Corrigé bac Amérique du nord 2024 spé maths ♦ Convexité ♦ Rappel cours + Comment REDIGER sur copie

http://www.jaicompris.com/lycee/math/bac_spe/bac_spe_2024_amerique_nord.php
Pour continuer les révisions: exercice sur intégrale et suite: https://www.youtube.com/watch?v=aJOAw3lLHrM
Soit f la fonction définie sur ]0;+∞[ par f(x) = xln(x²) -1/x
Partie A : lectures graphiques
On a tracé la courbe de la fonction f et la tangente T à la courbe de fau point A(1;-1) qui passe aussi par B(0;-4)
1. Lire f'(1) et donner l'équation réduite de (T).
2. Donner les intervalles sur lesquels f semble convexe ou concave. Que semble représenter le point A pour la courbe de f ?
Partie B : étude analytique
1. Déterminer la limite de f en +∞ et en 0.
2. On admet que $f$ est deux fois dérivable sur ]0;+∞[:
a) Déterminer f'(x)
b) Montrer que pour x de ]0;+∞[, f''(x) = 2(x + 1)(x - 1)/x^3
3.a. Étudier la convexité de f.
b. Étudier les variations de f' puis le signe de f' sur sur ]0;+∞[.
En déduire le sens de variation de f.
4.a. Montrer que l'équation f (x) = 0 admet une unique solution α sur ]0;+∞[.
b. Donner la valeur arrondie au centième de α et montrer que :α² = exp(1/α²)