Corrigé bac Amérique du nord 2024 spé maths ♦ intégrale suite ♦ avec rappel de cours + Conseils ♕

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Corrigé bac Amérique du nord 2024 spé maths ♦ intégrale suite exponentielle sinus cosinus trigonométrie ♦ intégration par parties ♦ avec rappel de cours + Conseils
Pour tout entier naturel n, on considère les intégrales :
In=intégrale de 0 à pi de e^{-nx}sin (x)dx et Jn=intégrale de 0 à pi de e^{-nx}cos (x)dx
1 Calculer I0
2a. Justifier que, pour tout entier naturel n , In ≥ 0
2b. Montrer que, pour tout entier naturel n , In+1-In ≥ 0
2c. Déduire que la suite (In) converge.
3a. Montrer que, pour tout entier naturel n , In≤ intégrale de 0 à pi de e^{-nx}dx
3b. Montrer que, pour tout entier n≥1, $ intégrale de 0 à pi de e^{-nx}dx=(1-e^{-npi})/n
3c. En déduire la limite de la suite (In).
4a. En intégrant par parties In de deux façons différentes, montrer que pour tout entier n≥1:
In=1+e^{-n\pi}-nJn et In=1/n Jn
4b. En déduire que pour tout entier n≥1 : In=(1+e^{-n\pi}){n²+1)