【清華大學】《金融學》經濟金融必修課（全38課） P11 - 11 你瞭解遠期利率嗎？

那在這堂課我們會提到遠期利率 什麼是遠期利率呢 假設你希望一年之後進行一個借款 但是你今天希望能夠鎖定你一年之後的一個借款成本 比如說你今天希望知道我一年之後借款 我的一個借款的一個利息是多少 那這麼一個利息就是你的一個遠期利息 那我們這裏用FT T加K來衡量這麼一個遠期利息 T是指代的是未來的某一年 那K就指代的是你未來的那個借款的一個期限 比如說我們說F2 6等於3% 就意味著你今天希望鎖定你兩年之後的那一筆借款 那一筆借款的期限是四年 所以說兩年之後你將以3%的年化利率支付四年的利息 那這個就是說FT T加K的一個概念 那相同的假設我們考慮一種把錢借給別人的情況 那比如說今天你希望給你的朋友的公司借一百萬 比如說你給他一百萬 然後你借給他兩年的時間 那這樣的話我們有兩種方式借給他這一百萬 第一種方式我們直接借給他兩年 那如果今天這個市場上有一個兩年的利息 比如說是R2 那麼借給他兩年的話 整體的利息就應該是1加上R2的二次方 那另一方面你可以另一種方式借給他 就是說你今天借給他一年的錢 一年之後你第一年到第二年的那個利息率 借給他第二年的錢 那這個時候你第一年到第二年的那個利息率 在今天看來就應該是F12 它就是一個遠期的利率 那就像我剛才提到的 用第一種方法借你錢的你的那個朋友 他需要在兩年之後支付你的 是一百萬乘上1加上R2的二次方 那對於第二種方法 他一年之後需要支付你的 是一百萬乘上1加上R1乘上1加上F12 也就是說一個遠期的一年的利率 那這樣的話我們知道 如果這個金融市場是有效的話 也就是說沒有任何的套利機會 這兩種借貸方式 它的在未來的支付額應該是一模一樣的 那就也就意味著這兩個值應該是一模一樣的 如果剛才我說到的 兩年之後的那個還款額是一模一樣 那我們把這兩個式子帶入一個等式裡面 就意味著1加上R1乘以1加上F12 等於1加上R2的二次方 這就意味著你的一個遠期的利率 應該等於你1加上兩年的一個利率的二次方 因為你借了兩年的錢 除以1加上R1然後再減去1 這就得到了我們遠期利率的一個公式 那如果我們把剛才那個例子更抽象化一些 那假設我們希望把錢借給另外一個人 一共借T加K年 我們有兩種選擇 一種是我們直接把這個錢 借給那個人 整整借T加K年 那這個時候 我們的一個借貸的一個利息 就應該是RT加K 那第二種選擇是 我們首先把這個錢借給另外那個人 借T年 那這個時候 他的利息應該是RT 然後T年之後 我們把錢以FtT加K的這麼一個利息 借給他 借了K年 那在一個有效的金融市場裡面 這兩個值應該是一模一樣的 那這樣的話 我們就可以計算出這麼一個遠期利率的一個公式 這裡就給出了這麼一個遠期利率的公式 那我們現在給大家一個簡單的一個題目 那假設你知道R1 R2 R3分別是2% 2.5%和3% 那如果你今天希望能夠固定 你從第一年到第二年的一個借貸的成本 那你怎麼來固定它呢 那我們知道 這道題 它的意思其實就是說 讓你計算你從第一年到第二年的一個遠期利率 那因為我們已經知道 你兩年期借貸的一個利率是2.5% 而一年期借貸的利率是2% 那麼這樣我們就可以利用剛才的公式 計算出你從第一年到第二年的一個遠期利率的公式 是3% 那接下來 如果我想問你 你怎麼計算出你從第一年到第三年的一個遠期利率 或者是說 從第二年到第三年的一個遠期利率呢 利用相同的公式 大家也可以嘗試著計算出他們不一樣的遠期利率 這裡我們把答案給了大家 那和收益率曲線相類似的 我們也可以畫出一個遠期利率的曲線 那這個圖就給了我們遠期利率的曲線 分別給了F01 也就是說從第零年到第一年的遠期利率 這個值其實是等於第一年的一個急性利率 我們也畫出來了F12 也就是說從第一年到第二年的一個遠期利率 最後我們也畫出來了F23 也就是說從第二年到第三年的一個遠期利率 我們會看到這個圖確實是和我們的收益率曲線非常相似的 但是他們含有的經濟學含義完全不同 收益率曲線指的是站在今天 我們借貸未來不同的T年的一個借貸成本 但是這個圖指的是站在今天 如果我們鎖定未來從第T年到T加K年的一個借貸 那麼未來的一個借貸成本是多少 那現在我們對今天我們學到的知識做一個簡單的總結 首先我們學習了怎樣通過不同的債券來複製一個債券 同時我們也學到了怎樣利用債券進行一個套利 這裡學到了金融學中一個重要的概念 就是The Law of One Price 就是說對於兩個資產 如果他們未來的現金流一模一樣 那麼他們今天的價格也必須一模一樣 那第二個概念是我們學到了一個債券的97 它衡量的是債券的價格相對於利息波動的一個敏感度 接下來我們學到了什麼是債券的一個違約 以及Promise Yield和Expected Return 最後我們學到了怎樣去計算一個遠期的一個利率 大家好我是課程助教小榮 我們一起來回顧一下今天都講了哪些知識點吧 與即期利率不同 遠期利率是指隱含在給定的即期利率之中 從未來的某一時點到另一時點的利率 遠期利率的計算原理 是基於完全自由競爭市場下沒有套利機會 因此任何選項的支付價格應該一樣 類似收益率曲線 我們可以繪製出每年一年期的遠期利率曲線 這條曲線揭示了短期利率會怎樣隨著時間變動 這幾個知識點你get到了嗎?