第十四章 流體力學 Fluids (2/5)

好 我們來看一下一個example 那這個example其實很簡單 它是說 假設有一個U型管 U2 畫在圖上 它contains two liquids 有兩種的液體 instead of equilibrium 就是平衡狀態 就是不會混來混去 不會動來動去 那這兩種液體是 一個是water of density 是raw water 你看這邊是1000公斤每立方公尺 我們剛剛提過了 如果你是這個克每立方公分 是大於一克每立方公分 那乘1000倍就變成1000公斤每立方公尺 這是單位的換算 然後呢 it's in the right arm 在右邊 U型管還有兩個arm 左邊一個 右邊一個 and oil of unknown density 就是油 然後它的不知道密度是多少 it's in the left 在左邊 U型管的左管 那測量過後 measurement gives 這測量過後 它告訴你說 它這邊有一個圖 它的L的長度是 135mm 然後D的長度是12.3mm 然後最後問你說 what is the density of the oil 就是油的密度是多少 那圖示在這邊 所以你看到說 左邊的油 它的長度就是D加L 然後右邊的話 就是水的長度是L 然後上面還有空氣 它的長度是D 正常的算法怎麼算 正常的算法應該是這樣 應該是從這個 我們寫level0這個地方 這個高度 開始去算壓力差的問題 那我們在算壓力差的問題中 會有什麼 用到氣體的密度 它有一段嘛 它長度是D 那氣體密度是1.23 我們前面有寫過 1.23公斤每立方公尺 那你看到它怎樣 遠小於1000公 這998公斤每立方公尺 遠小於水的密度 小了快1000倍 那所以你最後就發現 到這部分可以忽略了 那不然的話你正常是要 計算 譬如說 我們寫下這個 從level0開始 level0我們壓力叫做P0 那左邊這個管子 如果從level0然後走到 這個位置 油的深度是D加L的位置 那這時候油的密度是什麼 我們假設是row unknown 就寫個X 然後G就重力加速 然後它的長度是D加L 那右邊的話一樣 從level0它就是壓力是P0 然後裡面有一個row air G乘上D 是這一段 但這一段我們剛剛說過大概是 小了快1000倍 所以最後你都 忽略掉都沒有關係 然後再來再加什麼 加row water G 就這一段 的一個壓力 好 後面就計算了 那你看到這個同樣在level0的話 P0就是一樣 你就可以消掉 然後你只要 你要算這row X 所以只要把這個D加L 你看到它都有重力加速的G 所以G也可以消掉 這邊G的部分都可以消掉 那所以最後你就是變成 等於D加L分之 row air乘上D加row water乘上L 那實際上 這個太小了 這個幾乎都可以消掉 就是太小了 那你把它算一下 它最後就可以算出油的密度 一樣 這邊你看到915是 公斤每立方公尺 然後除以1000倍 0.915 就是克每立方公分 所以 計算上很簡單 只是你要知道說它 為什麼 這個氣體分子 那一段的壓力可以把它 把它這個 簡單的忽略掉 因為它太小了 小了快1000倍 所以這個概念很重要 但是計算很簡單 好 我們再來看一個example 那這個example其實在 告訴我們要注意安全 尤其你在潛水的時候 你每潛下一公尺 它壓力會增加多少 這樣一個概念 假設有一個 Anavi Scuba Diver 它就是一個新手的 潛水員 帶著一個 一般叫鐵肺的 就是它有額外的氣體 可以 吸氣呼氣的一個 罐子 那它帶著這個罐子 它往下潛水 它是在練習 它是在游泳池 游泳池就還好 深度不深 然後take enough air 它一開始先 它那個 tank裡面是 就是那個 它的鐵肺那個tank 裡面有足夠的空氣 所以它一開始 take enough air from his tank to fully expand his lungs 就是 吸了一口氣 把他的肺吸滿氣 before abandoning the tank at depth L 其實它的概念就是 它已經在 在一個深度L 底下 然後它把它的那個 tank裡面的氣體 把它吸到它的肺裡面去 然後接下來 它要把那個 鐵肺的工具 放在 游泳池底下 然後接下來要怎樣 要游到表面上 最後這句 它的概念就是這樣 所以它就是 在肺裡面吸滿氣 然後從深度L的地方 往上要游上來 那當然這是不對的 為什麼 因為氣體就會 因為在水底下的時候 這氣體的壓力會比較大 然後到水面上的時候 它就會膨脹 這過大的壓力會傷害到身體 就是在他上升過程中 他忽略掉 這個我們說 有一個安全步驟 有一個正常的步驟 是在上升過程中要把氣體慢慢吐掉 他沒有吐掉 當他達到水面的時候 那當他到水面的時候 實際上這個壓力差 是9.3K 當然你可以算出這個深度 L是多少 從這個壓力差 那這個壓力差其實講 就會造成氣體膨脹 它會傷害到肺 好 不過不管啦 它會傷害肺 但是我們重點是說 從壓力差我們可以算出 它的深度是多少 所以它在L的位置的時候 有一個壓力PL 那是什麼 是在水面上 只有什麼 只有P0 是大氣壓力 EATM 然後往下面 有一個Rho RhoGL 往下面 有一個深度L 就有一個RhoGL 所以這個壓力差 就是RhoGL 那壓力差它的數字給你的 然後你的Rho水的話 前面告訴你說是 998公斤每立方公尺 那所以你就可以算出來 這個壓力差是什麼 是9300 這是牛頓米平方 然後998 這是水的密度 加速度然後成長 深度 算出來其實不深 因為你知道這是游泳池 所以它的深度就是 接近1公尺 0.95公尺 好 我們再來看一個example 那這個example也是很簡單 它說 假設有一個 水壩 水的高度 水的高度在H高度 assume that the water the width is RhoW 假設這個水的密度是 RhoW if the width of the dam 假設這個水壩的寬度是W please determine the resultant force on the wall of the dam 請你去計算一下 這個 所有的壓力壓在這個 壩的這個牆面上 它的力量的大小是多少 那你看到這個水壩 因為你隨著 越來越深的時候壓力越來越大 所以你看到它這個寬度是變寬 這邊是變寬 這邊是比較窄 上面比較窄 所以你看到這個寬度的問題 這邊有寬度 這邊寬度 越深的話壓力越大 所以你發現到越深的地方 它的寬度要比較寬 纔能夠抵擋這個力量 好 然後我們前面學過 就是說隨著這個液體 越來越深的時候 壓力就是ρgh 那這邊是水嘛 所以是ρw ρw 然後乘上重力加速度 然後乘上它的這個深度 假設這邊往下 我們定義了一個什麼 定義了一個Y 正的Y方向往下 然後零點在哪邊 零點是在水面上 我們把它定義好 那這時候它往下 有一個深度Y的話 就是ρgy 那該部位我們要算什麼 算力量 那力量的話 是壓力 在深度Y的地方 有一個壓力 我們這可以寫成P of Y 等於ρgy 然後呢這P of Y要怎樣 要乘上什麼 乘上那個面積 就會等於 壓力乘上面積 就會等於力量 那所以你可以想像說 像這邊有畫一個藍色這一條 這個小小的 Y的變化量叫dy 然後它的寬度是w 所以 這一條藍色的地方 它的壓力就可以算出來 這個藍色的地方 它的壓力乘上面積 就是它的總力 總力就是 等於P of Y 乘上 這個面積 w再乘上 w再乘上dy 然後我們就可以寫下一個 積分的式子 然後可以利用積分來計算出總力的大小 所以這邊的話 我們假設在 這個Y0的地方 它有一個大氣壓力 P0 不過這個P0就不重要 因為我們要算的是這個總力 那越往深的地方 它會有一個ΔP 為什麼P0不重要 這個力量大家都一樣 就不用計算 那我們要算的是 比大氣壓力還要增加的力量 我們就要擋住那個力量 所以ΔP就是我們剛剛寫的 ρw乘上g乘上y 然後你就可以算出 那一條 那一條藍色的 它的面積它承受的力量 大小 就是把ρw乘上g乘上y 再乘上wdy 我們寫在黑板上 最後你就做積分 就是 積一下所有的微小的力量 然後整合變成 總力 積下那個力量就是 對高度的積分 對深度的積分 從0到h 積分很簡單 你看這邊是ρwg跟w 這些全部都是常數 剩下的只有y跟dy 那y的二次方 微分就是y的一次方 但要乘二分之一 所以這個出來就是二分之一y的二次方 你看到 它剩下的都是一些常數 是ρwgw 這些都是常數 然後積分出來 就是y的二次方 二分之y的二次方 微分會等於y 所以它積分出來二分之y的二次方 然後最後它上下邊要 再去做相減 那當然就是 二分之一倍的 ρgwh的平方 所以計算上很簡單 只要你能夠列出這個式子 很容易就可以算出來