小學數學寒假提分必看的《數學思維拓展訓練》，適用五年級學生，全120集 P9 - 五年級春季09-分數、百分數應用題初步（上）(1)

Hello,大家好 我們今天看這個分數百分數應用題 初步 那當然主要講分數應用題 對吧 百分數我們現在還不熟 OK 那分數應用題的話 在整個考試裏面是必考的 先告訴大家是必考的 考的分值至少10分 所以大家一定要留意聽 好 那你看它的考題 也很多是很有趣的 對吧 有的時候會跟我們的現實生活相結合 或者跟古典文化相結合 這也是整個考察的一個趨勢 比如說莊子 對不對 好 還有呢 今有棄忠 不知其數 前人取班 中人二三分取一 後人四分取一 於民一斗五生 問謎幾何 等等等等 當然像這種題目 它不會直接讓你去回答這個 它會給你翻譯 對吧 翻譯完之後你再去做 它的意思就是說 棄憂中不知道到底有多少命 我們知道第一個人先拿走了二分之一 第二個人又拿走了剩下的三分之一 第三個人又拿走了剩下的四分之一 最後剩下了十五生 對吧 那麼原來到底是多少命 像這種題目的話 我們今天學完之後就知道怎麼做了 對不對 這是我們今天的目標 你自己可以掐個點試一下 看兩分鐘能不能搞定 這兩道題目我們一會兒也會講 一會兒也會講 好吧 分數用題的初步 我們主要會講兩個 第一個叫找準單位一 第二個叫量率對應 抓不變量 對吧 很多分數用題都需要去抓這個不變量 把不變量給逮住 在一個過程中 你出現好幾個分數 對不對 你看看哪個分數 哪個量是不變的 對吧 好就可以做出來 單位一很重要 你只有單位一搞清楚了 你這個才能搞清楚 是不是 單位一是什麼 大家記得吧 什麼叫單位一 你要找準 你好歹得知道什麼叫單位一 你要是不知道 沒法做啊 對不對 那麼想想啊 你看分數是什麼意思 比如說五分之三 五分之三的話 我們在學分數的認識的時候 我們說 他其實就是把單位一平均分成五份 取其中的三份 是吧 所以一般哪個是單位一呢 就是誰的五分之三 的前面那個一般就是他的單位 對吧 比如說我身上錢的五分之三 那就我身上一共有多少錢 這個是單位一 所以一般是在的的前面 的的前面 能看懂這個意思嗎 那一般是在誰的後面呢 來大家說說 那這個字就多了 對吧 比如說誰是誰的幾分之幾 是的後面 比的後面 對吧 比誰的幾分之幾多 能理解吧 啊 啊等等等等 的後面 一般是在的的前面 的的前面 對吧 OK 所以找單位一 是解分數應用題的一個基礎 也是一個關鍵 你知道了分率 知道每個分率都對應一個什麼 總量也就是單位一 也就是說一道題目 分數應用題的關鍵 肯定是有分數嘛 你分數應用題沒分數 不能叫分數應用題嗎 那你看看他有幾個分數 然後你再去找 他每個分數的單位一 一不一樣 如果每個分數的單位一都一樣 那就太幸福了 那整道題目就很清楚了 那如果每個題目的單位 每個分數的單位不一樣 你有的時候要去統一單位 統一層單位 同一個單位 我們有那種多個單位的題目 對吧 那我們剛開始肯定不會整那麼多 我們現在一個的 好我們看怎麼找 第一個部分數和總數 部分數和總數的關係 對吧 比如說我國人口 佔世界人口的幾分之幾 你看得的前面是什麼 得的前面是不是世界人口 對吧 還要佔的後面 所以世界人口就是總數 我國人口就是分數 那麼我們這個世界人口就是單位一 他的幾分之幾 比如說五分之一 那也就是說你把世界人口 這個單位一平均分成五份 我國的人口就佔其中的一份 對吧 所以一般來說 80%的題目 如果有總數的 這個總數一般都是單位一 因爲這好理解 總數一般都是單位一 那第二種是什麼 第二種是兩種數量比較 兩種數量比較很多同學就會錯了 誰比誰多 誰比誰少 對吧 那就是比的後面 多或者少的前面 比如說五年級二班的男生 比女生多幾分之幾 那你看多誰的幾分之幾 多女生人數的幾分之幾 他是在多的前面 比的後面 是不是 OK 好那這時候的話我們要去算了 這時候單位一是女生人數 但是這時候我們要算的不是男生 佔女生的幾分之幾 而是男生比女生多幾分之幾 所以就是多的人數去除以女生的人數 比如舉個例子 男生有什麼 28個 對不對 女生有20個 好那那這個問題最後應該是幾分之幾 男生比女生多幾分之幾 那麼這時候你就是要算出多的 這8個人 來除以單位一 20個 所以就40% 20分之8 對不對 除以4 5分之2 能看懂嗎 所以男生比女生多就多 5分之2 會了吧 知道了 所以關鍵大家把它記住 一般來說就是 的的前面 然後呢 是或者佔的後面 那如果是比較的就是 多和少的前面那個 對吧 多誰的幾分之幾 比誰多 比和多比和多之間呢 這個就是單位一 能記住嗎 好稍微總結一下 第一個 常見的單位一 總數 對吧 是 或者是佔 總數 的 幾分之幾 這個就是單位一 可以嗎 第二個的話就是比較的 那就是比 和多少 之間的那個哥們 就是單位一 可以嗎 OK 好 那在算的時候也要小心 對吧 要小心 那除此之外還有什麼 還有第三種 原來和現在 對吧 到底是問原來還是現在 比如說 水結成冰之後 體積是會增加的 那我們在求它增加的幾分之幾的時候 那你真的要小心 這個幾分之幾是 單位一是什麼 來大家說一下 是不是增加了原來的幾分之幾 那原來是誰啊 原來是水吧 對不對 OK 所以原來的水是單位一 好 你看第一種情況 水結成冰 體積增加了幾分之幾 對吧 那增加了原來的幾分之幾 那原來它是水 好 主要道理的話 冰融化成水 體積減小了原來的幾分之幾 它原來是冰 它融化成水了 所以此時原來的冰就是單位一 所以不管是你 繫了多少種 關鍵還是要理解 理解提議 對吧 理解提議之後你才能做 那像這個很多同學錯 剛開始的時候錯 那後面慢慢就對了 OK 那爲了加深大家的理解 我就讓你來一道題目 讓大家好好K一下 來看一下 有個牧場 找準單位一 來兩分鐘 K一下 一定要寫的全對 加油 千萬別算錯 開始 算完了嗎 太棒了 來來來看一下 牧場上有三十頭牛 二十隻羊 是不是 第一個羊的支數是牛的支數的幾分之幾 袁碩老師你說得的前面 這有三個得呢 你看得得得得得得得得得得 完了 這單位一是誰呀 得的前面一度一呢 是不是 你要小心啊 前面兩個得是不一樣的 別把它拆開 第一個得是羊的支數 這是一個數 牛的支數 這也是一個數 所以實際我們要看的得是幾分之幾 前面這個得 所以誰是單位一 牛的支數 可以嗎 這個哥們是單位一 那怎麼求啊 要問羊佔牛的 就用羊的除以牛的 二十 除以三十 等於三分之二 對不對 可以嗎 好 反正 這第一個是三分之二 第一個的單位一是牛的支數 沒問題吧 好 第二個的單位一是誰 來 把單位一標出來 誰呀 來我們一起讀一下 牛的支數 比羊的支數 多幾分之幾 比什麼什麼多 這裏面是不是就是單位一 所以羊的支數 這次羊的支數是單位一 對不對 那我們把不是單位一的先擦掉 好 我們把每一位裏面的單位一圈一下 所以羊的支數是單位一 但這時候不是問你牛 是羊的幾分之幾 這時候問的是什麼 牛比羊多幾分之幾 那也就是說 他的意思就是 牛比羊多的 佔羊的幾分之幾 對吧 所以我們三十減二十 這是多的 他佔羊的 羊是二十 小心 所以就是二分之一 二分之一 能不能理解 二分之一 OK 所以第二個是二分之一 好 第三個大家算一下 來 羊的支數比牛的支數少幾分之幾 比什麼什麼少 是不是也是一樣的 是不是 那中間這個就是單位一了 牛的支數 是吧 好 那就是羊比牛少的 還是牛減羊 好 所以牛 少了三分之一 你看 這一讀是不是就不一樣了 你看 牛的支數 比羊的支數多二分之一 羊的支數比牛的支數少三分之一 雖然說牛羊的支數差都是十頭 但是他們單位一不同 造成他最後結果 這個幾分之幾是不一樣的 好 第四個大家看 羊比牛少的支數 佔全部的幾分之幾 羊比牛少的 是不是三十減二十 對不對 全部支數呢 三十加二十 那就是 五分之一 好 所以第一問這樣下來 大家對這個 單位一有那麼丟丟感覺了吧 這四問的單位一我們都圈起來 大家下回做這個分數用題 剛開始的時候 或者說養成就養成好習慣啊 只要是分數用題 你就把單位一圈起來 只要是分數用題 你就圈起來 你就養成有習慣了 好吧 OK 所以這題還行啊 不是特別難吧 我們再來一道來 再算一下 來 非常容易錯的 來 第一題二了 來開始 先來兩分鐘 來 水結成冰後體積增大 它的十分之一 那麼冰化成水後 體積減少它的幾分之幾 你就告訴我 是不是十分之一 不是 是不是還是不是 你們覺得是不是 還是不知道 你算一下算一下 我們先把這個十分之一的單位一 先圈一下來 水結成冰後體積增大 它的十分之一 它是誰 原來的十分之一 原來是誰 哦 原來是水吧 所以單位一是水呀 就是這個它呀 這個就是水呀 原來的水 對吧 所以增大了水的十分之一 所以單位一被平均分成了十分 OK 所以我們知道水是十分的吧 水是十分的 對吧 水是十分的 那冰是幾分 冰是幾分 增大了十分中的一分 增加了一分變十一分 所以冰是十一分 可以嗎 所以第一步你可以這樣算 那麼冰化成水之後體積減少它的幾分之幾 這時候的單位一呢 這個它又代表什麼 還是水嗎 同樣都是這麼一個它呀 是吧 這時候就不是了 對吧 原來它是冰 所以第二句話 問的是冰化成水的過程中 減少的佔冰的幾分之幾 是原來幾分之幾 對吧 那我們就可以這麼寫 減少的又是一分了 佔冰的 冰是十一分 所以答案是十一分之一 你對了嗎 所以千萬不要去憑感覺 你看是不是 你憑感覺肯定會錯吧 你感覺水結成冰 增大十分之一 那冰化成水 那肯定減少十分之一 那就錯了 沒有那麼多肯定的 你要去找到它的單位一 對吧 要找到它的單位一 好吧 所以這兩個它 這兩個單位一是不一樣的 好那第二個小豬搬磚的 大家來算一下 你看 有一頭小豬 它去搬磚 第一次搬了一百塊磚 第二次比第一次多搬呢 是十分之一 第三次比第二次少搬呢 十分之一 那第三次比第一次是多呢 還是少 有幾個分數啊 分數用題趕緊找分數啊 有兩個 兩個都是十分之一 是不是 都是十分之一 那單位一不一樣呢 我們看第一個十分之一 第二次比第一次多搬呢 十分之一 比什麼什麼多 這裏面是不是單位一 是不是第一次了 所以第一次搬的數目是 第一個十分之一的單位一 是不是 好第二個十分之一呢 第三次比第二次少搬呢 所以它的單位一是第二次了 能看懂嗎 對不對 好 那我們來算一看 大家算一下 好 但是老師這沒變啊 你看 第二次比第一次多十分之一 那第三次又比第二次少十分之一 先多十分之一再少十分之一 那不就回到原來嗎 是嗎 但你小心一點 這兩次十分之一是不一樣的 對不對 它的單位一是不一樣的 好我們先算第二次 第二次怎麼算呢 第二次怎麼算 你看 第二次比第一次多十分之一 對吧 那就是單位一還比它多十分之一 就是它的這麼多唄 是不是 單位一是一百塊 所以第二次搬了多少塊 一百 加上一百的十分之一 對吧 那就是一百一十塊磚了 所以第二次就搬了一百一十塊磚 那第三次呢 第三次是比第二次少了 少了第二次的十分之一 所以第二次一百一 減掉它的十分之一 你覺得一樣嗎 不一樣啊 買99塊 所以是少了 少了 容易嗎 一般來說可以很肯定的告訴你 不管是先增加十分之一 再減少十分之一 還是先減少十分之一 再增加十分之一 最後結果都是少了 信不信 不信我們繼續用小豬來做例子 對吧 我們用小豬來做例子 來檢驗一下啊 剛剛是什麼 先增加十分之一再減少十分之一 對吧 先增加十分之一再減少十分之一 先增加十分之一變一百一 再減少十分之一變九十九 對吧 從一百 一百一再到九十九 少了 好 那如果是先減少十分之一再增加十分之一 好 那你從一百 先減少十分之一 是不是變九十了 九十再增加十分之一 又變成九十九 對吧 這時候是九十的十分之一 所以只增加了九 所以你發現不管是先增加再減少 還是先減少再增加 同樣的分數 最後的結果都是少了 這也是很常考的 一種類型 那它可以怎麼考啊 它比如說考你選擇題 那先增加五分之一再減少五分之一 那最後結果是多了少了還是不變 ABCD三個選項 或者是判斷題 OK 能理解吧 好 那知道這個結論之後 大家快速的看一下這個腦牛 說牛肉啊 先漲價五分之一 再降價五分之一 那現在跟原來比 到底升高降低還是不變了 這腦牛的身價漲沒漲啊 那你能直接說個結論嗎 告訴腦牛 腦牛 你身價 首先一定是降低的 一定是降低的 那爲啥呀 那爲啥我們可以這麼想 我們可以這麼想 假定原來是五分 那樣也行 我用兩種做法 大家看看你們喜歡哪種 第一種做法我們用分數 電視分數用的對吧 假定牛肉原來就是一 它先漲了五分之一 就乘個一加五分之一 得到的結果再降呢 它的五分之一再乘個一減五分之一 是這樣吧 對不對 那得多少 一乘五分之六 再乘個五分之四 等於二十五分之二十四 也就是它從一變成二十五分之二十四 所以是降 好 第二種的話 你也可以的嘛 你也可以直接去用個具體的數 比如說牛肉假定一斤是一百 先漲五分之一 乘個五分之一再加一百 那就是一百二 然後再見 減五分之一 一百二乘 它的五分之一 啊就在一個嘛 九十六 對不對 就這麼出來 所以你看從最開始的一百 最後變到九十六 也能得到是這樣的 那如果是考試的時候 肯定你用分數會合適一點 爲什麼 因爲這個靠譜啊 你這個相當於是假設了一個具體的數 雖然它好理解 但你相當於是隻把這種情況解釋了 那其他數字呢 所以這個叫做不全 這叫不全 但我希望大家記住結論 好吧 升A降A 或者是降A升A OK 升A降A和降A升A 最後的結果都是 這樣 最後結果都是這樣 能記住嗎 能記住給我比個OK 我看看 非常棒 最後結果一定都是這樣 它可以出選擇題 填空題解答題 還可以做那個判斷題 各種題型都能出 OK 好 那我們來看看我們 那個 對吧 挑戰的這個題目來 大家試一下 金有七種米 說不知道多少米 第一個人先取了二分之一 第二個人又取了剩下三分之一 再取了剩下四分之一 好 那這時候的話我們有三個分數啊 二分之一三分之一四分之一 單位一一樣嗎 不一樣 第一個二分之一的單位一是 全部 是不是可以這麼理解 第一個人取的是全部的二分之一 第二個人是取了 第一次剩下的 對不對 第一個人取完之後剩下的 那這個單位一就是第二次剩下的 所以雖然說 都叫做餘下 但其實是不一樣的數 那咋辦呢 那我們想想 原來是單位一的 你先取了二分之一 是不是剩下一減二分之一 所以剩了二分之一 對吧 好 這就是第一個人取完之後剩下的 那第二個人又取了 他的三分之一 剩的就是一減三分之一 對不對 好 所以第二個人取完之後剩下的就是這一些 那第三個人又取了 第二個人剩下的四分之一 他取走四分之一剩下一減四分之一 對吧 所以第三個人取完之後剩這些 那這些等於多少 一乘二分之一 乘三分之二 乘四分之三 等於四分之一 也就是說三個人拿完之後剩四分之一 這四分之一就是十五升 對不對 所以十五乘四 等於六十升 就出來了 這是第一種做法 那第二種做法我們還可以怎麼樣 我們還可以倒推 你最後不是剩十五升嗎 那爲啥會剩十五升呢 因爲有個人拿走了四分之一 四分中的一分 那這十五升是 三分 所以先除以三乘四 得到二十 好 這就回到第三個人沒取之前 是二十 對吧 那這二十又是怎麼來的 是有個人拿走了三分之一 所以這二十它對應的是兩分 我們再乘三 三分就是三十升 所以三十升是第一個人拿完之後的 第二個人還沒取的 好 那三十又是二分之一 所以三十乘二 六十升 一位不倒推 一人得出來 這是第二種做法 還有第三種做法 我們還比一下第三種做法 對吧 第三種做法你可以求一下 對吧 第一個人拿走二分之一 剩二分之一 第二個人拿走二分之一的三分之一 對不對 然後剩下什麼 剩下二分之一的三分之二 剩三分之一 第二個人拿走之後剩三分之一 第三個人拿走之後就剩 三分之一的四分之三 就剩四分之一 就直接算出來 每一個人都算出來 也能得出來 所以它的方法是多種多樣的 關鍵你要理解 好 下面的莊子 來大家算一下 兩分鐘開始 一分鐘夠不夠 奉布的一道題 莊子 莊子的話 大家一定要多看看 挺有意思的 對吧 比如說逍遙遊 北冥有餘 其冥爲昆 對 那莊子裏面有這麼一塊 有一句話 你一尺的木棍 每天一半 再一半 一半 永遠也取不完 沒毛病 你只要得到一個數 還可以再繼續除以二 對不對 當然到後面很多 就可能就看不出來了 就一點點 對吧 那他問第三天 結了多少 前三天 結了多少 我給大家一根棍 你看這麼標準的一根棍 第一天取了多少 第一天取了二分之一 這第一天的標記 剩了二分之一 是不是 那第二天呢 第二天又取了四分之一 對不對 第二天取了剩下的一半 又剩四分之一 那第三天呢 就應該取八分之一 所以第三天佔的是八分之一 那前三天控多少 二分之一 加四分之一 加八分之一 等於八分之七 前三天一共取了八分之七 正好剩下八分之一 對 那大家有沒有見過一個 比較可愛的一個 正方形的一個圖 我給大家畫一下 我估計有的朋友有見過 賊可愛 怎麼可愛呢 你看 底下這個是不是算二分之一 再來 有沒有見過 跟這個是不是有異曲同工之妙 然後你在那個啥 一直往下你看 這個是不是相當於二分之一 就如果正方形的邊長是一 那整個正方形的面積是不是一 那這個就是四分之一 八分之一 十六分之一 三十二分之一 一直往下 那按照這樣說 這樣一直下去 是不是接近等於一呀 沒錯 很接近一 你就要一直下去 很接近一 無限接近一 是吧 無限接近整個正方形 好 這是第一部分 那第一部分我們就 先念到這 我們來腦筋記得完 對吧 動一動 丹丹是小狗還是小老虎的名字 三 二 一 哪種 小老虎 爲什麼 因爲虎是丹丹 對吧 虎是丹丹 小老虎是丹丹