến 70, và gần như giữ nguyên từ 70 đến 365. Nếu như PN biểu thị xác xuất sinh nhật của tất cả 365 người là khác nhau, khi đó PN sẽ bằng. Để tính xác xuất có ít nhất 2 người có cùng ngày sinh, chỉ cần lấy một chữ DPN. Bảng này đưa ra xác xuất đó cho các giá trị khác nhau của N. Bất kỳ số nào lớn hơn 365 đều tạo ra 100%, đó là điều hiển nhiên. Để dẫn chứng cho điều này, trong số 43 tổng thống Hoa Kỳ cho đến nay đã có một ngày sinh trùng khớp, James Fox, tổng thống thứ 11, và Warren Harding, tổng thống thứ 29, đều sinh vào ngày 2 tháng 11. Một tập hợp 43 người có số lớn hơn 90% cơ hội tìm được ngày sinh trùng, từ bảng trên. Và không phải chỉ đặc biệt về ngày sinh nhật. Bạn cũng có thể chọn ngày chết, và bạn sẽ có cùng xác xuất lớn hơn 90% cho cùng một tập hợp. John Adams tổng thống thứ 2, và Thomas Jefferson tổng thống thứ 3, đều chết vì nguyên nhân tự nhiên vào ngày 4 tháng 7. Để làm cho vấn đề ly kỳ, cả hai đều chết vào cùng một ngày, cùng một năm, ngày 4 tháng 7 năm 1826. Ngày kỷ niệm 50 năm độc lập của Hoa Kỳ. Để làm cho vấn đề trở nên lý thú hơn, chủ tịch thứ 5, James Monroy, cũng qua đời vào ngày 4 tháng 7, 5 năm sau, vào năm 1831. Tổng thống thứ 2, thứ 3 và thứ 5, tất cả đều là những người tiên phong đều chết vì nguyên nhân tự nhiên vào cùng một ngày. Bây giờ, giải pháp cho vấn đề của chúng ta. Bạn có thể chuyển đổi vấn đề ngày sinh ngày trực tiếp thành vấn đề tóc. Nếu một người có thể có nhiều nhất 365 sợi tóc, thì xác xuất để ít nhất 2 người trong số họ có cùng số tóc đối với một tập hợp có ít hơn 366 người là bao nhiêu. Các khách tính tương tự cũng áp dụng cho vấn đề về tóc. Để tính xác xuất cho bất kỳ tập hợp lớn hơn nào, giả sử tối đa là 100.000 sợi tóc, chỉ cần thay đổi các giá trị từ 365 thành 100.000 ở trên công thức. Với 1.200 người, bạn đã đạt đến xác xuất trên 99%, gần như từ 1.200 đến 100.000 người, và chắc chắn 100% sau đó. Vì vậy, lần tới khi bạn gặp câu hỏi tương tự như này, hãy tự tin thông báo rằng có hơn 99% khả năng 2 người trong tòa nhà có cùng số tóc. Cảm ơn các bạn đã theo dõi. Hãy để lại những chia sẻ phía dưới và đăng ký kênh để cập nhật các video hấp dẫn.