【張旭工程數學】微分方程 [19] n 階常係數非齊次常微分方程式的解法之一：逆運算子法｜觀念、例１

好,那我們接下來講解這個長系數分析式常規方程的最後一種方法 就是這個逆運算值法 那我把它稱為背背法 可以把背公式背到一個極致 就是直接背這個逆運算的公式 就是因為我們在解這個 Ldy 等於 Rx 的時候 如果這個是有逆運算的話呢 我是可以直接把這個逆運算拿過去的 就好像這個矩陣有沒有 Ax 如果等於 B 對這個矩陣如果不熟的啊 記得可以去複習一下高中數學 或者是說看這個章序講線性代數 我之後講線性代數的內容 或者是說工程數學裡面 我們也有這個線性代數篇 到時候可以看一下這樣子 這就好像是這種感覺 這個背公式背到極致就是這樣子 Ax 等於 B 對不對 那如果這個矩陣可逆的話 你是不是可以把 x 寫成 A 的反矩陣 B 呢 對不對 那這個反矩陣是可以算的嘛對不對 但是有些逆運算呢 它不是像反矩陣一樣可以有公式 有步驟可以這樣算下來 那這個時候怎麼辦呢 這個時候就可以背有沒有 這個下面就一大堆公式給你背啦 OK 好那所以呢 這個所有解微分方程裡面呢 這個最暴力啊 就是最考驗你的記憶體的這個 一個技術呢就是背背法 你的記憶體越強的話 那你用的公式呢 強度就越大 你中間就省略掉非常多的計算了 因為你把所有的計算都打包在公式裡面了 前面都是那個三種方法 不管是這個拆拆法 就是我們的代定係數法 或者是降解法 或者是我們的這個 上個方法是什麼東西 參數法對吧 這三種方法呢通通都是需要經過大量計算的 等一下你會看到呢我們使用背背法的時候 省略掉非常多計算了 原因是因為呢 那些計算呢都已經在這些公式的推導過程當中 已經藏進去了 所以我們直接用它的結論 當然那個速度會快囉 OK 來我們開始講這個重點 請看這邊 第一個背背法核心觀念 我們剛剛講過了 就 Ldy 等於 Rx 那其實我們就想 如果這個有逆運算的話 我就直接把逆運算拿過去就好了 所以呢可以把它寫成這樣子 Ld 分之 1 然後這邊是 Rx 可以吧 注意喔這個仍然是個運算喔 這個是 Ld 的逆運算 它不是除法而已喔 它也可以某些情況下可以看成除法 但是呢它實際上是另外一個運算喔 可以吧 Ld 的逆運算 OK 好 那這個逆運算的公式呢 對付到不同的 R 的時候 就會產生不同的公式 所以你看這個 R 基本上是分成好幾類 基本上我們把它分三類啦 第一個如果你是這個 1 的 Ax 這個指數類型的 那個我們公式就會有一類 對不對 然後再來是 cos 跟 sin 然後等一下還有第三類 第三類的話就是這個 x 的 n 次方 有沒有一般的這種 所以遇到不同的類別的時候 你公式都會長得不一樣 那這邊呢我們很快的就介紹一下它公式的結論 好不好 那至於它怎麼推導的呢 一樣我們放在補充教材 可以嗎 好來請看這邊 現在我就是要看這個 Ld 的逆運算 碰到這個 R 不同的 R 的時候它 產生的公式結果會是什麼 OK 來我們看這個結果 譬如說如果你遇到的 R 是 1 的 Ax 的話 然後呢 來這個 La 分兩種狀況 第一種狀況是把這個 A 代進去這個 L 的時候 不等於 0 可以吧 因為這個 Ld 它會長什麼樣子 Ld 其實長得是像這樣子 An d 的 n 次方 加上 An 減 1 d 的 n 減 1 次方一直加加加 加到 A1d 加上 A0 對不對 那現在呢你把這個 d 的部分用 A 代 就相當於是把這 A 代進去這個多項式裡面對不對 代進去這個多項式裡面 這個多項式如果要是有 A 這個音式 X 減 A 這個音式的話 那是不是代表說呢 A 代進去就是 0 那如果沒有就不是 0 所以你這 A 代進去有可能是 0 有可能不是 0 特別來說如果不是 0 的話 這個時候啊你的 Ld 去對付到這個 Eax 的時候 它就直接把 A 代進去就好了 就這麼簡單 就變成 La 分之 1 Eax 就這麼快 那至於它怎麼來的呢 來這個地方呢 我簡單的講一下 就這個而已 因為公式太多了 如果全部證完的話 那這個影片你大概看不下去 所以我這邊稍微簡單講一下 剩下的部分我把它放在那個 補充教材好不好 來請看這邊 OK 來我們現在呢 這個逆運算長這樣子嘛 那我就先正運算看看 我想一下 Ld 如果對付這個 Eax 會發生什麼事好不好 Ld 對付 Eax 的時候 Ld 本身叫做什麼 An d的 n 次方 然後呢加上 An 減 1 d 的 n 減 1 次方 一直加加加加到 a1d 再加上 a0 然後去對付這個 去對這個東西產生作用嘛 對不對 好那你想 一個常數去對付它 它就是變成 a0 乘上它 對吧 那如果微分一次是不是會產生一個 a 對不對 這一項對到它的時候 來我們看一下 我們把它好好的寫開來 這個對付到它的時候變 a01 的 ax 對吧 然後呢這個 a1d 有微分一次 有微分一次就把 a 掉下來一次 它就變成什麼 a1 a 然後 Eax 對不對 然後再來就是兩次嘛 對不對 因為微分兩次的話就掉兩個 a 下來 所以 a2 這邊應該是什麼 a2 a 的平方 Eax 這樣子對吧 然後一直過去嘛 那你看喔 如果微分一次掉下來一個 a 微分兩次掉下來兩個 a 那微分 n 次就掉下來幾個 a 是不是 n 個 a 對不對 所以這邊應該是 an a 有 n 個 然後 Eax 那因為每個人都有 Eax 嘛 所以我再把 Eax 怎麼樣 再移到後面去就好了 它就會變成是 an 然後 a 的 n 次方 然後加 一直接著加到 a2 a 的平方 加上 a1 a 再加上 a0 去對這個 Eax 就去做這個乘積 那你不這樣整理 一整理你就會發現 這個我黃色畫起來的不就是 看起來好像是用 a 代入 ld 嗎 有沒有 因為你的 ld 長得像是這邊用 d 代入 那你這邊改成 a 是不是就相當於這個 ld 用 a 代入 所以黃色的這一塊呢 其實就是我們的什麼 la 所以我就得到了一個公式 來這邊空間寫不下 我寫在這邊 等一下我這邊再擦掉 所以我就得到一個公式 來 ld 去對這個 Eax 作用的時候 它會變成什麼 ld 去對 Eax 作用的時候會變成 la Eax 什麼意思 注意哦這是一個運算哦 這是運算哦 ok 運算 對這個函數做運算之後 這個還是函數 這是數字哦 這個是數字哦 係數而已 因為 a 已經代進去 這是數字哦 所以我可以這樣看哦 Eax 被 ld 這個運算作用成 la Eax 那既然這個函數被它作用會變成它 那這個東西被 ld 的逆運算 就會變回 la 就會變成 Eax 可以吧 我的 Eax 被 ld 作用之後變成它 那這個呢 經過 ld 的逆運算就變回來了嘛 因為正運算跟逆運算是互相顛倒的關係嘛 對不對 好那再來注意 因為這個是數字 而這個是微分 對不對 係數是不會受微分影響 這好像是什麼意思 現在假設 5x 5ex 好了 你給它微分是不是變成 或者這樣 5ex 就好了 5ex 微分是變成 5ex 對吧 那你現在 我這樣舉例可能不太好 來譬如說 我們怎麼舉例呢 譬如說 這個 3x 平方好了 微分對不對 這個是不是會變成 6x 對吧 ok 好那我可不可以這樣看 就是說我如果沒有乘以 3 的話 會變成怎樣 如果 x 平方直接微分 那是不是就變成 2x 那是不是就可以看成是 6 除以 3 的 x 對吧 也就是說如果我這邊有乘以 3 的話 跟這邊沒有乘以 3 的話 這邊也會變成 這邊有乘以 3 這邊沒有乘以 3 嘛 這邊就要除掉嘛對不對 所以意思就是說呢 來你現在呢 1e 的 ax 如果經過這個運算變成它的話 那現在呢 如果我現在前面先除掉這個 la 先除掉了 那我經過這個 ld 運算 是不是就不會有這個係數了 對不對 就像這邊一樣啊 這邊有 3 倍 所以這邊微完分之後這邊有 3 倍啊 那這邊沒有 3 倍的 這邊就要變成沒有 3 倍的 2x 啊 懂我意思嗎 好所以你看喔 這個是 這邊有倍數的嘛 對不對 那你如果把這邊除掉變成沒有倍數的 這邊就要跟著除掉 這也可以這樣子看 懂我意思嗎 因為這是微分 好所以呢 來現在呢 如果再看一次 1e 的 ax 如果經過這個運算之後變成它對不對 那所以如果你把這邊除掉 la 這邊也要跟著除掉 la ok 好那反過來看 1 e 的 ax 被 ld 運算變成它 所以反過來講 1 ax 就會被 ld 的逆運算 算到 1 e 的 ax 可以吧 仔細看下面這條路 這個人被 1 e 運算之後變成它 可以吧 這個人被它一作用變成它 就這邊寫的 這個 1 ax 被 ld 分之一作用變成它 可以吧 1 ax 被它作用變成它 這就是這樣子來的 ok 你會發現這個證明呢 其實有一些要思考的地方 所以證明的部分 剩下的部分 我們把它放在補充教材好不好 ok 好 來那我們這邊就努力背公式囉 先以得分為主好嗎 來請看這個第二個 接下來我們準備看第二個 第二個 好那你說 現在這個是因為不等於零 所以你可以直接代嘛 對不對 這個分母不會是零 所以沒問題嘛 那如果 la 是零的話怎麼辦呢 來注意 如果你的 la 是零的話 你可以先把所有產生零的那個重根 全部都先提出去 也就是說它可以提出 假設它是 m 重根好了 那裡面應該是什麼 這個 d 那個 d 減 a 嘛 的 m 次方對不對 你如果代 a 會是零 裡面一定會有至少 d 減 a 一次式嘛 那不一定只有一次啊 可能有 m 次啊 那除完之後是不是剩下一個三式 我們把它叫做 qd 好了好不好 可以吧 好 eax 好 那一旦變成這樣之後 這兩個東西對它作用 來這兩個東西對它作用的時候 這個東西 如果是這個的話 對它作用直接變成什麼 這個已經代 a 進去不是零了 注意哦 這一個東西 所有的能夠產生零的那個因式 全部都提到前面去囉 所以這個呢已經是 d 減 a 不是零了 應該說 qa 不是零 可以吧 把所有可能是零的全部去掉了 ok 來我們這可能寫不下 把它寫在上面 這個 qa 不是零 好 那現在呢這兩個東西來 第一個這個對它作用的話變成什麼 這個對它作用 因為這個代 a 進去已經不是零了 所以它一定會出現一個什麼 qa 分之一 可以吧 就跟上面公式一樣啊 它對它作用不就是直接 因為這代 d 代 a 進去不是零 就直接代 a 進去就好了嗎 所以這邊如果代 a 進去不是零 它就直接代 a 進去啊 可以嗎 可是這樣做完之後還有它 那這樣重根對它的作用會變成什麼呢 來這邊先背 會變成 m 個的話就 m 階分之 x 的 m 次方 然後 eax 可以吧 只要看到重根的都會變成這樣子 ok 幾個重根我就是幾階分之幾次方 跟派對展開式的 dm 像有點像 ok 然後後面再保留這個 eax 好那至於它怎麼來的 一樣我們這邊就不證明 剛剛證這個就已經證很久了 所以這個應該要證一段時間 好那我們把它放在普通教材 好那再來看 那我們單獨來看這個 那如果它沒有這個 q 只有 d-am 呢 你看這個代 a 進去是零嘛對不對 所以不會是直接把 a 代進去 那它會變什麼就跟這邊一樣 來只要看到重根的有幾重根 就是幾階分之 x 的幾次方 所以這邊就是直接 m 階分之 x 的 m 次方 然後 eax 就這麼簡單可以吧 好那最後一個請看這邊 如果這個 ld 分之 1 它對付的是 eax 後面還多了一個 f 多了一個函數 那會怎麼辦呢 多了這個 好那我跟你講 這個呢會產生一個平移 e 會拿出去 好注意看哦 如果這個 ld 分之 1 這個逆運算碰到它們的時候 這個可以拿出去的 它我先寫公式給你看 會變成這樣 eax 然後呢這邊變成 ld 加 a 分之 1 f of x 可以吧 好就是長這樣子 你可以稍微記錄一下 這種叫做平移公式 很多時候啊 這個遇到 eax 的時候都會產生平移 那你可以把它記成呢 凡走過必留下痕跡 你可以把它想像成這個 eax 呢 如果後面還黏著一個 f 的話 它就很想逃出來 逃出來的過程當中 碰到了這個 ld 所以呢這邊就留下了加 a 可以吧 就好像你可以想像成 這個拿出來的時候 碰到下面這個 下面這個就加 a ok 好那它怎麼來的 一樣我們放補充教材好不好 好那我們再看下一個 下一個的話呢 是這種 cosax sinax 類型的 好那如果 cosax sinax 類型的話呢 它的判斷的分類啊 並不是用代 a 進去是不是 0 它不是代 a 進去是不是 0 它是代這個負 a 平方 但是注意哦 這也不是直接代負 a 平方哦 這個的負 a 平方 代進去是代什麼你知道嗎 這個是 d 平方用負 a 平方代入 可以吧 這個不是 d 本身用負 a 平方代入 它是 d 平方要有個平方 整個平方都換成負 a 平方 好整個 d 平方都換成負 a 平方 結果發現不是 0 的時候呢 哎這個時候我們就這樣算 啊如果你像這個 你看像這個 如果你的 ld 分之一長得像這樣 這個 d 平方改成負 a 平方之後 負 a 平方加 a 平方剛好變 0 了 那就會是下面這兩個公式 可以嗎 好來我們看一下哦 如果你代這個 d 平方 代負 a 平方不是 0 的話 它會變成什麼樣子呢 它會變成是 這個直接代負 a 平方 因為你代負 a 進去不是 0 嘛 負 a 平方進去不是 0 嘛 就跟前面一樣啊 你代 a 進去不是 0 那你就直接代 a 進去 那你現在 d 平方 整個換成負 a 平方不是 0 你就直接代進去 可以嗎 那就變成 cos a x 好那這邊也是一樣 這邊也是直接把它代進去 l 負 a 平方 好 d 平方整個換成負 a 平方 然後這邊是 sin a x 好所以這邊稍微注意一下 只要當你的這個 la 不是 0 的這種分類就很棒 為什麼 因為都是直接把這個 ld 用 la 代入 然後後面這個東西呢都不變 有沒有看到後面這東西都不變 你的 sin 跟 cos 的版本 只要你的 l 這個負 a 平方不是 0 的時候 記得不是 0 的時候就特別棒 可以吧 不是 0 的時候呢 你的 ld 平方 這個 d 平方用負 a 平方 代入不是 0 的時候 就直接把它換掉就好了 那這個一樣 這個保持不動有沒有看到 這個直接繼承過來 它都有這樣的特性 只要你的 ld 平方 這個 d 平方用負 a 平方代進去的時候不是 0 好那這時候呢 這個 d 平方直接用負 a 代 而且呢 sin a x 仍然是 sin a x 可以吧 它非常的漂亮 非常的工整 好那如果是代進去是 0 呢 代進去是 0 就可能不太工整了 就跟這個一樣 代進去不是 0 那你可能就有一些變化型 那麼對 sin 跟 cos 的變化型的話呢 它就會變這樣子 像如果是 cos a x 的話 它就會變成什麼呢 它就會變成是 2a 分之 1 然後呢是 sin a x 就 sin 變 cos cos 變 sin 這樣子 然後呢這個的話變成負 2a 分之 1 cos a x ok 特別要注意這邊有個負號 這個沒有負號 可以嗎 cos 的沒有負號 sin 的有負號 這個一定要小心 ok 好 那這邊呢 因為我們都是用平方來換 有沒有 都是 d 平方用 a 平方代入 那有時候我們在計算過程當中 不一定每次都有 a 譬如說如果我們面對的 ld 假設我們的 ld 就叫做 d 減 3 好了 啊那你現在面對這個怎麼辦 d 減 3 分之 1 然後 cos a x 那怎麼辦呢 怎麼處理 它沒有平方啊 那這時候我們就想辦法自己照平方 好不好 那我這邊舉個例子給大家看一下 ok 我們剛剛講到就是說 這個如果要是它這個 它沒有平方的話 cos a x 系列 如果這個 ld 它沒有平方的話怎麼辦 好如果沒有平方的話 我們就這樣操作 來請看這邊 我們給它自己創造 有沒有 來 d 減 2 然後呢 d 減 3 啊不 d 減 3 d 加 2 d 減 3 幹什麼 d 加 2 啊這邊也 d 加 2 故意給它上下同乘 造成這個平方向 對不對 好那它就會變成什麼 它就會變成是 這個 d 加 2 啊這邊就會出現平方 來 d 平方減 2 平方 對不對 然後這個是分之 1 cos 3 x 好那現在這個就是 a 對不對 來把 d 平方換成 -a 平方試試看 那它會變成什麼東西 它會變成是-3 平方 整個 d 平方換成-a 平方 就是-3 平方減 2 平方分之 1 好那你看這個帶進去它會不會是 0 它不是 0 啊 不是 0 就直接代啊 所以我們直接代公式 來之前有講過嘛對不對 剛剛的時候有講過 它會變成是什麼 來直接代它會變成 d 加 2 然後這邊是這個-3 平方減 2 平方分之 1 然後 cos 3 x 好那這個只是一個係數 對為分來講可以提出去 所以就變成是-1 3 那這個 d 加 2 對它為分 就是 d 對它作用 2 對它作用 為分對它作用的時候就變成什麼 就是變成-3 sin 3 x 嘛 對不對 那 2 對它作用就是變成加兩倍的 cos 3 x 這樣就結束了嘛對不對 你看你要不要乘進去都可以 乘進去的話它就變成是 變多少 變成 3 3 sin 3 x 減掉 2 3 cos 3 x 就是這樣子 可以吧 好所以這個如果你要是裡面沒有 d 平方的話 你可以透過一些乘法公式 自己創造 d 平方 就這麼簡單 好來看最後一類 如果是 x 平方 xn 次方的話呢 如果是 xn 次方 來 xn 次方的話呢 我就直接把它長除法除一除 除一除從這個 0 次 開始 a1 a1 d 的 一次加 a2 d 的平方 來它會變成 a1 0 加 a1 d 加 a2 d 的平方 一直加加加到 a1n dn 然後這邊是 xn 這樣就好了 可以吧 這個只要為分 n 次就好 因為為分 n 加 1 次它一定會變 0 所以你這邊只要把它除到 n 次就可以了 這個地方稍微注意一下 這個用 這個是此為用長除法計算之結果 我不要講之結果 計算到 d 的 n 次方之結果 就是你用長除法在算的時候 拿 1 對不對 去除以這個 ld 對不對 ld 可能是這個 譬如說是什麼 d 平方加 3d 減 2 之類的 那你在算這個東西的時候 那是不是就是一直算 對不對一直除嘛 我們這個倒著寫 這個要生命排列比較好 -2 加 3d 加 d 平方 譬如說像這個 像這個的話 那我們怎麼寫來 -1 2嘛 對不對 然後-1 2乘它就變 1 然後減 3d 2 然後再減 1 d 平方 對吧 是不是長這樣子 那一減下來之後 這邊變 3d 2 然後再加上 1 d 2 平方 好那你為了把這個消掉 是不是要再減掉 這個 3 d 4 對不對 然後你這邊一乘下去 就變成 3 d 2 然後這個乘下去就變多少 減 9 d 4 平方 還有加最後一個 減掉 3 d 4 三方 你就會發現 這個雖然消掉了 但是後面會一直延伸下去 無限延伸 所以這個可以一直寫 一直寫一直寫 可是我們寫到哪裡就好 寫到 d 的 n 次方就停止了 為什麼 因為你把它寫完之後 那這個地方 如果 d 的 n 加 1 次方的話 這就 n 次 你為了 n 加 1 次一定會變 0 所以後面幾項不重要 可以嗎 那這個是唯一一個 真的 ld 分之 1 看起來像除法的一個案例 好不好 那其他的話都不太像 其他的話要看成逆運算 但是這個的話 剛好可以看成除法 OK 所以我們面對這個 1 的 ax 或者是 cos ax sin ax 或者是 x 的 n 次方 x 的 n 次方 現在我們在套用這個 ld 分之 1 的公式 我們都已經介紹完了對不對 那請各位一定要把它記下來 這個對它 如果 a 代進去是 0 會怎麼樣 a 代進去不是 0 怎麼處理 再來遇到這個 cos ax sin x 它對它們作用的時候 來 d 平方 用什麼 用負 a 平方代的時候 如果是 0 會怎麼樣 如果不是 0 要怎麼處理 要記一下 那再來這個 如果 ld 分之 1 面對 x 的 n 次方 那怎麼做 來就在這邊長除法 可以嗎要記一下 好那這些如果都記熟的話 那我們就可以開始來解題了 來請看這邊例題 那當然那邊有寫一個看起來像廢話的東西 背背法求特解的步驟 來第一個背公式 第二個套公式就這樣子 來套給你看 來 use the method of inverse operators to solve this 就是這個逆運算法 可以吧逆運算子的方法 來去處理這個我們的老朋友 從方法一到方法三 這個拆拆法降階法 然後還有這個 有一個參數法 到現在的我們的背背法 全部都有這一題 大家可以比較一下 那各種方法它的計算的這個難度不一樣 那我們來體會一下背背法 它的難度到底有多低 請看這個第一個 好來第一個 你要求這個它的通解的時候 第一步我們還是得先求它的其次解 可以吧 那其中這個 yh 等於多少 yh 等於 c1 不是 c1 它是複數根 我記得它的複數根算過很多次 叫做負1加減2i 對不對 所以它的 yh 就是1的負x 十步拿來當這個 然後 c1的 cos2x 加上 c2的 sin2x 對吧 好這個解出來了 來第二步 yp 怎麼解 來 yp 現在我們這個 yp 的話 就看一下這個 這個是什麼 這個是那個 d ld 等於什麼呢 ld 等於 d 平方加 2d 加 5 對不對 好那現在的 a 是幾 這個 a 是 3 這個 a 這是 a 所以我們把這個 3 代進去 l3 等於多少 3 的平方加 2 乘 3 加 5 等於幾 9 加 6 15 15 加 5 20 它不是 0 對不對 那現在它代進去不是 0 所以我們就可以推得什麼 來 ld 應該說 yp 來 yp 等於 ld 分之 1 的這個 1 的 3x 就等於 l3 分之 1 的 3x 對嘛 我們前面是不是講 1 的 ax 被這個 ld 分之 1 作用的時候 只要你 d 用 a 代進去不是 0 你就直接代 a 進去就好了 對吧 那我們代進去是不是直接變成 20 分之 1 的 20 分之 1 的 1 的 3x 次方 哇你看 超快耶 很快就算出來了 為什麼 因為你把計算的複雜度 全部放到公式裡面了 懂我意思嗎 我們就是直接背公式 套公式當然速度是最快的 對吧 好所以我們現在得到 yp 最後來第三步 y 等於 yh 加 yp 等於 這個 1 的負 x c1 cos 的這個幾 2x 是不是 2x 加上 c2 的 sin 的 2x 再加上 20 分之 1 1 的 3x 這就是此題答案 你看這個算出來跟前面 算的那些所有的 yp 都長得一模一樣 都是 20 分之 1 這個數字 有印象嗎 對吧 所以呢 我們再次證明瞭 這個方法是可以用的 跟前面算出來的答案 是沒有相違背的 所以這個方法真的是快 那有些學校有教 有些學校沒有教這些方法 那如果你學校有教 而且指定要用這個方法做的話 算你賺到 因為它計算量很小 可以嗎 那如果真的要考這個的話 還是要背一下 可以嗎 那如果來不及背的話 那你們知道有一些 幫助你們記公式的方法 對不對 譬如說臨時記憶法 什麼叫臨時記憶法呢 我覺得我還是不要講這個好了 你們自己想一下 什麼是臨時記憶法 譬如說先寫好記憶法之類的 好那還有什麼呢 譬如說 那如果說 你們的學校沒有教這個的話 那你要不要會這個方法 我建議還是要會一下 你知道為什麼嗎 因為你有沒有發現 不管是猜猜法 代進系數法 或者是我們的這個 就是降階法 或者是我們的參數法 其實計算量都很龐大 你計算量很龐大 就算你步驟很熟 有時候會不小心算錯 對不對 那你不小心算錯 你不覺得很歐嗎 你整個動作都會啦 整個步驟都會啦 可是最後就只是不小心算錯 那不是很可惜嗎 所以這個時候 這公式法就提供你一個 快速又簡單的驗算的 一個途徑 對不對 你現在 它規定你用什麼方法算 你算出來了 那你可能會擔心計算錯誤 你考試考完又還有多一點時間 這時候怎麼辦 來用公式法去算答案 如果算出來答案是一樣的 那基本上你的答案就是對的 那如果答案不一樣怎麼辦 告訴你一個小祕訣 通常如果計算量太龐大的 然後通常助教會先看你的解答 最後的解答 如果最後解答是對的 而且你的步驟看起來是合理的 就是先解其次解 然後再解特解 特解你用什麼方法有那個樣子 譬如說你用這個參數法 裡面總是要有行列式嘛 對不對 你沒有行列式 你就看起來不像是在解參數法 所以如果你的步驟看起來是對的 你最後解答是對的 其實助教不太管你中間計算過程 也就是說 如果你會公式法的話 我教你們一個偷喫步的方法 很有用的 就是你前面三個方法都會對不對 猜猜法 然後這個降階法 或者是這個參數法都會對不對 你就把格式寫好 計算過程寫好 對吧 就盡量算啦 就是如果你懶得算或時間不夠 就把它寫的煞有其事的樣子 對不對 最後的答案寫這個 用這個來算 那這樣子你這一題絕對對 除非你的助教超有時間 就是從頭到尾一行一行去看 你這個等式到底哪裡對哪裡錯 不然的話基本上趕時間的助教 他只會看你的解答對不對 對的他基本上就打勾了 那如果你的這個解答過程當中 看起來還真的像是 那個方法應該要有的樣子的話 那你就一定對 ok 所以你要不要學這個公式法 其實我是覺得蠻必要的 雖然我自己是蠻不喜歡公式法的 因為我是念數學的 那念數學的話 計公式其實 除非我真的是要做研究用的 不然的話我不太提倡計公式 但是呢 如果你在學微分方程的這個過程當中 如果學到了這一個 其實對你來講是非常有用的 因為他最棒的一個價值 就是拿來驗算 而且他驗算的代價非常的低 你背完了之後 他的計算過程非常的短 他不像一般的驗算 就是你可能一般的方法計算 然後用驗算的方法計算 兩個複雜度是一樣的 這個不是 這個是你正常的方法算可能很長 但是你的驗算過程很簡單 懂我意思嗎 因為他把複雜度全部藏在這些公式的證明過程當中 所以呢 這個一定要會 OK不管你學校有教或沒有教 有教就本來就要會 沒有教你就把它拿來當驗算的一個工具 OK 好那這個是第一個例題 還有我們講這個公式法 就是我們的這個背背法 好的一個內容 那等一下呢 我們有更多的題目要磨練 大家計公式跟套公式的一個能力 好嗎 那我們等一下再來看 那至於那個前面講這些公式的證明 我們就把它放在補充教材 那你如果想要先去看補充教材也是可以 好那我們等一下會先講例題二 那我們就下個例題見囉