TTV: Định lý Menelaus trong chứng minh 3 điểm thẳng hàng | Nguồn gốc - Nội dung - Chứng minh

Định lý Menelaus Định lý Menelaus liên quan đến các tỷ lệ thu được, bằng một đường cắt các cạnh của một tam giác. Điều ngược lại của định lý, tức là 3 điểm trên một tam giác là thẳng hàng khi, và chỉ khi chúng thỏa mãn các tiêu chí nhất định, chúng cực kỳ mạnh mẽ trong việc chứng minh rằng 3 điểm là thẳng hàng. Đầu tiên ta hãy tìm hiểu nguồn gốc của định lý. Định lý được đặt theo tên của nhà toán học Menelaus, sứ Alexandria, sống ở thế kỷ 2, 3. Người tìm ra định lý này, và viết trong bộ sách Sphaerica. Ông là nhà toán học Hy Lạp cổ đại, và nhà thiên văn học. Ông cũng là người đầu tiên hình thành, và định nghĩa một tam giác hình cầu. Điều đặc biệt của tam giác này là nó có tổng các góc lớn hơn 180 độ, và được ứng dụng thực tế trong lĩnh vực điều hướng và thiên văn học. Tác phẩm quan trọng nhất của Menelaus là Sphaerica, về hình học của hình cầu, chỉ còn tồn tại trong một bản dịch tiếng Ả Rập. Trong quyển thứ 3 của bộ sách này, là quyển cuối cùng, ông tập trung vào lượng giác hình cầu, và giới thiệu định lý Menelaus. Nội dung định lý Menelaus Định lý Menelaus nói rằng, nếu một đường thẳng giao nhau với tam giác ABC, hoặc các cạnh mở rộng của tam giác tại các điểm D, E, và F, thì ta có AD trên DB nhân BE trên EC nhân CF trên FA bằng 1. Và định lý Menelaus đảo là, giả sử 3 điểm D, E, F nằm trên, hoặc phần mở rộng của AB, BC, AC, tương ứng của một tam giác, khi đó, điểm D, E, F thẳng hàng khi và chỉ khi AD trên DB, nhân BE trên EC, nhân CF trên FA, bằng 1. Định lý Menelaus rất mạnh mẽ trong việc chứng minh rằng 3 điểm thẳng hàng, đặc biệt là trong các vấn đề Olympic. Để hiểu rõ hơn vào định lý này, chúng ta hãy đi vào chứng minh nó. Chứng minh định lý Tuy rằng đây là một định lý rất mạnh mẽ, nhưng cách chứng minh nó khá dễ dàng, chúng ta chỉ cần dùng tới kiến thức về tam giác đồng dạng. Với một tam giác bất kỳ ABC, một đường thẳng cắt nhang tam giác, cắt các cạnh lần lượt ở D, E, F. Để chứng minh, ta hãy dựng các đường vuông góc từ các đỉnh của tam giác với đường cắt nhang này. Nó cắt tại các điểm A, B, C, xét cặp tam giác AA,D và BB,D có góc AA,D bằng góc BB,D bằng 90 độ, góc ADA, bằng góc BDB, 2 góc đối đỉnh. Nên 2 tam giác này đồng dạng với nhau, và ta suy ra được tỷ số các cặp cạnh AD trên BD bằng AA, trên BB, ta gọi đây là 1. Tương tự như vậy, tam giác AA,F đồng dạng tam giác CC,F và suy ra được tỷ số CF trên AF bằng CC, trên AA, ta gọi đây là 2. Một lần nữa với cặp tam giác đồng dạng BB,E và CC,E ta có BE trên EC bằng BB, trên CC, gọi đây là 3. Từ 1,2,3 ta suy ra AD trên DB nhân CF trên FA nhân BE trên EC bằng AA, trên BB, nhân CC, trên AA, nhân BB, trên CC, rút gọn điều này ta được 1. Như vậy là ta đã chứng minh được định lý. Lưu ý thêm rằng 1. Đẳng thức này vẫn đúng ngay cả khi đường màu vàng hoàn toàn không giao nhau với tam giác. Điều đó có nghĩa là đường màu vàng giao nhau ở các phần mở rộng của tất cả các cạnh của tam giác. 2. Nếu đường màu vàng giao nhau với một trong các đỉnh của tam giác thì số không sẽ xuất hiện trong mẫu số của phương trình, không xác định được. Để giải quyết vấn đề này, định lý Menelaus cũng có thể được viết lại thành AD nhân BE nhân CF bằng DB nhân EC nhân FA. Một điều đặc biệt nữa là, định lý này có thể được dùng để chứng minh định lý Pascal và chúng ta sẽ tìm hiểu nó ở những video sau. Hãy nhấn chia sẻ phía dưới và đăng ký kênh để cập nhật các video hấp dẫn.