不公開龍騰學測數A好好學複習講義L1例6

好 那我們來看第十頁的好學範例六 那這個標題叫距離法 它講的是絕對值其實可以表示距離 那這個前頁的第九頁 下面就是有絕對值 這個絕對值 然後它的一種想法是說 絕對值可以表示距離嘛 比如說兩個點之間的距離 它就是用相減的絕對值來表示 像A點的座標叫小A B點的座標叫小B 那麼AV線段的這個距離 這個AV的距離呢 就是A減V的絕對值 那這個絕對值會大於等於0 那所以 那另外一種就是一個時數如果取絕對值 像A如果取絕對值 它就表示什麼呢 這個時數A呢 到原點的距離 所以其實就是A減0的絕對值 所以就是A跟 到原點的距離這樣 那我們回來看剛剛的這個 那下面有比較常見的應用是這個 A減A絕對值如果小於等於V 那它可以得到X的範圍 那如果大於等於V 那就得到另外一種範圍 那我們現在來看 例題6呢 考學範例6呢 它的題目 是說 如果AV是時數 那如果不等是 1加2X的絕對值 小於3 那連立的意思是說 這兩個要同時成立 第一個是值對而且第二個是值對 1減X絕對值大於2 那這個 這個 就是你上面要去解 解不等式 然後下面也要去解不等式 然後這兩個呢 要去找同時 且就是同時成立的地方 那最後得出來的範圍呢 跟後面的這一個 AX減9絕對值小於V 它得到的解 這個解就是說X的範圍 是相同的 這個解 就是X的範圍是相同 那所以你必須要會解前面這個 那前面這個 如果用距離的想法 絕對值 就是我剛剛講 A減V的絕對值 它表示 數線上 這個A 這個所代表的位置 跟V所代表這個位置的距離 這一段呢 就是叫A減V的絕對值 那所以如果 它中間是減的 所以你1加2X 它怎麼想呢 它左邊這邊就是 想成說 2X 然後減掉負1 負負的正 那就是1加2X 然後的絕對值 把它想成這樣 那這個時候就是2X跟負1 就像剛剛的A跟V一樣 2減負1 A減V A減V是A跟V的距離 那2減負V的話 就變成 2X到負1的距離 那這是左邊 然後這個距離呢 是小於3的 所以就是小於3 那 所以說如果你今天有 數線這個是2X 然後這是負1 那到負1的距離 小於3的話呢 就是左邊3單位 右邊3單位 那負1往左邊3單位是負4 負1減3負4 負1往右邊3單位 負1加3是2 所以2X呢 就會在負4到2之間 就是這個 那再來就是說 我們把它 我們要求X的範圍嘛 所以你就是在除以2 所以這邊除以2是負2 這邊2X除以2是X 2除以2這邊是1 所以X在負2到1 這是第一個式子得到的結果 所以第一個式子得到 負2小於X小於1 負2到1之間 第一個式子得到這個範圍 那第二個式子是 1減X絕對值大於2 這個左邊的這個1減X 就像剛剛的 A減B絕對值 A減B絕對值是AB的距離 那1減X絕對值就是 1跟X的距離 或是X到1的距離 那這個距離要大於2 所以我們就可以畫豎線 這是X X到1的距離 大於2 所以左邊兩單位 要比這個還要大 所以應該是往左邊 往左邊去 X應該落在這個位置 這樣子的距離就會大於2 到1的距離就會大於2 右邊也有一個 這個比這個還要更遠的地方 那它到1的距離就會超過2 就會大於2 所以X會是在這個點的左邊 那這個點是 1往左兩單位 就是1減2負1 然後這個點會是 1往右兩單位 1加2就是3 所以X要比負1還要小 所以X要小於負1 或者 或者是在右邊這個 X比3還要大 所以X大於3 所以我們就會知道說 1減X絕對值 它大於2呢 它的圖形 看出來就是在負1的左邊 跟3的右邊 所以它就是得到 X大於3或者是X小於負1 這兩個 誰要寫左邊還是 或嗎 X大於3寫左邊還是 X減1 寫左邊都可以 沒有順序的問題 那 另外一種 得到這個式子的方法就是說 有 常見的結果是這樣 就是說X減掉 X減掉1 然後絕對值 如果是大於2 以剛剛的第二個式子來想 1減X絕對值 跟X減1絕對值一樣 就是都是這兩個的距離 那這樣好處是什麼 就是當你把 去掉絕對值的時候 那X減1呢 是大於2 那其實還有另外一個就是 就是 X減1呢 如果它負的時候呢 就是 小於負2 那這個為什麼是這樣 因為 以前我們見過說如果 X的絕對值 如果是 2的話那你X的 去掉絕對值之後 就是2跟負2 那如果你今天的 X的絕對值 如果是小於2的 那你得到的X的範圍 是什麼 就是到原點的距離 要小於2的 那就會是在負2到2之間 所以它得到的就是 負2 小於X小於2 所以這是X的範圍 就在負2到2之間 所以如果你今天 絕對值小於 的時候 那你得到的X呢 就是在中間 在這之間 那如果今天 今天是用大於的 譬如說X的絕對值 大於2的時候 那它的那個範圍 比原點的距離2 還要大 所以就是要比2呢 還要大 就是要更遠 離原點要更遠 或者是呢 左邊這邊負2呢 離原點要更遠 所以就往左邊去了 所以它這時候的X就是 小於負2 或者是X大於2 所以結論就是說 如果你絕對值這邊是大於的 原來有絕對值 然後如果是大於的 那它得到的結果呢 就會在負2的左邊 跟2的右邊 那比小的還小 比大的還要大 所以這時候得到X的範圍呢 會在 兩邊 在兩邊 大於就會在兩邊 所以我們就是 大於在兩邊 然後小於在中間 那這個其實有 那個 絕對值裡面有減也是一樣 你把它當作一個數字 這個數字的絕對值 大於是屬於下面這一種 大於要在兩邊 所以它會比大的還要大 比這個2還要大 比小的還要小 所以就會比負2小 然後比2大 就是把這個當作一個數字 就是說X減1 我們原來都是看X 那現在這是X減1 X減1它就是比2大 然後比負2小 這個是X減1 比2大比負2小 一樣就是在兩邊 那所以也可以用這種 你知道的結果去處理 那你也可以用 用圖形去想 距離S到1的距離 超過2 所以到1的距離 超過2 那其實也是在兩邊 就是它也是大於 你看它也是大於 然後這個結果也是 在兩邊 那這兩個點3跟負1 怎麼決定的呢? 其實就是 S減1絕對值 等於2 你去解X減1 是會寫2跟負2 然後你就會同時加1 所以這個3跟負1 就是這兩個點 那你已經知道說 大於應該是在兩邊 那在誰的兩邊? 就是這兩個點的兩邊 所以比負1還小比3還大 那你怎麼得到這兩個點? 就是用解的方式 先用等於去解 解出這兩個點之後呢 大於就在兩邊 也可以這樣很快的看出來 那現在這兩個 連立的 上下這兩個式子 都解出來了 第一個解出來是負2小於X小於1 就是負2 然後X比負2大 空心沒有等號 到1這邊 也是空心 那下面這個得到的是 X大於3 3的話比1右邊大多了 那我畫高一點 跟他區分一下 是另外一個式子的 然後小於負1 負1比負2還要大 所以右邊一點 負1 小於負1所以比負1還要 左邊 那這兩個 下面這兩個是同一個 式子解出來的 所以就把它畫一樣高 然後上面這個是 前面一個式子解出來的 就畫另外一個高度 那這兩個 要同時 連立嘛 且要同時 所以就是這兩個範圍 都有涵蓋的纔是答案 纔是他的這個連立的結果 那這邊有兩條線 就是這個 這邊沒有 這邊只有下面這個 所以右邊都沒有 只有中間這裡 所以他就會得到負2 X在負2到負1之間 就是解出這個 所以前面的這個連立解 最後解出來就是負2小於X小於負1 那右邊這個呢 右邊這個 AX-9小於B 有一種做法是你去拆 右邊的 可是你去拆右邊就會有問題 就是你要去解X的時候你要除以A 這個A是正是負 是一個問題 所以我們後來有另外一種 做法 就是說 你去 把它跟絕對值的 這個想法 去結合 就是我們剛剛的這個 S-1絕對值大於2 我們如果說今天是S-1 假設是小於2好了 那我知道說 他就是S到1的距離 要小於2嘛 所以就是在負1到3之間 所以就是這一段到這一段 所以X就會 大於負1小於3 那 如果說我今天 得到的是負2小於X小於負1 就很像這個 負1小於X在 某兩個數中間的 這個範圍 怎麼樣把它寫回去 我要怎麼樣把這個 X從負1到3 寫回去這個絕對值 那這個-1 這個1是誰呢 這個1就是中間這個1 所以X去 減掉中點 然後的距離 那這個2是什麼 這個2就是這個 這個區域的 從中間往兩邊的那個寬度 所以這就是 他的寬度 那算是從中間 往旁邊的寬度 整個寬度的一半 所以 這叫半寬 這個是半寬 所以小於這個半寬 這樣就可以 如果你從這個 X從負1到3 你去找中點 中點很簡單就是相加除以2 這個中點就是 負1加3除以2 就是1 所以中點可以很快的解出來 所以X減中點 就是X減1 那 半寬是多少呢 這整個的寬是 是大減小 是4 右邊減左邊 那半寬呢 就是他的一半 3減掉負1去除以2 就是4除以2 所以這個半寬就出來了 半寬就出來了 那你知道 負1到3之間 你就可以算出整個長度是4 他的一半呢 這個2就是你小於2的 右邊這個數字 所以我們現在 負2小於X 小於負1 是我們左邊連立解出來的解法 那我們把它 他的中點找出來 他的中點是什麼 是不是負2 加負1相加除以2 負2分之3 那半寬是什麼 半寬就是大減小 負1 右邊減左邊 然後這是整個寬除以2 所以是 負1加2就是1 1除以2分之1 所以你不是要 X要去減掉中點 然後小於半寬嗎 所以 你的式子就是X減掉中點 中點是負2分之3 絕對值 小於半寬是2分之1 所以就會得到 X加2分之3 減負2分之3 就是加2分之3 絕對值 小於2分之1 接下來問題是 我們題目給的是 AX減9絕對值 所以他的長數 長數項的部分 不一樣 那我們要怎麼調整 首先我們先 給他 負2分之3 要乘以多少 才會是負9 他一定是乘負的吧 那2要消掉 所以就是至少要 2倍那也不夠 那3要變成 9是不是還要再乘以3 所以是不是乘以負6 乘以負6的時候2乘以負6 是負3 所以我們要乘的數字 是負6 但是本來是在絕對值 內乘 在絕對值內 要負6 所以才會有這個 絕對值負6 為什麼要去乘以絕對值負6 兩邊同乘以絕對值負6 X加2分之3絕對值 乘以絕對值負6 2分之1這邊也乘以絕對值負6 兩邊同乘以一個絕對值 那乘以的數字 是正的方向不用變 所以小於還是小於 左邊我們就把這個 合併了 為什麼合併呢 因為A絕對值 B絕對值 他就是AB的絕對值 所以他裡面的負6絕對值 乘X加2分之3絕對值 就像A絕對值乘 B絕對值 他可以合併 所以合併之後這個乘進去 就要分配率 就會得到負6X 然後去減 為什麼是減呢 因為負6乘2分之3約掉2 然後還有負3嘛 變成負9 所以變成負6減9絕對值 右邊的話 因為負6絕對值就是6 那6跟2消掉就是3 所以才會得到 小於3這樣 那得到這個負6S減9絕對值 小於3 題目是AS-9 絕對值小於B 所以這個人就是A 然後小於右邊的那個就是B 3就是B 所以A就是負6 A就是負6 然後B就是3 題目是要A-B 所以A-B就是負6 A是負6 B是3 所以負6減3就是負9 這樣就得到這一題的答案