九上數學 06 連比例(6)：挑戰進階魔王三題、歷屆試題精選特訓、講義 12-14 頁及 52 頁全解析｜何肇忠老師(最新課綱)

歡迎收看數學簡單,我是張老師 那今天晚上呢,我們要上的是九年級的課程 目前的進度呢,講的是連比例 連比例的話呢,以前我們在那個國二的時候 因為早期那個舊課綱,他把連比例放在國二的階段 那國二的時候呢,連比例是一個大單元喔 基本上我們都會花上很長的時間來上課喔 所以這一次我們把連比例移到國三來上的時候 因為新課綱是把連比例從國二移到國三 那基本上那個內容還是沒有變喔 所以我們在講解的時候會花比較多的時間 所以現在還在講那個連比例 今天是第六次上課了喔 好,那我們看那個講義言喔 好來,十三頁的這一題呢,是一個很棒的一題喔 那也是給同學多一點思考 當然這種題目你看到會怕不會寫啊 我覺得都還蠻正常的喔 因為這種題目擺明就是給老師講解用的 不是給你們來去寫的喔 所以你們看一下這個題目啊 如果真的這樣出,你要怎麼去處理它喔 來,我們看那個在第十三頁的第三題喔 他說呢,已知ABC都不是0喔 就是ABC沒有一個人是0喔 然後呢,但是他發現喔 如果A加B比上C 會等於B加C比A 然後呢,又等於C加A比上B 他說呢,A加B比C 等於B加C比A 等於C加A比上B 然後求這個的值喔 他求B分之C加A 再加上C加A分之B B分之C加A 跟C加A分之B的值為多少 所謂的值是要求結果嘛 好來,那這個題目呢 其實頗特殊對不對 OK了嗎,這邊喔 以這邊來看的話呢 其實喔,他這樣的寫法呢 他就代表意思也是說喔 就是A加B去比上B加C 去比上C加A 他就是C比A比B 這個概念OK嗎 再看一次喔 A加B比上C 等於B加C比上A 等於C加A比上B 換句話說 A加B比上B加C 比上C加A 就等於C比A比B 同學可能不怎麼認同喔 我們這樣寫好了 比如說喔 A比2等於B比3 等於C比4 假設這種情況下對不對 這樣子的時候呢 既然比例會一樣 比值就相同 何謂比值 前項除後項對不對 所以2分之A 等於3分之B 等於4分之C 那也就是說 你會發現喔 這個時候 A比B比C 來,連比例幾比幾比幾 不就是2比3比4 再看一次喔 A比B比C 等於2比3比4 對不對 再看一次位置喔 A比C 有沒有 A比B比C 等於2比3比4 所以我剛剛這樣說喔 我們這樣看發現呢 原來A加B 比上B加C 比上C加A 就是C比A比B 來自於這裡 所以就不要死背了喔 是來自於這裡嘛 這樣OK喔 那我把這個擦掉了喔 好 那擦掉之後呢 我們看一下那個 怎麼寫 來 所以我們發現呢 原來喔 它的A加B 去比上B加C 去比上C加A 那就是CAB C比A比B 有點擠壓到了喔 這個是求這個結果 我用藍色來寫喔 做區分一下喔 好那這時候我們怎麼做呢 我就把那個喔 可是你要注意喔 這連比例是C比A比B 不代表說A加B是C啊 它是個倍數啊 那設幾倍呢 我們給它設R倍好不好 就設R倍喔 好所以呢 A加B設CR倍 B加C等於AR 那C加A等於BR 所以這樣類似喔 我就令喔 令或設啦 寫令好了 我令A加B 會等於這個CR 為什麼是CR喔 它是C乘R R是一個倍數啦 幾倍我不知道喔 就設R倍喔 然後再來B加C 我給它設為這個叫AR的 好令最後一個C加A 給它設一個叫做BR的 好 到這邊的時候呢 我們可以怎麼做 到了這一步的時候 我們就把這個三個式子都加起來 整理一下看看 會有什麼結果 就加起來之後呢 變這樣子喔 這邊全部加起來喔 垂直加喔 就這三個加起來 這三個等式都加起來 它有兩個A兩個B兩個C 所以是二倍的括號 A加B加C 那右邊呢 它就是 也是喔 CRARBR 二就是A加B加C 再來乘R喔 A加B加C 括號 來乘以R 好結果呢 我們發現呢 整理出來變什麼結果 好原來那個 R可以是二喔 它題目有說喔 A加B加C都不是零喔 不是零的話 好那R就是 二 好那R是二之後呢 R是二以後 R是二之後 我們就帶回去啊 原來A加B就是2C 對不對 B加C就是2A 因為R是二喔 C加A就是2B 所以這個結果 它要求這個值喔 來它的值的答案變這樣子喔 所謂的B分之C加A C加A是BR R是二 叫2B B分之2B 再加上 這個B一樣照抄是B喔 那C加A剛剛說啊 它不是BR嗎 R是二啊 所以也是2B 那這樣經過約分之後呢 BB約BB約 它變成了2加 BB約啦BB約 它是2加二分之一 二加二分之一呢 答案是二分之五 那除了這個答案呢 會不會有別的答案 好那如果A加B加C是零的話 來我們把它整理一下 怎麼整理它 你看這邊 這個時候呢 我把這個C加A留著 你看喔 C加A留著 B過來怎麼樣 變-B 所以A加C就C加A啊 它也等於-B 因此呢 這個結果變怎麼寫的 這分母一樣是B 分母一樣是B 但是呢這個C加A 就A加C啊 是-B耶 所以這個是B分之-B 再加上 這個C加A呢 它就是-B 有沒有 A加C-B 這也是-B 把它換-B -B分之B 結果BBBB怎麼樣 又全部都約掉了對不對 那約掉之後變什麼 -1加-1 那-1加-1答案是-2 所以這兩個答案是不一樣的喔 我們剛剛那個前提是說 A加B加C 它如果不是零 可以約分約掉 答案是2 這個情況下是說 如果A加B加C是零的話 那麼我們剛剛那個就不成立 不成立之後怎麼辦呢 用這方式來寫 這個時候A加C就是-B 所以我們把它帶過來算之後 結果答案是-2 所以這兩個答案都對 兩個都寫出來 一個是2分之5 一個是-2 這個有沒有問題 這一題其實還 算是比較不容易思考 不容易寫對的題目 我們看那個在第14頁這邊 他說小白 阿日 大夢 三個人合資去購買彩券 他的名字怎麼叫白日夢 小白 阿日 大夢 他叫白日夢 他說呢 三個人去合資購買彩券 結果中了頭獎一千萬 中了一千萬就 就那個下課啦 不是啦 他中了一千萬 他知道當初呢 他們的出錢的比例 是小日 小白 不小日 小白 小白加阿日出的錢 比上阿日加大夢出的錢 是5比6 那阿日加大夢出的錢 比上大夢加小白出的錢 等於18比17 如果呢 這一千萬 按照當初出資的比例做分攤 就分錢 那小白可以分到多少元 很正常嘛 譬如說我們合資去買彩券 你出八百 我出兩百 中到一千萬 我也跟你對分 你當然不公平 一定要把這個一千萬 按照八百兩百再做分配嘛 對不對 好所以呢 這時候我們就要去找出來說 那小白阿日大夢 他們的比例 分別是幾比幾比幾 那怎麼做呢 這個時候呢 我們就把這個小白 給他設 他出資出了X元 然後呢 阿日給他出資Y元 大夢是出資Z元 好難唸喔 這個時候呢 我們先假設 他們分別都出這麼多錢 假設 那假設好之後呢 按照題目的說法 他說 小白加阿日出的錢 比上阿日加大夢出的錢 是5比6 白日跟日夢 白加日日加夢 出錢比例是5比6 白加日就A加Y 所以A加Y 去比上哪一個 阿日加大夢 那就Y加Z囉 加Y 比上Y加Z 會等於5比6 那另外呢 阿日加大夢出的錢 那就是 阿日加大夢就Y加Z Y加Z 去比上 大夢加小白 那就A加Z A加Z 的比例啊 題目說 是18比17 好我們要利用這兩個 去找出X比Y比Z的連比例 同學你們有想法嗎 我們就把那個呢 A加Y比上Y加Z 是5比6 所謂的5比6 它不代表說A加Y是5 Y加Z是6 而是比例是5比6 我們就給它放大的R倍 所以A加Y可以射5R Y加Z射6R Y加Z 射18R A加Z 不好 這樣會出事情 來看這裡 這樣不對 因為我們會發現呢 Y加Z都有Y加Z 那這兩個倍數要一樣 結果發現一個是16 一個6一個是18 這樣就不行 所以我們把這個呢 按照它的這兩個 A加Y比Y加Z Y加Z比A加Z 這兩個同時都有Y加Z 所以Y加Z的這個要變一樣 為了要變一樣 你會發現5比6的這個 6要變18乘3倍 那就變一樣啦 所以乘3倍之後3515 乘3倍3618 你變一樣之後呢 才能串連比例嘛 所以這個時候才能射R 所以呢 A加Y給它射15R Y加Z射18R A加Z射17R 我們把它列出來 隨便一張寫囉 A加Y 這一個 它是15R 那Y加Z這個 會對到18R 最後這個A加Z 會等於17R 寫到這邊同學不陌生 怎麼做 那就全部加起來 怎麼做好幾遍 全部加起來 所以這三個等於加起來 所以 左邊的加起來 兩個X兩個Y兩個Z 叫二倍的括號 X加Y加Z 那右邊這邊的話呢 就15加17加18 17加18是35 35再加15 到50 50R 所以 X加Y加Z 就會等於 都除二 這邊除二這邊除二 變25R 然後再使用我們說的那個 那個減法 怎麼減呢 用這個 減掉這個 去求它的值 比如說 A加Y加Z 減掉S跟Y 剩下Z 所以Z減R Z就是25R 減掉15R Z就10R Z10R之後呢 其實不用都用減的嘛 你用代的也可以啊 比如說Z是10R 代過來啊 Y加Z等於18R 那Y多少 Y就是8R 因為Z是10R 10R一塊減10R S不就7R 這樣也蠻快的 好了 這三個都好了之後呢 他說 他求什麼東西啊 他說求小白分多少錢 好那我們現在是1000萬再分 所以我寫個1000 這一千的單位是萬 不是1000塊錢 是一千萬 單位是一千 單位是萬 一千萬 再去乘上呢 我們現在找出來說 SYZ的連比例 分別是 我還沒連咧 寫太快了 S比Y比Z X比Y比Z 的連比例喔 寫到這邊了 分別多少 7R8R10R 780R 7R比8R 比10R 最後R約掉 那就7比8比10 那小白是7的位置 帶頭了嘛 S不就7嗎 小白是7 所以他把這三個加起來 就7加8加10 7加8是15 15加1025 分母是25 25份裡面呢 小白分到7份 這25份就是7 好 這個乘出來答案多少 那當然跟那個約啦 我把這25跟100約 如果這個是100的話 25跟他約是4 所以是40 25的40倍 就是1000 4乘以7 280 所以小白分到280萬 不是280元 小白分多少呢 答案是分到280萬元 這樣子有沒有問題 這是第四題 這幾題都有點棘手對不對 我感覺到你們的痛苦 但是沒有關係 多一些練習是好的 好吧 我們再來 這題我大概形容一下題目的意思 他說有三個人 有 先寫名字好了 他說 阿妙說 他們說題目這樣說 阿妙走五 走四步的距離 這個時候阿飛只要走三步 阿旺只要走兩步 可見的阿旺的腳步比較大 所以他說 阿妙走四步 可以換成阿飛走三步 阿旺走兩步 但是呢 阿妙走五步的時間 這個時間 阿飛只能走四步 阿旺只能走三步 他講說 在阿妙走五步的時間下 阿飛走四步 阿旺走三步 他問說三人的速率比 三人的速率比 雖然我們學到那個理化了 但是這邊的速率就是很單純的 怎麼樣 距離除以時間 他的距離什麼距離呢 就是一步的距離 就是他在求距離比 他是一步 每人走一步的距離 對不對 他不就一步的距離 就是距離 去除以一步的時間 好那回到左邊這邊 這三個人呢 所以我們要去知道說 他們每一步的距離 就步伐的長度 每一步的距離 跟每一步花的時間 他們的比例是怎麼樣 這邊沒有寫嘛對不對 好那我們就假設那個阿 他們走的 因為他一開始有說嘛 阿廟走四步 這個時候阿飛只要走三步 阿旺要走兩步 那個是每一步的距離 所以他們每一步的距離 每一步 每一步的距離 給他是xyz 另外呢 他走了是那個 下一句話說走五步的時間 他說阿廟走五步的時間 阿飛只要走四步 阿旺只要走三步 這個是每一步的時間 所以這個是 我們把每步時間 他有兩個不同的東西 每一步 每一步的時間 走每一步的時間 給他是abc好了 然後我們去找 s比y比z 跟a比b比c的結果 那要怎麼找呢 從題目下手 因為題目他有說 再看一次 阿廟說走四步的距離 他走四步的距離 他就4x 這個時候呢 那個阿飛只要走三步 他就3y 等於3y 然後呢 這個時候阿旺要走兩步 那不就2z 等於2z 那這個時候 s比y比z的連比例 會不會寫 會寫嘛 還記得吧 這個的寫法 就稱之為導數比 如果你沒有印象的話 你就直接就回帶 到上次的課程 還算上次喔 我們有講到對不對 這個時候 s比y比z 他叫做導數比 導數比叫做 四分之一 比三分之一 比二分之一 然後要區分母 全部乘多少 全部要乘12 那乘12的時候呢 這個乘12變3 這個乘12變4 這個乘12變6 3比4比6 所以每一步的步伐 每一步的步伐的距離比 他是3比4比6 我寫這裡喔 3比4比6 再來 那每一步花的時間比呢 這看題目說的喔 他有說那個 阿妙走五步的時間 他每一步時間是a 走五步就5a 所以走五步的時間5a 可以換成阿飛走四步時間 那就是4b 可以等於阿旺走三步時間 不就3c 所以這個時候呢 a比b比c 等於多少 一樣 這種情況就所謂的反比 要導數比 所以是五分之一 比四分之一 比三分之一 全部給他乘他們的最好公倍數 543的最好公倍數是60 所以乘60 第一個是12 這個是15 乘60 這個是20 沒錯 543的公倍數是60 60去乘的話 所以12比15比20 所以abc比例是12比15比20 快了快了 他要求的是 每一步的速率比 速率就是距離除以時間 有沒有很看喔 距離比 3比4比6 每一步的時間比 12比15比20 你要求速率 距離除以時間 一個對一個 所以他的速率連比例呢 就是12分之3 3除以12 12分之3 再比上下一個 15分之4 再比上下一個 20分之6 那當然先把這個變成整數比 不然極為痛苦 那要乘多少呢 我剛好稍微想一想可以約分 約了有百約 算乘60好了 那乘60的話呢 乘60喔 都給他乘60 第一個乘60 我們現在給他乘60 乘60之後呢 12跟60約5 5 3 15 15跟60約4 4 4 16 20跟60約是3 3 6 18 所以他們每一步的速率比 的連比例 答案是15比16比18 15比16比18 那這是那個非選題的這一題 好這裡有沒有問題 我們這三題好像死了不少腦細胞 好來 OK再來 再來我們要講那個是 歷屆的試題 就歷屆會考 機車會考 他在這邊怎麼做命題的 來 你會發現歷屆會考反而比較簡單 所以跟你講不用太擔心 有時候我們那題目都出得很難 但是大考不見得會這樣考 會考很難的題目的機率都非常的少 沒有說很多 他只會擺個幾題 去測試一下同學的程度 不會說整張考卷都出那麼難 都死掉 所以不會這樣子考 你放心好了 但是多學一些有幫助 就增加你一些那個思考的一些能量 才知道說原來我們可以這樣做 所以不用怕 好不好多學 不過那個歷屆題目 每一題都要會 因為畢竟都是考出來東西的 他就曾經這樣考過了 那再考有可能是在考那個 那種概念的附近 都會這樣做命題 所以歷屆考題一定要去看他 來我們看那個52頁的第一題 他題目是說呢 小羅想要去榨果汁 他有蘋果 芭樂 柳丁三種水果 那他的科數比 就是他現有的科數比是9比7比6 他在榨完果汁之後呢 他的蘋果 芭樂 柳丁的科數比 變成6比3比4 那以致呢 他榨果汁的過程沒有用到柳丁 他問你說那榨果汁的時候 另外兩種水果的使用情況 哪一個正確 這有點多字喔 我把它寫一下 那個蘋果 芭樂跟柳丁 蘋果 本來想寫英文 可是芭樂英文我不會寫 Apple我是會啦 柳丁就Orange嘛對不對 那芭樂咧 芭樂英文我不會耶 好吧那寫中文好了 蘋果 芭樂 唸芭樂還唸芭樂 可是他這是熱的不是辣的 蘋果 芭樂跟柳丁 你會覺得這個芭樂唸芭樂就很芭樂 中文就很奇怪了 你唸芭樂就超芭樂的 唸芭樂就很芭樂 來看那個來 有人拼出來了 G U A V A 確定喔 我姑且相信你喔 G U A V A 這個是芭樂 可是我不會唸啊 這芭樂怎麼 菇 菇仔肉 簡稱阿狗阿狗就鬼阿狗 來看那個 繼續喔 他那個蘋果 芭樂 柳丁 一開始的科數比是9比7比6 我先寫喔 9比7比6 這個是一開始的時候 最一開始阿 他還沒有去榨汁以前 他是9比7比6 那榨了汁以後呢 他說科數比是6比3比4 6比3比4 是說榨過之後 榨完後 我寫清楚了 寫榨完後 寫中文是我的障礙 榨完 榨完之後呢 他是6比3比4 那這個時候呢 他有說他的什麼東西沒用到 他的柳丁沒用到 柳丁沒用到 這邊6這邊4 你會發現 把它改公倍數比較有處理 柳丁沒用到 所以柳丁是一樣多 可是這樣看起來沒有一樣多 找柳丁的公倍數 64公倍數 那不就12 為了要變12 第一個全部乘多少 全部乘2 2612 全部乘2 乘2變18 乘2變14 乘2變12 這個976 不要看 這要變12 給他乘3倍 3618 339 3412 就讓你發現 他現在柳丁沒有變 都12顆 他連蘋果都沒變 蘋果也18顆 所以代表說他榨汁的過程 蘋果也沒用到 他只用到這個 芭樂 芭樂從14顆變9顆 所以芭樂變少了 所以他是在榨芭樂汁 他說哪個正確呢 所以答案選B 他只使用到芭樂 他只有榨芭樂 英文很重要 我跟你講 那個英文要學好 不然你會跟老師一樣 英文爛到不能見人 那太可恥了 知道嗎 所以英文要學好 我們剛剛那個芭樂 有空我再去查一下那個音標好了 瞭解一下到底怎麼發音的 不然我光是看那個字 我有三種不同念法 太恐怖了 好那我們看那個第二題 第二題時間應該夠了 第二題 他有個圖 我先把圖畫下來 因為他圖頗複雜 來看那個第二題 如圖一呢 他的OP是一條拉直的線 然後AB兩點在OP上 AB兩點在這個直線上 他說OA比AP是1比3 OA比AP1比3 寫啊 不客氣啊 看到就寫了 OA比上AP 那麼遠 1比3 看得到 1比3 那另外呢 他要說那個 OB比上BP比 是3比5 OB 這個 OB 3 比上BP 5 3比5 這個是5 你會發現同一條 有沒有看到同一條 OA比AP 那麼OA加AP就全部長1比3 對不對 底下這邊呢 OB比上BP 3比5 也是同一條喔 這要問什麼 再看 好先固定B點 B把它固定 固定完之後呢 把OB折過來 所以這邊的圖是 把前面給對折過來 對折過來其實是兩條 對不對 他說再從圖2的A位置 把它剪斷 那要分成三段 這三段從小到大的長度比 唉呦 剪兩段 我把那個畫一下 因為他是這樣對折過來 所以這個不是一段 這個其實 應該這樣說 我用藍色畫 這個是本來就有的 本來就有的 我說話的藍色本來就有的 然後這邊又折過來 這樣子 這個是折過來的 這樣沒錯吧 我們這樣畫比較清楚吧 所以他是這樣折過來之後變這樣 是故意這樣畫給你看 折過來 因為他剪斷是剪A 他把這A剪掉 這邊剪掉 剪掉 剪掉之後呢 會有幾段 剪掉之後會有 會有三段你知道嗎 OA一段 這邊過來一段 A到PO一段 是不是有三段 他問這三段的長度比 所以你沒有這樣看 你看不出來吧 所以我剛剛故意這樣畫的 好那回到前面去 我們看這前面說的 OA比上AP比是1比3 結果OB比上BP比是3比5 都同一條啊 所以把他等分變一樣 3比5的3加5是8等分 1加3是等分 你可以把4變成8比較快吧 是乘兩倍 乘兩倍就變成8等分啊 所以乘兩倍之後呢 這個1比3的乘兩倍 變成2跟6 2加6 8分 3加5也是8分 所以等分一樣之後呢 我們就會把他找出來啦 你看喔 所以這邊是2份 這邊是6份 AP是6份 OB是3份 可是你看喔 3扣掉2 AB只有一份啊 這懂意思喔 再看喔來 那AB是1份 這邊1份 OA是2份 這邊是2 那那那那那那那 那那那那那那 那這邊呢 這邊呢 這邊要管嗎 這邊是5份嘛 扣掉這邊的3份 這邊是2份沒錯吧 所以2加2加1嘛 會變成5份 就這邊的5份 好這個時候呢 我們剛剛說有三段長對不對 哪三段長 有OA的這一段 OA是這個 這個是OA段 還有一個是這邊的 他是從 ABA A到B到A 對 ABA這一段 還有一個是 A到P的這一段 還有這一段 A到P的這一段 有的是有三段 你把這邊剪掉之後嘛 這一段跑出來啦 還有這一段也是啊 就一段兩段 還有這個三段 它長度分別是多少 我們再看一次喔 這個OA長 這邊的長度 就是2嘛 這邊是2嘛 這個是2 那這樣過來是1加1 這邊也是2 那AP呢 AP就是這邊到這邊啊 2加2 答案是4 他說從小到大做比例 剛好2比2比4 2比2比4約分之後呢 1比1比2 所以答案選這個 1比1比2 有沒有 有啦齁 所以答案選這個 這樣沒問題 好那今天我們時間也不太夠 我們就先上到這裡了 那就 下禮拜見 好 掰掰