【北京大學】《金融經濟學》北大最受歡迎的課程！經濟學必修! P57 - 57.第10講-04阿羅-德布魯市場與阿羅證券

所以到最後我們剛才說這個所有完備市場都一樣 它一樣一樣在什麼地方呢 所以它們都等價於這麼一個市場 就我們來設想什麼是最簡單的完備市場 我們來寫支付矩陣 寫支付矩陣就要使作前面這個方程有解 是方陣 我們寫方陣 我們來寫支付矩陣 我今天再多講幾句 哎呀 這個支付矩陣擦掉了 我寫到這 這個支付矩陣它這個 我一般寫成這樣 我多寫幾句 X11一直到XS1 然後一直到這邊是XEJ XSJ 所以支付矩陣如果有這種資產S這種狀態 這個支付矩陣的維度是多少呢 它是S大S行乘以J列 然後所以我們要說要讓一個市場是完備的 也就是說我要給出一個C1一直到C大S的一個 C1一直到大S的這麼一個消費計劃 然後找到一個組合 組合裏面是從θ1一直到θJ 所以我們其實是去解一個方程組 這個方程組它有多少個方程呢 有大S個方程 未知數有這個未知數 所以我是一個 我去找一個S個方程所組成的方程組的一個解 這裏面未知數是這個 所以如果這個未知數的數量比方程的數量還要少 這個方程是無解的 方程無解 所以如果要讓這個方程組有解 最起碼J要大於等於S 比如說我的這個資產的數量 最起碼要比狀態的數量還要不少於狀態數量 我這個完備纔有可能 所以完備最起碼就是我這個資產的數量不少於狀態數量 但即使是資產的數量不少於狀態的數量 也不代表這個市場一定是完備的 我們前面就看了一個 前面那個兩個狀態兩個資產的市場 它就非完備 為什麼非完備 我們還是把它寫下來 這個1224 這個支付矩陣裏面這兩個資產看起來有兩個資產 其實只有一個資產 為什麼呢 因為第二個資產就是第一個資產 無非第一個資產乘以2就完了 所以第二個資產實際上可以表示為第一個資產 所以這裏面其實真正資產數目只有一個 所以如果在線性單數量就會告訴你 我們什麼的資產纔算數 就一定是你的資產的支付這個項量 要是線性無關的 要線性無關的 纔是我們可以算的資產 所以說一個資產市場要完備 就一定說我能夠找到狀態數目這麼多的資產 就我能夠找到大S種資產 這個資產的支付之間是線性無關的 這樣這個方程組纔有解 所以最後一個完備市場你一定可以把支付矩陣 因為如果它的數目大於了S 那麼你一定可以找出S個線性無關的資產 支付線性無關的資產來構成一個支付矩陣 這個支付矩陣可以把其他所有的資產都表示出來 所以剩下資產是多餘的 而這個支付矩陣是滿質的或者說是可逆的 如果沒有學過線性代數的同學 就忽略我剛才講的那一段話 但如果學過線性代數的同學你應該知道 我們線性代數裏面講的什麼滿質 可逆 在這方面就有個現實的運用 馬上就可以拿來判斷資產市場是否可逆 資產市場是否完備 是否完備 最後我們結論 有沒有學過線性代數的同學 你都記住 記住我下面這句話結論 如果一個資產市場是完備的 一定可以找出狀態數目這麼多的資產 就S個資產 這S個資產相互之間它的支付是線性無關的 線性無關的意思就是每個資產的支付不能有其他資產的支付來表示出來 你把這個結論記住就行了 所以我們下面來看一個最簡單的 我來確保一個方程組一定有解 我現在C1 C2 然後我找到θS 我要找到一個方程組 找θ1一直到θS來使得這個方程組有解 那麼我一定可以有這麼一種方式來構造 同學們 這個方程組一定是有解的 對不對 C1等於θ1 C2等於θ2 CS等於θS 所以這個方程組一定是有解的 那麼這個方程組它對應的資產市場是什麼樣的資產市場呢 它對應資產市場是這麼一個資產市場 第一個資產只在1狀態下面有一單位的支付 1 在其他狀態支付全是0 0 第二種資產只在第二種狀態有支付 其他狀態支付全是0 一直到DS這種資產 只在DS個大S狀態下有支付1 其他狀態支付全是0 那麼來看這個資產市場 它的支付矩陣是什麼呢 是個單位證 單位證我們記為I 單位證 所以它只有對角線上的元素是1 對角線外的元素全是0 你來看在這個市場裏面 我們的任何一個資產的任何一個資產組合 它的支付 比如第一個狀態它的支付 就一定是它這個資產組合裏面 它拿的第一個資產的數量 就θ1 θ1 所以我們就任何一個資產 我們把它θ1 θ2 一直到θS 這個資產組合 這個Portfolio 它的支付是什麼呢 它的支付就是θ1θ2 一直到θS 所以這個方程組是永遠 就顯然是有解的 反過來講說 這個資產市場顯然是完備的 這個資產顯然是完備的 而且你找不到比它更簡單的資產市場 它是最簡單的 所以這個資產市場有個名字 同學們 叫阿羅德布市場 Market 這個市場裏面每一個資產 這個市場裏面就有大S種資產 每一個資產有個特殊的名字 叫做阿羅證券 比如這個資產 每一個資產都是一個阿羅證券 所以這個東西叫做Aerosecurities 阿羅證券 所以由S個阿羅證券所組成的市場 是一個最簡單的完備市場 就是阿羅德布魯市場 所有的完備市場 都一定會等價於阿羅德布魯市場 阿羅德布魯市場 這就是我們要研究的 以後我們就研究這個市場 所以以後我們研究所有資產市場 我們就只研究阿羅德布魯市場 然後既然這個阿羅德布魯市場裏面有S個阿羅證券 那每個阿羅證券 當然這是我們說這是在一時刻的支付 在未來的支付 那每個阿羅證券在零時期一定有個價格的 只能把這個阿羅證券在零時期的價格 叫做一個東西叫做狀態價格 State price 狀態價格 這狀態價格是什麼呢 就是阿羅證券在零時刻的價格 因為我有S個阿羅證券 我有S個阿羅證券 所以我就應該有S個大S個狀態價格 大S個狀態價格 然後這個東西我把它定義為一個 就Phi1到PhiS我定義為一個向量 這就是我的狀態價格向量 狀態價格向量Phi 所以這個是非常重要的同學們 這個狀態價格State price 就是Phi1一直到PhiS 這是非常重要的 為什麼它非常重要呢 因為資產定價最後定的是什麼 資產定價不管你是均衡定價還是無套利分析 最後定的就是阿羅證券的價格 因為你只要給了我一個阿羅 只要給出了阿羅證券的價格 任何一個資產的價格都可以被表示出來 比如說我們有這麼一個資產 這個資產它是XJ XJ XJ是什麼東西呢 XJ我們就把它裝在狀態支付向量寫出來 就是XEJ一直到XSJ 這個資產可以被視為我阿羅證券的一個組合 組合裏面什麼東西 這個阿羅證券裏面對第一種阿羅證券它的持有數量就是XEJ 對第二種阿羅證券持有的價格是X2J 對第三種就是X3J一直到XS 舉個例子 比如我們有這麼一個組合 我們有這麼一個支付 3 2 1 三個狀態 然後在不同狀態下它支付是3 2 1 然後我們有三個阿羅證券 1 1 1 我看我用了什麼記號 沒有記號 這個不用記號了 我可以把這個叫做I1 I2 I3 我有三個阿羅證券 同學們看我有三個阿羅證券 所以這個叫做X 這個小X 有這麼一個資產 所以這個X等於什麼呢 這個X其實就等於三個一狀態的阿羅證券 加上兩個二狀態的阿羅證券 再加上一個三狀態的阿羅證券 所以任何一個資產 它都一定可以表示為阿羅證券的組合 既然它被表示為阿羅證券的組合了 那麼這個阿羅證券它對應的價格就是 Phi1 Phi2和Phi3 所以這個資產它的價格是多少呢 這個資產的價格就是資產價格P 就應該等於 因為它有三個一狀態的阿羅證券 三倍的Phi1 它裏面含有兩個二狀態的阿羅證券 所以二倍的Phi2 還有一個三狀態對應的阿羅證券 所以Phi3 所以這個資產價格就是 三倍Phi1加二倍Phi2再加Phi3 所以你只要把阿羅證券價格寫出來 Phi寫出來 這個向量寫出來 狀態價格向量寫出來 所有資產的價格都寫出來了 因為任何一個資產 這個地方我們看任何一個資產的價格Pj 都一定等於什麼呢 這個S從E到大S Xsj X小sj 乘以PhiS 這就是資產定價 就資產定價了 就資產定價 所以你給 我們前面說這個資產定價是什麼 就從支付據證 或者說從支付到價格 所以現在你給我一個支付 你給我一個支付X 我就給你一個價格P 而給過來這個核心東西是什麼呢 核心東西就是這個狀態價格向量PhiS 所以PhiS 只要你把PhiS給算出來 資產定價問題解決了 所以我們所有的資產定價理論 它的核心都通過各種方法 去把這個PhiS給算出來 把狀態價格向量算出來 所以狀態價格向量有很多名字 在不同理論裏面有不同的名字 我們這段我們叫狀態價格向量 以後叫什麼Pricing Kernel定價核 還有很多名字 我們在葡萄裏面還有很多 但其實都是它 所以資產定價核心就是找出阿羅證券的價格 找出阿羅證券的價格 所以我們現在來看一個非常特殊的資產 這個資產 我們都說它叫做無風險資產 無風險資產是什麼樣的資產 就它在各個狀態下面給的支付都一樣 然後把它支付正規化為1 這就是一個 如果這個狀態只有三個 這就是一個無風險資產 它在各個狀態下面的支付都是1 所以無風險資產的價格是什麼呢 無風險資產的價格把它記為Rho Rho等於什麼 Rho就等於Φ1加Φ2再加Φ3 就所有阿羅證券的價格之和 就是無風險資產的價格 所以如果寫得更尖銳一點 我們就不寫三個 不是三個狀態 Φ應該等於什麼呢 Φ就應該等於σ s從1到大s Φs 這就是狀態價格 這就是無風險資產的價格