TTV: Tại sao hình tròn có diện tích lớn nhất? Mà không phải bất kỳ hình nào khác! Phần 1

Xin chào tất cả các bạn. Hôm nay Hạnh Mai có một câu hỏi từ bạn Đoàn Việt đến từ Trường Trung Học Phổ Thông Chuyên Tuyên Quang muốn được giải đáp. Chúng ta xem câu hỏi đó là gì và cùng nhau tìm lời giải nhé. Em tên là Trần Đoàn Việt, lớp 10 Lý, Trường Trung Học Phổ Thông Chuyên Tuyên Quang. Hôm 4 tháng 12 vừa rồi em có xem đường lên đỉnh Olympia và gặp câu hỏi khá thú vị như sau. Tạm dịch là trong tất cả các hình có cùng chu vi, hình nào có diện tích lớn nhất? Đáp án chính xác là circle, hình tròn. Sau khi tự mình tính toán lại thì em cũng thấy nếu cùng một chu vi thì hình buông là hình chữ nhật, có diện tích lớn nhất. Và hình tròn là hình có diện tích lớn nhất trong tất cả các hình. Em nhận thấy rằng hình càng đều và càng đối xứng thì diện tích của nó càng tăng với cùng một chu vi. Hy vọng anh có thể giải thích, chứng minh tổng quát vấn đề này ạ. Bonus thêm, trong tất cả các hình dạng 3D thì hình dạng có thể tích lớn nhất là hình cầu với cùng diện tích bề mặt. Điều này cũng có thể giải thích cho hình dạng tự nhiên của một số thứ như bong bóng xa phòng hay giọt nước. Em cảm ơn anh nhiều ạ. Đây là một câu hỏi rất thú vị được đưa lên chương trình Đường lên đỉnh Olympia. Có thể một số các bạn đã biết được kết quả, nhưng còn lý do tại sao đang sau đó thì nhiều người trong chúng ta chưa thể nắm rõ. Vì thế chúng ta hãy tìm hiểu câu hỏi này ngay sau đây nhé. Giả sử một hình có chu vi là 12, xét bắt đầu với một hình tam giác đều. Ba cạnh của nó sẽ có độ dài là 4, nên chiều cao sẽ có độ dài là 2 canh 3. Và từ đó diện tích hình tam giác đều này sẽ là S bằng 1 phần 2 nhân 4 nhân 2 canh 3 bằng 4 canh 3, gần bằng 6,93. Xét một hình vuông cũng có chu vi là 12, thì các cạnh của nó sẽ có độ dài là 3. Từ đó suy ra diện tích của hình vuông bây giờ là S bằng 3 nhân 3 bằng 9. Vậy, cùng với một chu vi, nhưng hình vuông có diện tích lớn hơn khá nhiều so với tam giác đều. Còn với hình tròn có chu vi là 12 thì sao? Ta có thể suy ra ban kính R của nó. R bằng P chia 2 nhân P bằng 12 chia 2 nhân 3,14, gần bằng 1,91. Từ đó suy ra diện tích hình tròn là S bằng P nhân R bình phương bằng 3,14 nhân 1,91 bình phương, gần bằng 11,46. Thật đáng ngạc nhiên khi diện tích ở đây tranh lệch tương đối nhiều. Vì sao lại như vậy nhỉ? Chúng ta hãy đi đến một dạng tổng quát để biết được lý do tại sao nhé. Xét một đa giác đều có n cạnh và có ban kính R từ tâm đến các đỉnh như trên hình. Nối tâm của đa giác với tất cả các đỉnh để có được N tam giác cân với các cạnh đồng nhất có số đo là R. Khi đó gọi theta là góc giữa các cạnh trong mỗi tam giác và góc theta này bằng 2P chia N. Suy ra diện tích của mỗi tam giác bên trong đa giác là S bằng 1 chia 2 nhân R bình phương nhân sinh theta. Suy ra ta có diện tích của đa giác là S bằng 1 phần 2 nhân N nhân R bình nhân sinh theta bằng 1 phần 2 nhân N nhân R bình nhân sinh của 2P chia N. Ta gọi M bằng 1 chia N với N lớn hơn hoặc bằng 3. Suy ra M nhỏ hơn hoặc bằng 1 phần 3. Đến đây ta sẽ có thắc mắc là tại sao ta lại cần dùng đến M mà không dùng trực tiếp N? Thì ngay sau đây chúng tôi sẽ giải thích cho các bạn hiểu. Diện tích của đa giác bây giờ sẽ là S bằng 1 trên 2 nhân R bình nhân sinh của 2 nhân P nhân M. Tất cả chia cho M. Chúng ta biết rằng một hình trò là giới hạn của một đa giác đều với số cạnh có xu hướng tiến tới vô cực. Suy ra diện tích của hình trò là diện tích giới hạn của đa giác đều có số cạnh có xu hướng tiến tới vô cực. Hai diện tích của vòng trò là diện tích giới hạn của các đa giác đều có nghịch đảo số cạnh có xu hướng tới không. S bằng giới hạn 1 phần 2 nhân R bình phương nhân sinh của 2 nhân P nhân M. Tất cả chia cho M. Để tìm giới hạn này, ta cần đưa về dạng tìm giới hạn của sinh x chia x. Ta có thể viết lại S bằng giới hạn 1 phần 2 nhân 2 nhân P nhân R bình phương nhân sinh của 2 P nhân M. Tất cả trên 2 nhân P nhân M. Giới hạn của sinh x trên x bằng 1. Nên giới hạn trên của chúng ta là P nhân R bình phương. Chính là diện tích hình tròn. Do đó, đối với bất kỳ giá trị hữu hạn nào của n, diện tích của một đa giác với n cạnh luôn nhỏ hơn diện tích của vòng tròn tương ứng. Và đây chính là câu trả lời xác đáng nhất cho câu hỏi chúng ta cần giải đáp ngày hôm nay. Đến đây câu hỏi đã được giải đáp rồi. Hãy cùng để lại ở dưới phần bình luận nhé. Hy vọng video này giúp ích được cho các bạn. Hãy like, share và đăng ký để ủng hộ chúng mình nhé. Cảm ơn các bạn. Cảm ơn các bạn đã theo dõi. Hãy để lỗi chia sẻ phía dưới và đăng ký kênh để cập nhật các video hấp dẫn.