【北京大學】《金融經濟學》北大最受歡迎的課程！經濟學必修! P46 - 46.第8講-06風險厭惡係數

所以理清這個概念之後 我們問題是 這不好用這東西啊 同學們 這個risk premium 不好用 為什麼不好用啊 它當然受到效用函數的形狀的影響 也受到消費均值c的影響 還受到風險大小delta的影響 所以很多因素會影響到risk premium 我希望找到一個指標 就是隻刻劃這個效用函數本身 跟這個風險大小沒關係 來表徵這個人的風險厭惡的程度 這樣指標能不能找得到呢 能找得到 這就是我們馬上要講的風險規避係數 風險規避係數有幾個 我們先來講絕對風險規避係數 Coefficient Coefficient of absolute risk aversion 這個簡寫為Ara 絕對風險規避係數 Ara Ara我們來把它推出來 這樣推的 我現在給你一個確定的 確定的消費就y 就確定了 但是我同時給你一個賭局 這個賭局 以一定的概率 一定的概率拍 拿到的是y加上h 還有一定的概率 一減拍呢 是拿到u y減h 這方未必等號 所以現在讓你在這兩邊選 所以正常情況 如果這個拍等於二分之一 那隻要風險厭惡的人 都肯定是選擇確定的y 而不是說y減h y減h 但是現在我們說 如果我給你這個賭局 勝的概率更大一些 拍更大一些 那麼拍大到一定程度 你肯定是會願意參與這個賭局的 舉個極端情況 如果拍等於一 很明顯 你肯定是要參與這個賭局的 因為你確定性能拿到y加h 所以總能夠找到一個拍 使得這個等式成立 我把這個拍叫拍start 拍start什麼呢 拍start就會使得這個人 在確定性拿到y 以及拿到y加h或y減h 這個賭局裡面 這個賭局二者之間 它是無差異的 肯定能找到這個拍 只要拍足夠大 所以很自然我們會想 這個拍start如果越大 也就是說我賭局獲勝的概率 勝率越高 如果一個人他需要拍start越高 才願意參加這個賭局 才願意無差異的話 那麼這個人一定風險業務程度更高 對吧 所以這個拍start 它就是這個人的風險厭惡度的一個刻劃 風險越是厭惡的人 越需要賭局的勝率高 才願意參與這個賭局 所以拍start 就是我們的一個風險厭惡的一個刻劃 所以拍start 我們現在把它算出來 同學們把它算出來 怎麼算呢 其實很好算 通常就用到我們這個宏觀和金融 經常用到的一個東西 Taylor expansion 這個是法寶利器 我們這個經濟學分析裡面經常用它 但是在宏觀和金融裡面用 它有一點細微但是重要的差異 在宏觀經濟學裡面 你去做Taylor展開 你就展到一階 在金融裡面你做Taylor展開 你必須要展到二階 所以在金融裡面你就必須要展到二階 宏觀裡面展一階 為什麼是這樣的 我們待會馬上就看到了 現在我們先把它展開 我們把這個式子直接 左邊就不用寫了 右邊把它展開 在Y處把它展開 我們就直接寫成這樣 所以這個式子左邊抄起來UY 右邊就拍start 拍start 然後呢 這個一階展開 UY加上H乘以U一撇Y 這是一階 一階項 再加二階項 二階上二分之一H的平方 U兩撇Y 這是我們的一階 這是第一項 還有一個一減拍呢 一減拍start 類似的 UY 不過這個時候 它Y和這個 我這個式子和這個Y的偏離是負H 所以這個是負H U一撇Y 再加上 然後這張是負H的平方還是正 所以現在又變成正好了 二H平方 U兩撇Y 然後高階項 三階項四階項全部都捨掉 其實應該是個近似等於 但就夠了 差不多了 然後這裡面呢 這個UY UY就越掉了 左右就都一樣 越掉了 所以這個式子推出來什麼呢 這個式子推出來 零等於 左邊零了 這邊等於二拍start 減一 是減一對減一 乘以這個HU一撇Y 再加上二分之H平方 U兩撇Y 再加上 我們可以把拍start就解出來 拍start等於 二分之一加上四分之H 負的U兩撇Y 與U一撇Y 所以現在拍start 這個H是個 外面給的一個擾動的大小 所以那決定拍的東西呢 你會發現除了H在 就這一坨 所以把這一坨定義一個東西 把它定義為 我把它寫為RA RA RAY 定義為 就這個負的U兩撇 除以U一撇 這個東西 就叫做絕對風險規避係數 ARA 所以這個絕對風險規避係數 就刻劃了這個人 他風險厭惡的程度 是面對什麼 面對一個固定大小的賭局 他的風險厭惡的程度 ARA 然後ARA 我們來看 ARA是個Y的函數 是你消費的函數 雖然一個人呢 他在不同的收入或者消費水平上 會有不同的絕對風險規避的程度 這很自然 比如他 你只有100塊錢的時候 你總資產只有100塊錢的時候 你可能對一個10塊錢輸贏的賭局 你就很在乎 你覺得風險很大 不願意參加 但如果你有100萬的時候 你就10塊錢 這東西簡直就忽略不計了 隨便玩 所以你可能 所以這個風險規避係數 絕對風險規避係數 它有可能是隨著你的消費水平 變化而變化 但不管怎麼樣 這就是對我們風險厭惡程度一個刻劃 就它 絕對風險規避係數 既然有絕對風險規避係數 那就自然會有相對風險規避係數 對吧 是的 就類似可以推導 現在我們就這樣 現在我們把這個 我們把這個賭局稍微換一下 UY等於Pi star 現在我這個Y這個賭局 這個賭局不是一個固定大小的賭局 這H 這上面這個輸贏是一個固定大小 現在我這個輸贏 是你財富的θ的份額 贏就贏θY 輸就輸也輸θY 所以這個賭局厲害了 不管你是十萬還是一百萬還是一千萬 它都比如拿你的財富的0.1來賭 那麼這樣的話類似的 用這個確定性等值 用泰勒二階展開 可以把這個Pi star算出來 那麼這個Pi star 其實基本上很容易算 基本上我們不用再推了 因為我們來看 這個裏面的θY 就是這個裏面的H 就這個上面這個H 所以我就直接在這個地方 把這個式子裏面的H 換成θY就OK了 所以可以推出來 Pi star等於二分之一 加上四分之θY 然後把這個Y寫到裏面去 負的Y U兩撇Y U一撇Y 所以這一坨 我就不再抄寫了 這一坨 這個括號裏面 帶負號的東西 它就被定義為 相對風險規避係數 RY 叫relative risk aversion coefficient relative risk aversion 相對風險規避係數 客化就是一個人面對一個 與他財富成比例的風險的時候 他的風險厭惡的程度 這樣的話我們就得到一個 對風險的客化 所以我們現在來看 這兩個風險規避係數 這兩個風險規避係數裏面 最核心是什麼呢 最核心的其實就是這個二階導 二階導是什麼呢 一階導是邊際效用 二階導就是邊際效用的變化 所以邊際效用的變化越快 就這個兩階導數越大 兩階導數越大 絕對值越大 它的風險厭惡程度就越大 那麼因為這個二階導總是負的 二階導總是負的 所以我們在說 它的風險厭惡程度的時候 會在這個前面再加個負號 一階導永遠是正的 永遠正的 邊際效用永遠正的 邊際效用永遠是下降的 所以二階導永遠是負的 所以前面加個負號 那就一定是正的 這是個正數 這個正數越大 就說明你的風險厭惡程度越大 而這個風險厭惡程度越大 就說明你的邊際效用下降得越快 實際上也就是 你的效用函數的曲率越大越彎 都是同樣的道理 所以這個地方我們就把這個風險厭惡 就把它刻劃出來