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[音樂] 本章我們討論的是 採樣，好吧，所以呃，這裏的目標是 找到一種方法，讓你知道 使用離散時間樣本來表示連續時間信號， 好吧，所以呃，首先 我們要研究呃，採取的結果是什麼 時域和頻域中連續時間信號 uh 的樣本，從中 我們希望知道 從這些離散時間 樣本重建原始連續時間信號所需的條件以及主要動機 這樣 做是因爲你知道，與 連續時間相比，在離散時間處理信號通常更有效， 所以如果我們能夠知道 從連續時間和離散時間進行轉換而 沒有任何損失，那麼我們就有 可能處理信號 離散時間，然後將其轉換 回原始連續時間 版本好吧，基本上過程 是這樣的，所以我們首先執行 稱爲脈衝序列 採樣的東西，其中我們將 t 的原始信號 X 與脈衝序列 P 相乘 T 的看起來像這樣得到 T 的 x sub P 好吧現在 uh x sub P of T right X of P of T 是 T 的 X 和這個 脈衝序列的乘積，所以在頻域中 它將是卷積 x uh 的頻譜與脈衝序列的 quer 變換， 這也是 頻 域中的脈衝序列 好吧， 如果你這樣做，那麼你會得到 類似的東西，好吧，所以假設這 是信號 uh 的原始頻譜 現在，如果將 T 的 X 與時 域中的脈衝序列相乘， 則相當於將 頻譜與頻域中 相應的脈衝序列進行卷積， 因此這是 脈衝序列的 F 變換 時域好吧，所以與 Delta 函數的卷積將頻譜移動到 這些 Delta 函數的位置好吧 所以最終這個脈衝序列 採樣信號會給你一個頻譜 呃，你知道等於 在每個 Omega 整數倍處重複的 X 頻譜 現在可以了，給定這個 x 這個脈衝序列 採樣信號，您可以 通過簡單地將原始信號 X 通過理想的低通 濾波器來重建原始信號 X，因爲這些相鄰的 副本不會彼此重疊， 所以如果它們彼此重疊， 那麼它就是 您知道很難 通過簡單的低通濾波器清楚地區分兩個頻譜， 那麼 您能夠 從離散時間樣本中重建連續時間信號所需的條件是什麼？ 條件是採樣率 Omega s 必須大於 原始信號帶寬的 2 倍，所以 這是 您知道從離散時間樣本重建 原始連續時間信號所需的條件， 好吧，這就是著名的 nyid 採樣定理，它說 你知道，如果你以 大於 信號帶寬兩倍的頻率進行採樣，那麼你可以 知道 通過將這個脈衝序列信號傳遞 通過理想的L通濾波器來重建信號X oft 好吧， 嗯，所以當你通過 像 這樣的信號通過理想的低通 濾波器，那麼這相當於 我們所說的執行帶限插值， 這是因爲如果你將 其傳遞通過低通濾波器， 你基本上是在將 其與脈衝響應進行卷積 一個 理想的運通濾波器，它是一個同步 函數 好吧，所以重建 這個呃，好吧， 好吧，所以要重建信號， 你基本上將 T 的 P 的 x 通過帶有脈衝響應的運通濾波器， 這是同步 函數 好吧 所以 T 的 P 的 X 可能看起來 像這樣，所以當你將 它與這個同步函數進行卷積時，你 將在每個脈衝的位置上有一個同步， 這樣你就可以呃 這個和這個之間的卷積會給 你一些東西 看起來像這樣， 你可以證明你知道，如果 你知道它滿足這個紐約採樣 標準，那麼這種重建 可以讓你完全恢復原始 信號X， 所以這就是 我們上次所說的帶限插值 談到了呃一些更簡單的 近似，例如你可以進行 零階保持，或者你可以知道 一階 插值嗎現在這些不同類型 的技術可以被視爲你 知道使用脈衝響應的不同類型的插值，這些脈衝響應要麼 只是一個矩形 對於零階保持 或一階保持的三角形來說， 如果你轉換到 頻域，那麼你就會知道，你 知道扭曲的低通濾波器，所以 它仍然服務於我們的目的，但 你會因爲失真而產生失真 到 非理想的頻率 響應 好吧好吧，這就是我們上次討論的內容， 所以今天我們 繼續在這個克里特時間 處理 好吧，就像我一 開始提到的那樣，考慮採樣的主要目的 是你知道 採樣我們可以將 連續時間信號轉換爲 離散時間 序列，然後 在 離散時間處理這個離散時間輸入信號， 得到離散時間輸出信號， 可以將其轉換 回連續時間 信號好，並且 對於帶限信號是可能 的，可以定義 uh 來設計 離散時間系統離散時間 濾波器，使我們能夠實現 從 xct 到 yct 的有效連續時間濾波器 好吧，所以 uh 今天我們主要 關注 你知道如何做到 這一點好吧，所以首先 我們要繼續呃將 連續時間信號轉換爲離散 時間序列好吧，這是一個 連續到離散時間的 轉換，你 可以將其視爲連續到 離散時間 收斂 好的，這是 正確的，這個離散時間序列 是通過在大寫 T 的整數倍處取這個連續時間函數的值來獲得的， 所以如果你這樣做，那麼 xdn 將等於大寫 T 的 N 整數倍整數處的 XC 好吧，我們 通過在大寫 T 的 整數倍處採集連續時間信號的樣本來構造一個離散時間序列 好吧 好吧，那麼呃，我們 通過離散時間濾波器傳遞這個離散時間序列， 呃，我們通過一個離散時間輸入信號傳遞這個 離散時間輸入信號 離散時間濾波器以獲得離散 時間輸出 ydn ，然後將其轉換回 連續時間，因此這部分我們稱爲 離散時間到連續時間 轉換 現在假設這個輸出 信號也是您完全知道的 B 限制我們可以通過採用以下方式重建它 從這些離散時間 樣本進行插值 好吧，所以這 是 從等於 ydn 的 樣本 YC 和 T 插值的 好吧，所以 y DN 您可以將其視爲 連續時間函數的值， 該函數是大寫 T 的整數倍 所以 給定這些樣本，您可以 然後 通過 理想地使用這個呃你知道帶限 插值對 T 的 YC 進行插值，通過 時移同步 函數進行正確的插值 好吧現在如果你從 頻域的 角度來看 這個離散時間序列的 fre forer 變換 我們表示爲 XD e 到 J Omega 好吧，假設離散 時間系統的頻率響應 是 HD e 到 J Omega，那麼 輸出將具有頻譜 yd e 到 J Omega，等於 HD e 到 J Omega 時間 XD e 到 J Omega 好吧， 所以如果你看看離散時間部分， 這本質上就是正在發生的事情， 好吧，但是我們真正想要的是 對 連續時間信號執行某種處理，我們只是希望 在離散時間中執行此操作 降低 硬件複雜性 好吧，但是如果你看一下你知道的 整個 系統，我們從一個你知道的 信號 xct 開始，它 有一個 頻譜 xcj Omega，我們將它通過一個 具有有效響應 h c j Omega 的系統，然後我們希望得到 輸出 右 y c j Omega 等於 HC J Omega 讓我重寫 這個 y CJ Omega 等於 hcj Omega 時間 x CJ Omega 好吧，從根本上來說，我們要做的 是執行連續時間的線性時 不變處理 uh 的處理 輸入 信號具有連續時間 頻率響應 J Omega 的 H Sub C 好吧，所以這是基金，藍色部分 基本上是我們想要做的，但我們 希望能夠 通過選擇使用適當的方法來在離散時間中執行此操作 適當的 H subd 給我們一個 有效的 n2n uh 權利，這給我們一個 uh 有效的 n 到 n 響應， 由 J Omega 的 H Sub C 描述， 好吧，所以現在的問題是我們如何 正確執行此操作，我們如何選擇一個 適當的 HD 以獲得有效的整體響應， 即 HC 好吧，讓我們一步 一步地做吧，讓我們從檢查 連續 時間和離散時間信號之間的關係開始吧， 好吧，呃，爲了得到離散時間 序列，我們首先採取 連續時間信號的脈衝序列採樣 好吧，我們得到 T 的 P 的信號 X 的脈衝序列採樣，它 等於 T 時間整數倍的連續時間樣本 T 的 Delta 減去 nt 好吧，如果你 直接取 這個右邊的 forar 變換，每個 Delta 函數在時間 n 大寫 T 轉換爲 負 J Omega 的復指數， 這樣你就得到了這些 Delta 函數的加權和，它有一個 f 變換，即 這些複數的加權和 指數好吧，所以這是 你知道導出fure 變換的一種方法，但之前我們研究了 另一種方法，所以如果你查看，你 也可以查看 這個脈衝序列 採樣，我們也可以將其視爲 T 時間的X時間脈衝序列增量T減去 n t for n 從負無窮大到 無窮大 好吧，所以這相當於 這個權利，所以之前我們 考慮過這種情況，所以如果你 以這種形式查看這個脈衝序列採樣， 那麼 forar 變換隻是 X 的頻譜 和 對於脈衝序列的變換， 好吧，如果你這樣做，那麼 F 變換將爲你提供 XP J Omega 1 / T 總和 x j Omega 減去 n Omega 好吧，所以讓我在此處添加一個 c 好吧，這樣脈衝序列採樣 信號可以被視爲 連續時間信號與這個脈衝 序列的應用，所以如果你對其進行 F 變換， 你將得到 它的頻譜和脈衝序列的 F 變換的卷積， 這給你一些 你本質上知道的東西 連續時間 頻譜偏移 以 Omega 的每個整數倍重複， 好吧，所以這兩個是等價的，好吧， 現在或者現在 假設我們查看 我們得到的離散時間序列的變換 um， 所以離散時間 F 變換是 離散時間序列乘以 e 到 負 J Capital Omega n 的總和 好吧，所以這裏 我們只是使用 Capital Omega 只是爲了與連續時間頻譜的 uh Omega 區分開來 好吧好吧，所以 xdn 只是 連續 時間信號在大寫 T 的 N 整數倍處的樣本 所以假設我只是將 其替換在裏面，那麼這就是我們現在得到的結果 如果你將它 與 這個進行比較，如果你將它與這個進行比較， 除了這個之外，它們基本上是相同的 部分正確，所以這 實際上等於大寫 Omega 等於 Omega t 好吧，這向我們表明您知道 XD 對，這個 XD 等於 XP，小寫 Omega 等於大寫 Omega 大於大寫 T 好吧，所以如果您 將其代入 Omega T 抵消 ，你就得到一個大寫的 Omega 好吧，所以這就是說， 這個離散時間序列的 for 變換 只是 這個脈衝序列採樣信號的 forar 變換的頻率縮放版本 好吧，或者你也可以查看它 反過來， 正確或 等價地，你可以說 xpj Omega 是 XD e 到 J Omega 大寫 T 好吧 好吧，如果你想一想，這是 什麼，呃，這兩件事是對的， 所以當你對離散量進行四元變換時 時間序列我們從 之前知道你必須得到一個週期 爲 2 pi 的週期頻譜 好吧，所有光盤時間頻譜都是 週期爲 2 pi 的週期 現在當你對該 脈衝序列採樣信號進行 FI 變換時，這 是 週期爲 Omega s 的週期 這是 大寫 T 的 2 pi 好吧，所以這兩件事都是 週期性的，具有周期性重複的相同形狀的 頻譜， 所以不難想象這 兩者只是 通過一定的比例相互關聯，好吧，所以我們正在 縮放一些東西 這是週期性的， 週期 2 pi 超過大寫 T 到週期 2 pi 週期 2 pi 的週期，所以有一個按因子 資本 T 的縮放 好吧好吧，所以我們可以看看 這看起來像什麼 好吧好吧所以呃 就像我提到的 脈衝序列採樣信號 你也可以用這種形式寫它好吧 脈衝序列 採樣信號的頻譜你不僅可以 這樣寫你也可以這樣寫 好吧所以如果你這樣看的話 這只是一個摺疊頻譜， 每個 Omega s 的整數倍重複頻譜 XC 好吧，現在我們 知道我們從這裏知道 e 到 J Omega 的 XD 是 J Omega 大寫 T 的 XP 所以這應該 是 J Omega 在大寫 T 上的 XP 好吧，你只需用 Omega 代替 這裏的大寫 T 好吧，你知道 Omega s 你知道 Omega s 是大寫 T 的 2 pi 好吧，所以如果你在這裏替換這個， 然後在這裏替換 2 pi/ T，這就是 你得到的 結果 所以如果你看一下這個，這基本上是 XC 右時間標度頻譜的時間縮放版本，抱歉， 由大寫 T 縮放的頻率，它是 週期性的，它在 2 pi 的每個整數倍處重複，好吧，所以 這裏我們有兩個例子 可以選擇 不同的資本 T 所以 假設這是 XC 就在進行 脈衝序列採樣之後，這個 頻譜現在在 T1 期間的每個 Omega 的整數倍處重複，即 2 pi 好吧，那麼當你將這個 脈衝序列採樣轉換爲 一個離散 時間序列，那麼 離散時間序列的 foror 變換就變成了 這樣的東西，它是 週期 2 pi 的週期性的，所以你基本上 只是知道拉伸或 壓縮，因爲你知道你只是 調整這個 XP，使它變成 週期爲 2 pi 而不是 T1 上的 2 pi 好吧，所以這是 脈衝 uh 脈衝 採樣信號的 F 變換與您知道的 離散時間 uh 離散時間 序列的 pr 變換之間的關係 好吧 uh 所以這 這只是另一個例子，但 基本上呃執行完全相同， 所以在這裏我們只是看呃 T2 等於 2 T1 的週期，所以你的 採樣實際上比以前慢， 好吧，所以當你採樣速度減慢時， 脈衝採樣信號現在 你 知道重複 在頻域中更頻繁地重複， 因此它們彼此更接近， 然後當您知道提取出該 值以構建離散 時間序列時，頻譜將被 縮放，使其具有 週期性 2 pi 而不是 2 pi/ T2 好吧，所以這裏有任何問題， 任何 問題，好吧， 好吧，所以這是嗯，這是在研究 Spectrum XC 呃和 Spectrum XD 之間的關係，好吧，所以當您轉換連續 時間信號時 對於離散時間信號， 您首先將其與脈衝序列相乘， 因此當您將其與 脈衝序列相乘時，該頻譜會在 採樣 頻率的每個整數倍的週期內每 2 pi 重複一次，但是當您將其轉換 爲離散時間時 序列現在 頻譜必須是週期性的 2 pi 所以 我們必須按 T1 縮放它以便 週期現在是 2 pi 好吧 好吧好吧所以我們已經到了 這裏了所以我們從 連續時間信號開始我們乘以它 通過 脈衝序列得到 T 的 x sub P 我們將脈衝序列轉換爲 離散時間序列 xdn 好吧， 在獲得 xdn 後，我們將其 通過具有脈衝 uh 的離散時間系統， 頻率響應 HD 爲 e 到 J Omega uh 得到 這裏給出的離散時間輸出 ydn 好吧，然後我們 使用 NT 的 YC 等於 ydn 來構造連續時間輸出 yct ， 使用這些離散時間 s 樣本 作爲大寫 T 整數倍處的連續時間信號的值， 所以使用這個 我們可以 構造 yct 的脈衝序列採樣 版本 ，然後通過 理想的低通濾波器，我們可以得到 原始 信號， 好吧，讓我們看看 這個呃在數學上看起來像什麼， 所以當你傳遞一個離散的 時間信號 XD 通過頻率 響應 HD 的濾波器獲得輸出 yd 那麼 輸出的頻譜將是輸入 的頻譜乘以濾波器 的 uh 頻譜， 所以如果您查看整體 輸入和輸出， 您的輸出 y YC 好吧，你的 T 的輸出 YC 將有一個 J Omega 的 YC 頻譜， 它等於 通過這個 uh 低通濾波器的 YP 頻譜， 好吧，所以這 是 H uh LP J Omega 時間 YP J Omega 好吧，hlp 代表低通濾波器 通過濾波 uh 給出 [音樂] 這裏這是 H LP 好吧， 現在我們知道 脈衝序列採樣 信號的頻譜只是 離散時間序列 uh 頻譜的一個比例，所以這可以寫爲 H LP J Omega 等於 yd e 到 J Omega T 好吧， 所以 這是 從這裏的關係得出的， 好吧，所以離散時間譜 只是脈衝序列信號 uh 頻譜的一個比例 uh 脈衝 採樣 信號 好吧，現在這個 yd 正如我們剛纔展示的 是 HD * XD 所以我們可以將其寫爲 hlp J Omega [音樂] HD 時間 XD 好吧 好吧現在如果你看整個事情是 正確的如果你看整個事情將 這個整體響應視爲 J Omega 的 H Sub C 那麼你 也可以將 J omega 的 YC 寫爲 HC J Omega 時間 XC J Omega 好吧，所以如果您查看整體 效果，則該輸出將具有 等於輸入頻譜乘以 整體頻率響應的頻譜 好吧， 現在 J Omega 的 XC 我們 知道我們可以寫爲 J Omega 的 hlp 時間 XT of J Omega 好吧，所以 原始連續時間信號的連續時間 等於脈衝序列樣本信號 通過低路徑 CL 濾波器 ， 然後我們也可以將其寫爲 XD 由於 Spectrum XP 和 離散時間序列的 Spectrum 之間的關係，e 變爲 J Omega 大寫 T 這個 離散時間濾波器 HD 這樣它就有一個我們現在想要的整體效果 HC 如果你比較這兩個， 假設 HC 是 你想要實現的整體過濾效果， 那麼你實際上可以 通過執行這個過程來實現這一點 離散時間濾波器 實際上等於 離散時間濾波器的縮放版本， 等於頻帶上的連續時間 濾波器 減去 Omega s 到 Omega s/ 2 右因爲我們 限制了我們將其限制 爲 這個呃帶寬好吧，所以你可以 通過 選擇一個HD來實現這個HC，使得HC J Omega 等於HD e到 Omega s / 2內的J Omega t，好吧，或者你可以知道將其轉換 爲 呃你可以說 我們想要選擇 HD e 到 J Omega， 等於 HC 在 負 pi 到 Pi 範圍內按大寫 T 或 Omega 縮放 好吧好吧， 再次假設 HC 是 我們想要 實現的過濾效果，我們實際上可以通過以下方式實現此 HC 使用離散時間濾波器在離散時間中執行此操作，該濾波器 等於連續時間濾波器的縮放版本，在 從負 Pi 到 Pi 的一個週期內， 好吧，讓我們看一個 示例， 好吧，假設這是 是 原始連續時間 uh 原始連續時間信號的頻譜， 您執行脈衝序列 採樣，這樣現在 XP 有一個頻譜， 該頻譜在 Omega 的每個整 數倍處重複，現在可以，如果您 將其轉換爲離散時間 序列，那麼這 最初與 Omega s 具有周期性的事物，即 2 pi/ t 可以，現在已按比例 縮放，因此它現在具有 週期 2 pi 的週期性， 可以，因爲所有內容都按比例縮放， 因爲所有內容都按比例 縮放，因此這不僅是 Omega s 對 T 上的 2 pi 移動到 2 pi 帶寬最初 uh Omega M 現在 變成 Omega M 時間資本 T 對 一切都被 T 拉伸了 好吧 現在如果我們採用這個離散 時間序列並將其傳遞給一個 離散時間 具有頻率 響應 HD 的濾波器看起來像 這樣 好吧，所以假設這是 離散時間濾波器 HD 那麼對，這是對的，這次 這是您將 在離散時間濾波器的輸出處獲得的頻譜 好吧，所以如果您相乘 這兩個你會 知道 [音樂] yd e 到 J Omega = 到 HD e 到 J Omega 時間 XD e 到 J [音樂] Omega 好的，所以離散 時間序列的輸出的頻譜正確 的頻譜 這裏的這個信號等於這個信號的乘積， 現在可以了，接下來我想將這個 離散時間序列轉換爲Y的脈衝 序列採樣版本， 這樣做的目的是讓 你知道縮放這個 最初是週期性的頻譜 週期 2 pi 到 現在 週期爲 Omega s/ t 的週期頻譜 好的，因爲 2 pi 是 Omega s 時間 T 所以當你將其縮放回 Omega s 時，你基本上將其除以 大寫 T 所以帶寬是 最初的 Omega M * T 現在 縮小到 Omega M 好吧，現在如果 你有一個離散時間濾波器， 最初的帶寬是 Omega C 現在它的有效帶寬是 Omega C 的大寫 T 好吧，好吧，所以這就是這個 你 有一個頻率 縮放 好吧 頻率 縮放 um 得到這個 YP J Omega 等於 yd e 到 J Omega T 等於 HD e 到 J Omega T * XD e 到 J [音樂] Omega 好吧好吧所以 Y 的脈衝序列採樣版本的頻譜 只是濾波器的頻率縮放版本乘以 離散時間序列的頻率縮放版本 好吧，所以使用 T 的脈衝序列 採樣信號 YP 我們可以 重建連續時間信號 yct 通過將其傳遞給理想的低 通 濾波器 好吧，所以我們可以 通過低通 濾波得到這個 好吧 基本上 執行這個低通濾波以在 最後得到這個東西 好吧，所以如果你在最後觀察到這個東西， 你會發現什麼 你知道 y c j Omega 就是 HC J Omega XC J Omega 好吧， 現在 xcj Omega 本質上就是這一部分， 這等於 X C J Omega 好吧，所以這就是說， 這個 HC J Omega 應該等於 HD e 到 J Omega T 至少在 這個頻帶限制區域內 好的，所以 H CJ Omega 等於 HD e 到 J Omega t，對於 Omega，在正負 Omega s/ 2 和 Zer 內，否則 可以，所以再次假設您想 獲得 HC 的有效過濾響應， 但你想通過 過濾離散時間序列來做到這一點， 好吧，這更有效，呃，如果 你 知道現代軟件呃現代現代 數字呃硬件可以更有效地完成，所以如果你想 正確地做到這一點 您需要選擇一個 離散時間濾波器 HD，它等於 從負 pi 到 Pi 的一個週期內連續時間濾波器的頻率縮放版本， 好吧，對於離散時間濾波器， 頻譜每 2 pi 重複一次， 好吧，所以呃我們可以看看 舉幾個 例子 [音樂]