【北京大學】《金融經濟學》北大最受歡迎的課程！經濟學必修! P80 - 80.第14講-06方法二：複製法定價

然後我們現在再做另外一種 在這個地方 就第一種方法裏面 其實我們做的本質是什麼呢 本質是用股票和衍生品這兩種風險資產 我把它複製出了無風險資產 我構造了一個無風險組合 爲什麼這是可能的 同學們 因爲這個資產市場 就這個矩陣描述資產市場 它是個完備的市場 它是完備市場 兩個狀態 它完備市場 既然是完備市場 那麼就有一種資產就多出來 就一種資產多出來 因爲兩個資產就足夠形成一個完備市場 那麼多出來這個資產就一定是冗餘的資產 我就可以 既然是冗餘的 我就一定可以用兩個資產 來把第三種冗餘的資產給它複製出來 在這地方 我是用股票和衍生品來複制Bond 類似的 我可以用股票和Bond來複制衍生品 那麼看這種情況下 我們這種方法 我們能夠給資產定出來這個價格 給衍生品定出來價格是什麼樣的 我們有另外一種方式 另外一種method2 我現在要用衍生品 要用股票和Bond 這個股票和Bond就是delta stock 這麼一個組合 B這麼多的Bond 來去複製衍生品 就我這麼一個組合 那麼這個組合要複製衍生品以後 這個組合的payoff 要等於衍生品的payoff 所以我們應該有這樣的 CU等於什麼 CU等於delta這麼多股票 它在一時刻的價格U狀態 delta US0 再加上B這麼多的Bond 它在一時刻的價格是B乘以E的R次方 讓它等於衍生品在U狀態下的支付 類似的 衍生品在D狀態下支付 應該等於delta DS0 再加上B ER 所以這是個二連二次方程組 可以解 把它解出來了 解出delta等於什麼 delta就是我們前面那個東西 大家可以試着解一下 很容易的 這兩個式子一減 這兩個式子一減就跟那邊的式子一樣 所以解出來這個delta就應該等於 CU減CD除以U減DS0 那這B呢 再把這個delta帶回到任意一個式子 可以把B算出來 B等於UCD減去DCU除以ER 然後U減D 然後再把這個式子 再把這個delta帶回到B 既然在這樣的組合選擇下 delta等於這麼多 B等於這麼多的時候 這個組合它就複製了衍生品在E時刻的支付 那麼如果這個市場沒有套利的話 那麼這個組合在零時刻的價格 就應該等於衍生品在零時刻的價格 所以這個組合在零時刻價格頂多少呢 等於delta乘以S0再加上B 這個東西就一定應該等於 這個衍生品在零時刻的價格 所以把這個帶進去 delta和B都帶進去 把delta和B帶進去 推出這麼一個式子 中間過程我不管了 ER減D U減D CU 再加上U減ER U減D CD 所以跟那邊是一樣的 本來就應該一樣 如果不一樣就錯了 所以這是我們的第二種方法 也就是說我用股票和債券來複制衍生品 既然我複製這個衍生品 那麼這個股票和債券的組合在零時刻的價值 就應該等於這個衍生品在零時刻的價格 就把衍生品價格給給出來了 這兩種方法 這種方法其實本質都是用兩種資產去複製第三種資產 那麼現在我們來看推導出來衍生品的價格 這個式子同學們 這個式子非常神奇的 你仔細看它 這神奇在什麼地方 這一坨和這一坨加起來等於幾 大家馬上看 這兩個圓圈加起來等於幾 加起來等於一 這是什麼 這是支付 這是pay off 這是在U狀態pay off 這是在D狀態pay off 這是什麼 這是一個無風險利率貼現 所以它是什麼 這個式子右邊左邊是衍生品的價格 所以衍生品價格等於什麼 這衍生品的價格等於衍生品在未來的支付的一個加權平均 再用無風險利率來貼現 而加權平均用的權重加起來等於一 加起來等於一 這有點意思 爲什麼有點意思 什麼東西加起來等於一 我們先碰到 概率加起來等於一 所以看起來這個式子它可以把它寫爲一個東西 這次我再寫一下 它等於用無風險利率貼現的衍生品未來支付的期望 C 把這個叫做它未來支付的期望 只不過這個期望它用的計算的概率不是我們真實世界的概率P 而是另外一個不知道什麼東西的概率 所以我們把這個期望要用個特殊的符號標明它 表明這個期望不是在真實世界求取的期望 它是在一個神奇的世界 我們把它叫做風險中性世界的期望 Q 給我們一個提示