【北京大學】《金融經濟學》北大最受歡迎的課程！經濟學必修! P61 - 61.第11講-02最優風險分擔的特性及風險的分類

所以接下來我們就要回答 我這個達到均衡的時候 達到均衡的時候 這個不同的人的消費是一個什麼樣的狀況 在不同狀態下 他的消費是什麼樣的狀態 馬上我們會得到一個結論 這個就是我們的定理 proposition 書上定理11.3 我就不抄這個定理了 這個定理其實說的意思就是說 在完備市場上面達到均衡的時候 所有人的消費的波動 只與全社會或者全市場的總餅富的波動有關 而與他自己的餅富的波動無關 這就是我們馬上得到一個結論 那麼來證明這個東西 證明很好 很容易證 這個非常容易證 怎麼證呢 我們現在就用中央計劃者 今天我們把中央計劃者的狀態下 其實也就是均衡狀態下 所有人的消費都找出來 CKS都找出來了 所以我們現在看 在S狀態下的總消費是多少 CS 這CS什麼呢 就是S狀態下 E時期當然是E時期 E時期S狀態下 所有人的總消費等於什麼呢 等於所有人消費的加總 小K從1到大K CKS 那CKS又等於什麼呢 CKS我們這邊抄過來 K從1到大K CKS這兒 UK'-1 答案是EtaS EtaS 除以一個delta μK apise 所以這是個等式 這是個等式 然後μK' 它是一個減函數 為什麼呢 因為我們都假設人是風險厭惡 所以二階倒小於零 所以一階倒是個減函數 反函數也跟著減函數 是減函數還是增函數我忘了 應該減函數 但不管怎麼它是個單調函數 它最起碼是個單調函數 所以這個式子就把兩個東西連在一塊了 這個式子把兩個東西連在一塊 一個是EtaS 一個是CS 其他都是參數 delta是參數 μK是參數 apise是參數 μK是參數 apise是參數 所以它其實就把我們的EtaS 這個S這個狀態下的中央計劃者的拉格朗的乘值 和我的總消費 就S狀態的總消費聯系起來 所以我可以把它寫成這樣 我可以把它寫為 EtaS是我這個S狀態下總消費的一個函數 我把這個函數寫成G GCS 這個G的函數形式不知道 但可以通過這個東西求出來 可以通過這個等式隱含地把這個G的函數形式給出來 然後又因為我的消費品是不可儲存的 所以在每個狀態下面 這個供給消費一定等於它的貶付 雖然這個還可以再往下寫 應該G的ES 所以EtaS是這個狀態下總貶付的一個函數 這個狀態下總貶付的函數 所以再把這個東西帶回去 再帶回去 所以帶回到我這個CKS的這個函數裏面 所以CKS就可以寫成這樣的東西 CKS等於什麼 CKS等於UKprime-1 現在把EtaS帶掉 EtaS就變成了GES 然後下面插Pi-ΔμKπS 所以這個就給出了K這個人在S狀態下的消費 它是個函數 這個函數裏面的自變量是什麼呢 同學們 自變量是ES 自變量是S這個狀態下的總貶付 注意 不是這個狀態下這個人自己的貶付 這個人自己的貶付EKS 但EKS沒有進入到它這個消費的這個函數裏面來 這意味著什麼 意味著你不管你的EKS是多高 高還是低 在這個狀態下你的貶付高還是低 你這個狀態下的消費都是這麼多 這個消費只決定於這個狀態下的總貶付 就所有人的總的貶付 所有人的貶付之和 跟你自己的貶付是沒關係的 所以這就證明瞭我們的第一個結論 就在完備市場上 所有人的消費 在各個狀態消費 只決定於這個狀態裏面的總貶付 而不決定於這個狀態裏面的個人的貶付 證明瞭 但其實這個證明還不完善 還有一個尾巴 這個尾巴就是μk 注意我們前面說了 我們說μk μk 所以如果你要讓一個中央計劃者問題等價於一個一般均衡 那麼這個μk和每個人的拉格朗日乘子之間有這麼一個關系 所以說明什麼問題呢 說明這個μk 我如果要用帕留託最優 或者用中央計劃者來研究一般均衡 這個μk不是隨便給的 這個μk要受到你這個人的特性的影響 這個人什麼特性呢 要受到這個人的財富的多寡的影響 所以μk它應該是個函數 μk是什麼函數 μk是這個人的總財富的函數 所以我如果要把μk寫出來 把這個函數寫出來 它應該是等於這個東西 等於1k0 再加上 這是他零時期的這個貶付 以零時期的這個消費 消費為基價物的價值 然後它在未來還有貶付 它未來1ks 每個狀態下 每個狀態s下面都有貶付 然後這個貶付呢 用這個阿羅中間價格φs 折現到現在來 π 不不不 大s 這就是 我括號裏面這東西就是這個人的總財富 這個人總財富就決定了他財富的約束條件的拉格朗日乘子 就這坨東西 就決定了他的λk 然後進而決定了μk 所以在這地方其實我們能看到 看到的是這個人的財富 但重點是什麼呢 重點是你這個財富的分佈其實不重要 就你在具體某個狀態下的這個貶付1ks是不重要的 重要的是你各個狀態下的這個貶付的總價值 也就是說你的臨時期的總財富是重要的 所以在這地方我們記住μk 它也不單獨決定於1ks 它並不單獨決定於1ks 我把它打個叉 並不單獨決定於1ks 而決定於你臨時期的總財富 所以這個μk與你的貶付在未來各個狀態的分佈是無關的 無關的 所以就意味著說在這地方 你的Ges也與你未來的這個貶付在各個狀態分佈是無關的 所以這個東西我們如果把它分到這兒到這兒 我們就可以得到結論 每個人 我說的是每個人 每個人他的消費在未來各個狀態的波動 與這個人他貶付在未來各個狀態的分佈無關 而只與總貶付在未來各個狀態的分佈 有關 這麼簡單 所以我們舉個例子 比方我們假設未來有兩個人 正好兩個人 這個經濟裡面就兩個人 這兩個人的未來的貶付分佈正好特別巧 相互抵消了 一個狀態裡面A比較多 B比較少 另外一個狀態裡面B比較多 A比較少 但不管怎麼樣 他們兩個人在各個狀態裡面的消費 這個總貶付都是一樣的 就這麼巧 那在這種情況下 雖然每個人的貶付在不同狀態下之間是有差異的 但是因為總貶付在各個狀態下是同樣的 每個人在各個狀態的消費也就是一樣的 沒有波動 所以這就是我們在完備市場裡面看到的一個均衡的特性 就是個人的貶付的波動不影響他消費的波動 只有總貶付的波動才影響每個人消費的波動 這是我們要講的第一個性質 所以這個地方大家是不是就有點 和我們之前講的cap-em 就好像有點類似的地方就出來了 在cap-em裡面我們講到說 有種風險 它其實可以被分散掉的 你看起來好像這個資產的回報有波動 但是這個波動可以通過持有不同的資產 最後把這個波動給消除掉了 這種可以被消除掉的波動 我們把它叫做個體的風險 就不應該在資產定價的時候獲得風險一加的補償 在這地方我們就有點類似的意思出來 我們如果說每個人的 我們講每個人 比如每個人都有一個貶付的分佈的狀態 比如1k0 1k1 一直到1ks 這可能是不同的 不同狀態不同時間可能不同的 但這個東西沒關係 這個東西沒關係 管你個人的貶付是怎麼變動的 最後決定每個人消費的只是這個東西 只是1011一直到1s 所以我們當然馬上會講到 馬上會講到 這玩意兒真正會帶來你消費波動的總貶付的波動 這是系統性的風險 Systematic risk 而你自己的貶付的波動 它可能比總貶付波動幅度要大 這個東西就可以被分散掉 可以被完備式上給分散掉的 這就是你的idiosyncratic risk 就是你的個體風險 它不會在資產定價裡面會影響到資產的價格 所以這是我們要講的第一個結論 第一個結論很簡單 證明起來很簡單 咱們再講第二個結論 這結論其實馬上就從第一個 從這個定理11.3就得到的 就定理11.4 我們來想 11.3就告訴你說 所有人的消費的波動只決定於總貶付的波動 既然所有人的消費的波動都決定於總貶付的波動 最後就一定是所有人的消費的波動 都是完全正相關的 我就把這個定理寫下 然後我們就下課 定理是這樣的 就認給兩個狀態 S與S1撇 它認給兩個狀態 如果在S狀態下的總消費 大於S1撇下面的總消費 如果這樣的話 那麼 那麼我就寫到這 那麼 認給一個消費者 認給一個消費者K 都有CKS大於CKS1撇 什麼意思 就是說這個 如果在某兩個狀態裡面 有個狀態裡面的總消費更高 那麼對任意一個人來說 他在總消費更高的狀態裡面 他的個人消費也更高 這個我們要馬上證明 我們休息一下 然後再回來再講 同學們我們繼續往下 其實在這個地方 我們已經可以看出一些均衡的一些意思來了 均衡的一些意思來了 完備市場裡面 它最後會使得所有人的消費 都只決定於總貶付 雖然你再往下 其實這個定理我就不證了 這個定理很好證 我們書上都有 但你從直觀上來分析也能分析得出來 既然所有人的消費都只決定於總貶付 那麼所有人的消費就應該都是正相關的 就總貶付高的狀態裡面 所有人的消費都高 總貶付低的狀態裡面 所有人的消費都低 就應該是這樣的 因為所有人的消費只決定總貶付 跟你自己個人的貶付 在不同狀態下分佈是無關的 所以這個定理證起來很簡單 幾句話就證了 但是我就不寫黑板了 大家可以回去自己看那個講義 然後再往下一個定理 那麼所有人都是正相關的 但正相關的 所有人的消費波動是正相關的 而所謂的波動是在說不同狀態下的波動 所有人的消費在不同狀態下波動是正相關的 但是波動的幅度是怎麼樣的 所有人的波動幅度都一樣大嗎 還是有些人大有些人小 那麼這就是我們第三個定理 我們定理11.5要給的一個結論 這個定理有個名字叫做Wilson定理 這個定理的證明相對復雜一些 所以這個定理證明我就把它放到我們的附錄裏面了 就不要求了 大家知道結論就行了 這結論就是我們可以定義一個東西 定義一個東西叫絕對風險容忍度 Absolute risk tolerance 叫TC TC等於什麼 TC等於你的絕對風險規避係數的導數 等於RAC分之一 絕對風險規避係數的導數 然後等於什麼 就寫出來就應該等於-U'C一級導除以兩級導 因為絕對風險規避係數兩級導除以一級導 導數就是反過來 所以有了定義一個這麼東西之外 為什麼 你們就可以知道 一個人DCKS K這個人在S狀態下的消費 對S狀態下的總比負的導數 也就是說總比負變化一個幅度之後 K這個人在S狀態下的消費變化多大幅度 等於這個東西 等於TKCKS 就K這個人 他的風險的容忍度 絕對風險容忍度 除以所有人風險容忍度之和 從小K到1到大K 然後TKCKS 我們來看一下這個分式 這是個分式 分式的分母是所有人的風險容忍度 分子是K這個人的風險容忍度 所以這個分式什麼意思 分式就在所有人風險容忍度總和裏面 K這個人佔的比例是多大 如果K這個人佔的比例越大 佔的比例越大 這個導數就越大 這個導數越大什麼意思 總比負變化一單位的時候 K這個人的消費變化的幅度就越大 所以這個數學式子用平時的語言來講 一個風險容忍度越大的人 他的消費的波動越大 為什麼 因為絕對風險容忍度是絕對風險規律係數的導數 風險容忍度大意味著什麼 意味著這個人的風險厭惡度小 風險厭惡度小的人 他的消費的波動就會大 而風險容忍度大的人 他的消費波動就會小 所以我們來看一下 我們可以畫一個圖 打比方說這是我們的四個狀態 幾個狀態 S從1 2 3 4 5 一直到大S 這是我的狀態 不同的人在不同狀態下 他的消費是不一樣的 根據總領埠的變化 可能這個人的消費 比如我們說第一個人 他的消費可能是這樣的 他消費的波動是這樣的 可能是這樣的 然後另外一個人 另外一個人 他可能風險容忍度要更大一些 他的波動可能就會大一些 大概是這樣的 但是他們的消費是完全正相關的 你高的時候我也高 你低的時候我也低 那問題就是說 那為什麼有些人風險的波動會大呢 這個消費的波動會大呢 因為他風險容忍度高 因為他風險厭惡度低 所以他承擔了更多的風險 他可能承擔更多風險 所以他的消費波動更大 但他承擔風險 肯定要給他好處 他才願意承擔這個風險 所以承擔風險更多這個人 他的債 如果他們的這個 他們的這個初始財富是一樣的話 如果在初始財富一樣 承擔風險更多的人 他的平均消費會更高一些 平均消費會更高一些 而這個承擔風險更少的人 因為他要承擔更少的風險 所以他的平均消費會低一些 但這個消費的平均水平 並不僅僅決定於你承擔多少風險 還決定於你有多少財富 那個財富比較低的人可能就這樣的 財富比較低的人 我再換一個顏色比 他可能他的消費就是這樣的 可能他財富比較少 他可能這樣的 但是不管怎麼樣 都是正相關的 所有人的消費都是波動 都是正相關的 所以這就是我們 我們這個一般均衡 完備市場裡面一般均衡 它的風險分散的特性 所以最後可能一開始所有人 他的這個餅富 比如說我們再畫個圖 我看能不能再畫個圖 把餅富給大家描述出來 可能不同人的餅富是不一樣的 比如我們用綠色的比 我們用綠色比 可能大家的餅富是不一樣的 綠比 比如這是黃色這個人 黃色這個人的餅富可能這樣的 可能這樣的 然後白色現在人的餅富可能這樣的 紅色這個人的餅富可能這樣的 完全有可能的 但不管怎麼樣 通過完備市場去一洗 一洗之後 所有人的消費都正相關 餅富波動可能不一樣 有些人 比如這個人的 比如上面這個人 他的餅富在第二狀態最高 這個人的餅富可能在四狀態最高 但沒關係 最後洗出來之後 大家的消費都是正相關的 但這消費的波動幅度是不一樣的 消費的絕對水平也可能不一樣 也可能不一樣 這就是完備市場 所以最後這個完備市場 完備市場達成均衡之後 會使得所有人的消費 就像一個人一樣 就好像一個人同步了 這就達到了風險的最優的分散 剛才課下有個同學問 現實世界是這樣嗎 比如我們看有些人 我們在座的教室裏面的同學們 是不是在所有狀態下 我們的消費都完全一致的 這位同學 比如明天天氣晴天了 他心情好 或者說天氣晴天了 他因為種種原因 他消費很高 是不是所有人都跟著他一樣 消費都很高 不一定 所以現實和我們這個理論 實際上是有落差的 這落差說明什麼問題 你永遠可以說是理論有問題 但是還可以說 就說明我們的市場是不完備的 同學們 我們沒有一個完備市場 來去分散所有風險 所以我們看到的這個現實狀況 與我們的這個理論推出來的結論有落差 但是不妨礙我們用理論 去理解理想狀況下會是怎麼樣 理想狀況會怎麼樣 然後再用理想狀況 做一個工具來幫助我們分析現實 所以在理想狀況下 在完備市場下面 那就應該這樣 所有人消費是一樣的