🔯最新課綱🔯 九下數學 ~ 二次函數的應用(1)

現在要教的是那個二次函數的應用 怎麼用來 其實不大好用但是要把它學起來 第一個是X加2Y 等於50 然後問你說X平方加Y平方 的最小值 這是那個比較簡易的簡單的 二次函數的應用之一 好那怎麼做呢 我們這樣看 A加2Y是50 他要求的是X平方加Y平方的最小值 這個時候呢這是兩個未知數 我們的二次函數的這個未知數 所以可以把它替換掉 你看誰換掉了 那通常我們都是 把 把Y換成X 不是把X換成Y喔 我們習慣是說 函數寫的時候是把Y換X 其實都沒有差啦 你說老師可是 把Y換X的話這個移過來 減是50減X 這2Y呢然後再除2就變分數了 分數我頭更痛了 所以我們就換個方式 這次我們就把那個 X取代換成Y 什麼意思呢 把這2Y給移走 變成說 以他題目的意思他變成這樣寫 就是X 會等於50減2Y 這沒有問題 因為我把這個X留著 2Y移過來減2Y 所以X就會換成50減2Y 換了之後呢他求這個的最小值 我就開始改了 因為我知道X被我換掉了換了50減2Y 所以X的平方怎麼寫 就寫成50減2Y的平方 因為我知道X可以換成這一個 那加Y平方怎麼樣 就照抄加Y平方 把前面這個呢用乘法公式把它展開來 重新整理過 好展開來喔我們背的公式是A平方 減2AB 加B平方 50平方是2500 再減掉2AB 2乘50乘224 4乘50是200 減200Y 再加上這個平方是4Y平方 然後再加一個Y平方這哪來的是後面這個Y平方還在 所以要加Y平方 把它整理一下感覺好長 我們把它重新排序過 排序的時候呢 把那個Y二次先合併了 所以4Y平方加Y平方一共是5Y平方 然後 減200Y先抄下來 然後 這個 2500的放後面 加2500 再來呢 他是要求他的最小值 配開始配了 好怎麼配呢 培養法的第一步啊 把Y平方變成1要去T5出來 所以T5之後呢變成Y平方 T5就除5啊 變40Y 那個2500先不要理他放最後面知道嗎 所以目前為止呢跟題目都一模一樣 我把這個兩個都除5而已啊 除5變這個 好再來呢 為了要把這中間這個要配成完全平方式 這個位置要加什麼 加這個值 一半的二次方 一半就除2啊 除2變20 所以加20的平方可是你要想喔 20平方乘出來答案是400 結果400又乘到5啊 對不對 變成是 加2000去了 本來寫加400要乘到5倍去啊變加2000 你偷偷加2000後面扣回來 馬上扣2000 為什麼扣2000是因為這東西我另外加進來的 另外加的不行啊要把它扣掉 所以左邊呢 就可以寫成5倍的括號 Y減20的平方 2500減2000答案是500 答案有了沒有啊 答案已經有了啊 這個二次函數的開口是朝上 所以當Y是20的時候會有最小值就是500 他問最小的答案是多少 答案是500 所以 回答答案是500 如果問你說個別的值是多少 你再把那答案帶回去算什麼意思呢 我現在Y是20嘛 所以 當Y是20的時候S答案是多少呢 50減2乘20 減40 S是10 所以 當X是10的時候Y是20平方相加最小值 就是500 變這樣意思 這樣第一題有問題 OK 來我們看那個第二題 第二題 這個是要求他的最大值 這裡也蠻好玩的 他要求這個分數的最大值 最大值是誰 那你想喔這個分數他要越大越好 取決在什麼地方 分母要越小越好 變成說我們分母是要找最小值 這個分數要變最大值 那分母是不是越小越好 你分母如果是8 約分變2 分母如果是2 約分變8 分母如果是1 約分變16 那分母如果是0.1 約分變什麼 變成160 有概念嗎 所以 是不是分母越小越好 對啊 那 分母最小到多少 我不知道 所以要去求這分母的什麼 最小值 所以變成說我們要去求這個 分母的最小值 那怎麼求呢 一樣用配方的方法 來怎麼配呢 第一步喔 這個就1了 所以造潮 x平方加2x造潮 那個加5給他丟後面去 放這邊就好 好再來前面這邊呢 要配成完全平方式 要加什麼東西啊 要加 這個值一半的二次方 二一半就1 加1的二次方 1的二次方還是1喔 你偷偷加1後面不扣回來 要扣啊 不能偷加1的喔 後面要減1扣回來 所以他變成了 x加1 的平方 然後再加 5減1是4 加4 這二次函數開口朝上 最小值就是4 所以當你x用負一代的時候 最小值是4 如果分母最小值是4的話 這個分數的最大值多少 答案叫做4分之16 元分之後怎麼樣 一樣是4 這兩個答案是巧合 所以答案是4喔 有時候你一定要再寫過一次這個 不能說看到這個寫的最大值是4 那是錯的 你要寫個分母是4的時候 分值一樣16 4分之16一樣是4 所以代表說 這個分數的最大值 答案就是4 這個過程不能夠省略 我們今天寫非選題的時候 這過程更不能省 因為它代表說你到底懂不懂 你不能寫到這邊結束寫個4 那不對這樣知道嗎 好 好所以答案寫的是4 最大值是4 好看那個第三題 這邊好了嗎 好了齁 好題目是說呢 要求這個分數的最大值 什麼意思 分母越小越好啊 變成說我們是要求分母的最小值 對不對 好怎麼做呢 先把分母抄下來 它的分母是 x 平方 再加上 5減 x 的平方 後面這個呢 把它用乘法公式把它乘出來 所以 s 平方再加上 帶乘法公式喔 a 平方減 2ab 加 1 平方 a 平方5 平方25 減掉 2ab 2 乘 5 乘 x 減掉 10x 再加上有沒有 s 平方齁 所以以上這邊呢是屬於這裡展開的 我把這個給乘出來囉 好再把它整理一下 合併在一起了齁 s 平方兩個 所以是 2x 二次 這 10x 放這邊齁 25 給它放在最後面好了 為什麼這樣寫 對為什麼這樣寫 還不還不用這樣寫 我還沒有題額齁來把它擦掉 那其實把它把這個25寫過來一點 好準備了我們要把它配成那個二次函數 我們要那個寫法 二題出來之後括號 x 平方除2 減 5x 然後呢這25給它放後面齁 好要配成完全平方式的時候 這個位置哦要加什麼 加這個值一半二次方 它的一半就除二嘛 除二叫二分之五 所以這裡要加的是二分之五 的二次方 二分之五的平方多少 叫四分之二十五 四分之二十五哦又乘到二 那乘到二之後約分變成多加二分之二十五 後面扣掉 扣掉二分之二十五 好記得哦 你這邊有多加的後面扣回來 算二次方變這樣寫啊變等於哦 二倍的括號 x 減二分之五的平方 呃這個吼這個是一分之二十五 分子分母都乘二 二分之五十 二分之五十減二分之二十五 答案就是正的二分之二十五 所以呢這一題變這樣子了哦 當當你 x 的值是二分之五的時候 x 用二分之五代 這個分數它就會有不是不是 這個分母就會有最小值是二分之二十五 這是分母的值哦 所以分母最小是二分之二十五 那他問這個分數的最大值 所以你要把再再寫一次哦 分母是二分之二十五 這個是二分之二十五分之二 這樣的寫法就稱為凡分數什麼意思呢 凡分數你這樣看好了 所謂的 b 分之 a 什麼意思 他叫 a 除 b 那這個分母是二分之二十五分子是二 所以寫成運算式是二去除以他 好所以是二去除以二分之二十五 就分子除分母嘛 對分子除分母一樣的寫法 b 分之 a a 除 b 的意思啊 好所以分母是他 那分子是他所以二除以他沒錯嗎 那二除以他怎麼做乘倒數 二要乘上二十五分之二 只有乘到分子去啊 所以答案就是二十五分之四 那麼這個分數的最大值 就是二十五分之四 有有 ok 了 這題沒有問題吧 那個第四十二啊 四十二頁的 第四題哦 好第四題啊題目也單純的 不過這題目再跟你講 以後遇到這題目怎麼做 他說呢 如何把二十四分成兩個數 使這兩個數的平方和最小 如果你要把二十四分成兩個數 平方和最小 其實答案就是把二十四除二變十二 十二平方加十二平方 這樣的一個值會最小 而這樣就變得沒有過程了 然後怎麼寫哦我們這樣寫來 他說呢要把二十四分成兩個數 所以一個加 x 那另外一個呢 另外一個到底是 a 減二十三二減 x 你要這樣想哦 是這兩個相加變二十四 所以 x 要扣掉二十三扣掉 x 啊 另外一個是二十四減 x 然後題目是說呢 使這兩數的平方和最小 就把它平方相加 再做計算後來 所以變成是 x 平方再加上 二四減 x 的平方平方和最小 然後去整理他 求他的極大值或極小值哦 來後面就拆掛號了 變成了 x 平方再加上 這個二四的平方是五七六啊 不用背的 減 2ab 減 48x 再到 s 平方把它整理一下 所以 s 平方起來相加是 2x 平方 減掉 48x 加 576 好接著呢開始要去配方法啊怎麼配呢 第一步哦把這個二提出來 所以是 s 平方 減 24x 576 放後面去哦不要理他 好為了要配成完全平方式 這裡要加什麼 要加這個值一半二次方啊 那一半多少一半就是 一半就是12嗎 因為12的平方啊 12平方多少 12平方乘出來是144 144又乘到2 變成多加288 多加288後面要扣掉 後面要扣掉288啊 所以呢這個題目被加起來 這個二倍的括號 x 這邊減就一樣寫減減誰減這個12 減12的平方再加多少 576扣扣掉288剩下288 代表說呢這個開口朝上哦 會有最小值就是288 所以這二是拆成兩個數 拿兩個數 當你 x 用12代的時候 x 如果是12另外一個呢也是12 所以剛好符我們剛剛說的 把二次除二不就好了啊 所以兩個12平方相加之後呢就是288 好所以答案你要寫288 然後怎麼分呢 分成兩個數12跟12 第五題他題目是說呢 某電影院呢 他的票券 入場券每張是200元 有這種電影院都便宜的 那這個時候呢觀眾會有200人 他發現呢如果票價每增加10塊錢 那觀眾就變少了會少5人 那問你說 那他的票價應該訂多少 纔能夠使收入最多 那收入最多又是多少 我這邊蠻有趣的這個他這樣假想的 假設呢電影院的入場券一張是200元 然後呢這個時候觀眾會有200人 但是他發現 如果呢他的票價調高 每調高10塊錢 讓他發現他人數就會少5人 那這樣子的話呢他的票價要訂多少 纔能夠讓那個收益到最大 那怎麼辦呢我們就這樣想 他本來的收入是多少 本來收入呢就是200乘200 200元去乘上200人對不對 一共就4萬嘛先不要乘 然後他算法這樣算 那我現在是題目這樣說 多加10塊錢會少5個人 同步給他乘上x 比如說我在假設說呢 他多加了10x元 那人數呢他就會少掉了5x個人 按照比例乘上x倍對不對 好所以這個時候你看哦 我的票價變定多少的 多加10x元所以200 會多加10x元 那總人數呢 要每多10塊錢少5個人 我現在多了10x元所以少了5x人 200人去扣掉5x人 那這兩個相乘之後求他的極大值 沒錯啊求極大值 好開始呢把它就展開 所以這裡是很苦功夫哎 乘出來哦好乘出來的時候呢 200乘200是後面會有4個0 那200乘上負x就是負1000 x哦 10x乘上200所以加2000x 好接著呢10x乘上負x 正負得負 10乘5是50 50x平方 重新整理過 會變成了 負50x平方 一次的合併在一起哦 2000扣1000 還剩下1000x 然後那個4萬給他放後面啊放這邊啊 重新排序過了啊 好開始要把它配方法配一下整理一下 這兩個啊先整理啊提出負50 提負50之後呢他變成x平方 除以50變多少 變成了負20 對了負20 負20x哦 就是1000除50不就20啊 但是正負得負他提負號出來所以正變負啊 這括號留著 把那個4萬放後面 好繼續哦 如果你要配成完全平方式 這裡要放什麼東西 放這個值一半二次方一半就是10啊 20除2不就是10 所以要加上10的平方 10平方是100 100要乘到負50 變成多減5,000 多減5,000後面怎麼辦加回來加5,000 好所以左邊這邊呢他就變成了 負50去乘上 x-10 的平方 再加4萬5,000 好有沒有答案呢 有的當你x是10的時候 s是10的時候 這函數只會有最大值就是4萬5 所以問你說他的收入最多是多少 最多4萬5 那票價怎麼定 票價這個是10對不對 不是訂10塊錢的把它封掉了 這個x是10是說我現在x用10代之後呢 我的票價多了10x元 所以本來是200的哦 這是我的票價在這裡哦票價哦 本來是200的 再加上10乘x x也是10啊 當我s乘以10的時候會有最大值 是這個東西啊 所以s代10之後呢這邊s代10 10乘10100 200加100多少300 所以當我票價定300元的時候呢 收入最大4萬5 這個時候有幾個人來看 你這個要扣哎 200減掉5x s用10代啊 200減50 200減50是150 所以這個時候是說 他會有150人來去看 當我票價定300元的時候 有150個人過來看電影 然後總收入最大4萬5 這是第五題 這樣沒問題 可以哈 好看那個第六題 好第六題呢 他題目是說呢果園種了25顆的蘋果樹 然後每顆平均產量 450個蘋果哇這麼厲害 蘋果樹那麼會長 好的題目而已啊 然後每家種一顆呢 會使他的平均產量少10個怎麼會這樣子 哦應該是養分被吸掉了 養分減少的 所以你在有限的空間下 你蘋果樹種越多產量就越少 好那個每一顆的產量呢 所以他說呢他本來種了25顆的蘋果樹 本來是種25顆好 然後這每一顆蘋果樹呢 他的基本的產量是450個 本來是這樣子的 可是他現在發現呢只要多加一顆 多加一顆的蘋果樹 好他的每一顆的平均的產量 就會少10個蘋果 會少10個 少10個哦那問你說 他應該加重幾顆 纔能夠使這個產量達到最大 那最大產量是多少 一樣的情況哦 我們就假設說呢 他加重的 x 顆 加 x 顆之後呢 他的產量就會平均每一顆 就會少掉了10 x 個 那本來應該怎麼算 本來的算法就是這樣子啊 用25顆 去乘上450對不對 那我現在開始改了怎麼改 我有再多加 x 顆 所以本來的25顆 還要再多加 x 顆 要怎麼列是要這樣寫哦 他是25再加 x 總顆數變這麼多對不對 那每一顆的產量呢 本來每一顆的產量是450個啊 對乘450的 好像不對啊我多加一顆就少10個哦 所以多了 x 顆之後呢 每一顆的平均產量會少4 x 個 這邊要扣掉是 x 個 然後求這個東西的函數值 他的最大或最小值哦 應該是要求最大值哦 來把它拆光後整理一下哦 好第一個呢 25乘450 多少我也不知道我要乘呢 5525進2125 這邊是100 1125 11250 再加上25乘上-10 哇-10 25乘-10 -250x x 乘以450 再加450x x 乘以-10 -10x 平方哦 我把那計算擦掉哦 好接著呢把它排序整理過啊 所以它變成了這樣子哦 這邊是-10 x 平方 -250再加450 450減250是200 所以加200x 然後後面那個11250放後面 好開始了 要配方法怎麼配呢 把這兩個提出-10哦 所以提-10以後變成x 平方 200除以-10是-20 -20x 哦 同學都寫的比我快的等我一下 我知道你們寫的比我快 11250 好這裡要怎麼做 要加這個值一半二次方 一半多少 一半是10 所以要加10的平方對不對 10平方是100 100要乘到-10變多減1000 多減1000後面要加1000內對加進來哦 好所以把它整理之後變什麼結果 變成-10乘上括號 x 減這邊減這邊減啊 減什麼減這個減10的平方 加上11250再加1000 12250 所以呢 這邊的那個總產量最大 蘋果的產量可以到12250顆 這個時候呢種了幾顆的蘋果樹 x 用什麼代 x 用10代 x 用10代什麼意思呢 多了多再多10顆 本來是25顆啊 x 用10代又多了10顆 所以25加10 他種了35顆 在我種了35顆的蘋果樹情況下 好這個時候每一顆的產量是減少的 減多少 x 用10去代哦 10乘10100 450減100350 所以呢每一顆的產量呢 他變成350個 這兩個相乘的總量就這個12250 所以總產量最大可以到12250個蘋果 所以你要這樣做回答啊 怎麼回答呢 加重幾顆 回答加重10顆 加重10顆 然後就變成全部是35顆的 他的最大產量就是12250個 好那我們就把數學上到這裡 等一下我要準備上那個理化的課程了 好今天講到這裡了拜拜