【北京大學】《光學》（國家級精品課） P12 - 12. 12-2-98. 波帶片，夫瑯和費衍射—單縫夫瑯和費衍射

我們緊急的討論這個菲尼爾布袋片 菲尼爾布袋片的製作 布袋片的聚焦和成像的功能 主焦點和次焦點 實焦點和虛焦點 焦距公式 濾透鏡 物像公式 就是說 我們可以製作出這麼一個特殊的一個元件 安羅等於K 羅易來刻畫 羅易是一個設計倡量 理解成爲第一個半布袋的半徑 那麼過後我們會講的第一個半布袋半徑 是按你這樣一個焦距的要求可以定出來的 反正我按照這樣一個根號K的規則 來 來畫 在一張 透明片上來畫 第一個半布袋 第二個 第三個 第四個 然後比如說我把偶數個半布袋給擋掉 只露出幾十個半布袋 反過來也可以 當然你畫的話 你爲了要很高的一個聚焦的倍率 你要畫幾百個幾千個 這個人工畫也是可以的 我不知道計算機畫出來會怎麼樣 它那個精度要求 那個東西是不是符合這個原則 那麼可以按那個集成電路板的一個製作工藝 可以兩次照相 畫一個很大的圖 一次照相 精塑一次 再精塑一次 我是認真畫過這個布袋片的 簡單說吧 我露出A1 A3 A5 A19 也就是說我取這麼一個截面 大概包含20個半布袋 但是把偶數個半布袋給它塗黑 你看看這個軸上它的光牆 那個減A3減A4 這個反對派都被它消滅掉了 所以現在這是相同的政見者 都是同樣的 不同政見者都已經被砍掉了 所以10個A1 這不13579佔10個A1 那麼就20個A0 它的光牆就是R10的400倍 這個當然是很少個半布袋了 如果你露出100個半布袋 你畫一個包含200個半布袋的這樣一個布袋片 偶數個都塗掉 那麼就100個半布袋 那應該是多少倍啊 在身上實在平凡是不是 實在平凡 那就是4萬倍 高度的聚焦 這就是比較完善的一個菲尼爾半布袋 菲尼爾叫布袋片 所以它有一個很強的聚焦的功能 但是你在實驗上發現 這個聚焦和平時的透鏡還不一樣 它有若干個焦點 若干個焦點 就是說我已經制作好一個菲尼爾布袋片 拼一光一照 結果我用一個接收器 或者在實驗室用一張這種白紙去攔截去探測 結果發現這裏有一個焦點 結果再往前走 這個距離的三分之一的地方有第二個焦點 再往前走走走 這個距離的五分之一的地方又有第三個焦點 我們叫主焦點 這叫次焦點 這也叫次焦點 而且要注意到這個次焦點 雖然用了次這個詞 但是它這個焦點的亮度和這個主焦點差不多 差不多 這是一個現象 另外一個現象呢 發現它以這個布袋片爲鏡面 有一個鏡像對稱位置 有虛焦點 F1有個F1撇 F2有個F2撇 F3有個F3撇 這個虛焦點你是怎麼確認下 你是怎麼確認的 它有虛焦點 對 透鏡成像 就是說我在這個地方加一個透鏡 發現有一個相碟 然後根據透鏡的一個物相距公式倒推回去 這裏頭有一個發散的球面波來 相應的對應的還有另外一個發散球面波 還有一個發散球面波 這個都是實驗上確認的 那麼過後我們理論上也可以確認它 那麼這件事情本身說明一個很有趣的現象 就是說我這樣一個非碾波帶片 只是對這樣一個波鐵進行了分割 使得偶數個半波帶的振幅是零 讓幾數個半波帶的振幅全透過來 結果造成了一個特殊的一個映射場 一個很複雜的一個映射場 這個複雜的映射場可以看成是若干個匯聚球面波 和若干個發散球面波的一個疊加場 這些焦點都聯繫到一個球面波 實焦點聯繫到一個匯聚球面波 虛焦點聯繫到一粒發散球面波 當我們把這樣一個複雜的由於振幅被改變而造成一個複雜的映射場 用一個球面波的疊加去認識的話 顯然我們這個認識就明朗得多清楚得多 那理論上公式會導出來的 理論公式 主焦點焦距 第二個持焦點是三分之F1 第三個是五分之F1 F1怎麼定 以射擊多少 按照這個公式來 採取相應的挪移 然後以功耗K挪移去刻畫去塗墨 所以這個就是 給定焦距算挪移 或者是給定挪移算焦距等等 這個就是剛纔我介紹給大家介紹的一個內透鏡公式 因爲你是平行光照明 所以在我們前面的公式裏頭 可以把那個R去盡無窮來算 實際上就是這個意思 所以波帶片有一個聚焦的一個功能 記得我們圓孔映射有這麼個公式 R B K 這四個量之間有這麼個公式 那麼第一個聚焦的位置 我們叫它是B 也就是F1 相當於這個K要滿足等於1 那麼R分之一加上B分之一等於挪移平方分之λ 那麼B就是相距 也就是當R去盡無窮的時候 平行光照明的時候 這個B也就是我們這個意義上的一個焦距 所以就理論上導出了F1 應該等於λ挪移平方 好了 既然F1等於λ挪移平方 那我把剛纔這個式子 我把剛纔這個式子等式右端 給它寫成F1分之一 F1分之一 這樣子就會得到一個類透鏡的一個公式 那這個式子告訴我們什麼呢 它這個E又有擴充了 說當我不用平行光照明 用球面波照明有個R 現在的F1已經確定了 那麼給一個R就算出一個B 給另外一個R就算出另外一個B 就找到了一個聚焦相點的位置了 那就不是我們所說的那個平行光照明的時候那個焦點了 可以在球面波照明底下 我在什麼地方應該是得到一個λ 相對應的這個圓孔的包含一個半波帶 如果一個圓孔包含了三個半波帶 同樣的這樣一個圓孔 對遠的地方來看包含了一個半波帶 挪進來以後它包含的半波帶數目多了吧 對不對 多多多多的正好包含三個 這個地方一定又是一個亮點 爲什麼 因爲三個裏頭 一二抵消 剩下第三個 然後呢 再跳過去那個七八九 七八抵消又剩下第九個 這裏剩下第三個 那裏剩下第九個 這兩個的共性是同相位的 明白我的分析吧 你再仔細再想一想 所以這就可以若干個實焦點若干個虛焦點都可以確認下來 在理論上也是如此 那麼這樣一個經典的菲米爾布帶片 現在仍然在科研工作裏頭必採用 它作爲一個集中光能量的一個元件 它具有很多優點 相比一個大孔徑的一個很大很厚的一個透鏡聚焦 它可以在很輕很輕的一個薄膜上頭透明膜上頭來製作 可以疊起來 製作完了疊起來 到了太空以後再打開 再打開 所以它很輕便 可以摺疊 可以支撐大面積的 而且它的攝長和玻璃透鏡的一個成像的一個攝長正好是補償的 所以用於長程的一個光通訊 宇航領域裏頭的一些極光的一個元件 像衛星裏頭 衛星之間的一個極光通訊 或者衛星和地面的微波通信也好 極光通信也好 都有這樣一個布帶片的使用 我記得你們系的湯老師 他們搞軍工的課題 研究衛星間的通訊問題 他就用到這樣一個廢紐布帶片 買來的 買來以後我還向他要了 這個是從應用的角度來說的 更重要的從概念的這個方面來看 我把它概括成這樣一句話 它開創了 有意改造波切以控制後廠的分佈 而滿足各種實際需求 這樣一個光學性領域 我會製作一個特殊的元件 有意的改變這個波切 廢紐布帶片這種是一種特殊的改變 然後有別的改變 改變廂位 改變政府 讓有些地方政府拖過來 讓有些地方政府被完全擋掉等等 可以整個引進後廠的影射廠 是要改變的 我只要找到這種關係來控制它 滿足各種實際的需求 所以現在布帶片的設計 製造和應用 已經成爲一個光學工程裏頭很重要的一個方面 也有的叫全息光學元件 也有的叫做全息透鏡 也有的叫做影射元件 經典的廢紐布帶片它有些缺點 現在有一些新型的廢紐布帶片 就是浮雕型的 就是說經典的時候 比如說把偶數個圖片都給它擋掉 剛纔我說了 非利人覺得你是給我造成一個負的內向 負A2 負A4 反對派 我把它砍掉 不要它了 現在這個比較開放 我可以把反對派轉化成和我是相同的社會 怎麼呢 你之所以是反對派 就是因爲你波長差二分之兩 帶來了相位差派 那好 我在這個地方給你弄厚一點 弄厚一點 造成跟這個地方有一個相位的延遲 又延遲了這個派 你後場傳播的時候又有個派 這樣加起來就是二派了 所以這樣一個浮雕的厚度 我們叫它是D的話 凸出部分的厚度是D的話 那麼我這樣一個透明材料的折射率是N 和周邊的折射率是空氣來對比 它折射率多了 大了 那麼我讓這樣一個光程等於二分之波長 當然這樣一個光通量就全部被利用了 所以增加了光通量或者說提高了映射效率 那麼現在這件事情用壓模技術 不難實現 這個也可以叫做相移技術 我通過一個浮雕形的厚度 造成一個相移 這是要求 我怎麼造成一個厚度合乎我的要求呢 用一個石刻技術 用抗光之物質 光抗腐蝕物質 就是說石刻技術 然後高高低低以後可以成批生產 磨壓技術壓出來 還有這是一個就是克服了非碾波帶片 把光通量只利用一半 這樣一個缺點 另外一個就是克服了非碾波帶片 有那麼多焦點 從這個意義上說也是一種浪費 因爲我從下來只需要一個焦點 那好 我們用正弦形的一個波帶片 就是說這個我們以後仔細講 菲尼爾波帶片的一個透過率函數 如果你用一個 一個去畫的話 是0 1 0 1 0 1的 它這個透過率函數 如果我讓這個透過率函數是一個正弦形的 比如說可算變化 可算隨着X在變化 或者隨着R半徑在變化 那個叫做正弦形波帶片 正弦形波帶片有什麼優點 它只保留了正負一級焦點 怎麼造成我們正弦形波帶片 咱們上一次的期題已經做過了 用平面波和球面波的干涉 用這樣一個干涉強度 然後呢線性通襲 二方離合器 就會得到一張正弦形的菲尼爾波帶片 正像我們用兩束平行光干涉 可以得到一個條狀的 一個正弦形的一個光線 全息光線 現在我們會得到一個橫狀的 那麼爲什麼這樣一個橫狀的 它的脫固力函數隨着R是和三變化的 就只出現一個主焦點 實的 還有一個虛的主焦點 那麼這一點呢以後我們可以再討論 它有這麼個改進 那剛纔課題的時候也有同學們問起來 你剛纔用波帶片半波帶法 實際上我們仔細地討論了一下 是軸上的光強 那麼軸外的顏色光強呢 我們從對稱性已經知道了 它是一個顏色環 但是哪個地方正好是暗的 再往外哪個地方又是亮的 我們沒有去算 爲什麼沒有去算 因爲比較複雜 涉及到菲尼爾的顏色積分 很複雜 這個不是教學的要求 不是我們的教學要求 這樣子難免對這個顏色的一種感覺或者是一種理解會有些侷限性 現在我們來進入用菲尼爾聚合物顏色積分來算一個顏色場 那就是單縫或者是聚孔的弗蘭合肥顏色 這個聚焦清楚嗎 這個地方是個聚焦點 感覺呢 你們看得清楚不看不清楚 你們剛纔說的我都沒有聽清楚 其實我都不清楚 反正書裏頭都是清楚的 好 現在我們來算一個單縫的弗蘭合肥顏色場 那就是要用顏色積分公式來算了 因爲它比較簡單 當然它的理論價值也是很大的 平行光照明個單縫 在無窮源接收 實驗室裏頭用一個透鏡 在後焦面接收 因爲這樣一個波形在X方向受到了限制 限制在很窄的一個寬度裏頭 而在Y方向的通光的那個長度很長 所以這個顏色基本上是在X軸展開 這個是X0軸 有一個零級顏色很寬 然後一級斑二級斑這樣子 寬度deltaX0等於A 那實際上任何單縫都有長度的 deltaY0等於B 那麼我們把它看成是單狹縫 只考慮X方向的顏色 是因爲滿足了這個小於小於這個條件 那麼我們就不要這樣一個問題的退化成一個簡單的圖 既然只在一個X方向一維的顏色 那麼我這個場景顏色場景P就是以一個角度來標定 西塔叫做顏色角 那麼根據透鏡的那個對平行光聚焦的性能 那匯聚到顏色角爲西塔的那個P點 的一個刺波 必然是這裏發出來的也是西塔方向的一個刺波數 儘管每個刺波是四面八方 都有發出來的 發射的 但是能夠對P點有貢獻的一定是同方向的一個刺波數 請注意這是刺波數不是紅光上頭的一個平行光 紅光上平行光那一匯聚到那裏當然是亮點 這些刺波數之間是要發生相干的 相干疊加以後 是亮就是亮是暗就是暗 是這麼回事 這不是我這裏話說來的不是紅光上頭的已經形成功的一個平行光束是分析問題 分析相干疊加應非尼爾就爲顏色積分所話說的一個刺波數 好了 我們要尋求的就是這樣一個顏色場的府政府分佈 相應的就有個顏色強度分佈 分析到達P點各次級腦洞的政府關係 與相位關係 那麼這些小政府數字基本上是相等的 這些每個相位依次均勻變化 因爲它的光程是不一樣的 就畫出一個矢量圖 就是上邊緣是A 共性P的一個小矢量 然後慢慢往下走 這個小矢量 長度差不多一樣 但是呢 相位有變化 相位變化多少呢 到了B點很明確 B點是下邊緣那一點 那麼下邊緣那個小矢量有個前線方向 它的延長線和A點這個前線方向 這個data 這個就應該是代表他們的直接的一個相位叉相位叉 那麼這個相位叉很確定 上邊緣 共性的刺激腦洞 從下邊緣B共性的刺激腦洞 他們之間的相位叉等於2pi over lambda0delta光程差 那麼光程差很清楚 我做一個垂線 垂足是C 從AC往後是等光程的 所以這個差別就在這一段 那麼這一段在這個小三角形裏頭 那正好等於這個寬度A乘上一個上西塔 西塔就是顏色角 所以應該是2pi over lambdaA上西塔 那麼弧長呢 因爲爲了確定這個合成的一個正弧 就必須確定這個弧長 那麼弧長的話這個角度知道的話 那麼就應該知道這個半徑 這個弧長如果把這些小矢量都同方向的排起來 就是這一段 這一段然後呢不同的西塔角就會光折 西塔角越大光的越大 所以這個A0作爲一個參考值 是相當於這些五種多個小矢量的一個同方向的一個排列 同方向的排列叫A0 A0就是西塔等於0的時候 這些是等光程的 也就是幾何光學相點位置裏頭兩個顏色的正弧 這麼一來通過幾何光學就會把那個合成正弧旋找出來 旋長找出來 這個旋長就是A對於西塔角 應該等於2R三二分之delta R那等於AB弧長over一個delta 兩個2消掉二分之delta 然後呢這個AB弧長就是我們即將做一個參考值的一個A0 A0就是幾何光學相點位置的顏色的一個場的正弧 對這樣子正好 等於A0三二分之delta 我們引入一個重量alpha 它就定義爲二分之delta 具體說就是πA3西塔over lambda 我說它是重量是因爲它包含着單縫的寬度A 包含着光波長lambda 這也包含着一個標定顏色場位置的一個顏色叫西塔 可以把西塔當做一個變量 將一個組合一個綜合形成一個alpha 這樣顯得至少這個表達是很簡單 就是A西塔等於A0三alphaoveralpha 那麼顏色強度就是R0三alphaoveralpha平方 這樣子一來這個顏色圖樣就可以完全可以畫出來 是一個sync函數的一個顏色圖樣 至少在我們光學裏頭要多次遇到這樣一個三x比x的一個函數形式 所以在現代光學裏頭人們把它標定成爲一個sync函數 上後面加上一個c sync函數的特點 這個是籠統的抽象的x爲變量 它就是是這樣子的 在它等於π等於2π等於3π的時候這個函數是個零點 然後在x等於零的時候呢是一個極大值 這裏呢要相位相反 然後再上去 如果這個sync函數平方的當然都變成正的了 那就是現在我們的也是的一個關卡也是關卡 嗯 那現在這個x就是我們的alpha 所以sync函數有個特點x等於零的時候零點的時候0比0 羅比達法則定出來了它的極限是1 實際上都是這個sync函數的一個最大值 具體到我們這個目前的丹鳳眼射弗蘭克貝眼射就是c大等於零的地方就是alpha等於0 那時候這個光強就是r0 r0是最大值 出現了一個零級眼射峯 也就是零級眼射斑的中心是一個峯 這個位置呀恰恰就是幾何光學的一個相點的位置 是一個等光成點的位置 所以現在我們清楚了幾何光學的相點 正是零級眼射斑中心的一個位置 從波動的眼射的更普遍的眼光來看幾何關係的相點 好了 當x等於派的非0的一個整數倍的時候 這個sync函數分母是零 分子是零分母不等於零 三個alpha比alpha嘛 所以這樣的sync函數就出現於零 具體到我們這個問題裏頭就a上c大等於k了嗎 ic大等於零出現暗點 這個就是丹鳳弗蘭克貝眼射的暗點條件 你k等於正負一正負不能夠取零k取零就是一個封的位置 這個就是得到那個暗點的位置 其實我們最關心的是什麼 最關心的是一個零級般的半角寬度 我們最關心的是這一點 零級般的半角寬度 從剛纔那個函數曲線裏頭是這麼畫的 以上c大爲橫座標的話 這個等於aλ 這個等於兩倍的aλ 這個是負a分子λ 這是零點 這個眼射的光強 它的光通量或者說光功率 經過粗略的計算 有80%集中在這個零級般裏頭 當然相應的兩側還有正負一級般 所以說眼射明顯不明顯 厲害不厲害 就看這個零級般展寬的程度 這個地方常常取零級般的半角寬度 來作爲度量 眼射效應 這一個強弱的一個程度 所以半角寬度delta c大0 定義爲零級般中心的角方位 和周圍相鄰的兩側相鄰的一個一級岸般的一個角方位的差別 在我們的情況底下 這個c大e已經定下來了 等於a分子λ 所以零級般的半角寬度就是a分子λ 或者話說你把a乘過去 adelta c大0等於λ 這個是一種定義的 這種說明就是說 峯越寬 半角寬度越小 峯越窄 半角寬度越大 兩者的乘積是一個常數 這個常數正是光波長 所以這個公式充分的體現了一種波動性 一種波的一種眼射的一個行爲特徵 什麼叫幾何光學 幾何光學就是相當於一個半角寬度是零 所有的眼射般都不存在了 都集中在一個點 什麼時候能夠出現半角寬度區域零 那麼要麼就是波長區域零 在波長有限值的情況下 我這個a很寬很寬 寬到多大 就是自由開放 自由開放 所以在這個意義上說 幾何光學的傳播行爲 是普遍的波動光學的一個傳播行爲 在光波上區域零下的一個極限的一個狀態 極限的一個狀態 好今天先到此 我來佈置信息 上一次因爲沒有佈置 所以這次應該是第四次吧 第四次和第五次兩次