TTV: Nguyên lý Dirichlet - Giải bài cuối trong đề thi CLB

Tiếp tục đến với câu số 9 trong đề thi câu lạc bộ học sinh xuất sắc. Cho X là một tập hợp gồm 2.024 số nguyên dương, đôi 1 khác nhau. Mỗi số không lớn hơn 4.025. Chứng minh trong tập hợp X luôn tìm được hai phần tử X và Y. Sao cho X chữ Y thuộc tập hợp E bằng 5, hoặc 10, hoặc 15. Một bài liên quan đến Nguyễn Ý Disney. Rất thú vị. Chúng ta hãy bắt tay vào thôi. Theo Nguyễn Ý Disney, trong 2.024 số có ít nhất phần nguyên của 2.024 chia 5, cộng 1 bằng 405 số có cùng số dư khi chia cho 5. Gọi 405 số đó là 1, nhỏ hơn hoặc bằng A1, nhỏ hơn hoặc bằng A2, nhỏ hơn hoặc bằng vân vân, cho tới A405, nhỏ hơn hoặc bằng 4.025, theo như điều kiện của đầu bài. Giả sử không tồn tại 2 số A1 và A2 nào, thỏa mãn A1 chữ A2 sẽ thuộc tập hợp 5, 10, 15. Do đó, A1 chữ A2 sẽ phải lớn hơn hoặc bằng 20, vì A1 chữ A2 chia hết cho 5, và A1 khác với A2. Các bạn hãy chú ý nhé. A1 và A2 có cùng số dư, mà A1 chữ A2 không thuộc tập hợp 5, 10, 15, nên hiệu của chúng phải lớn hơn bộ số của 5, và lớn hơn 3 số này, và đó chính là 20. Tiếp theo, trong 405 số trên, 2 số liền kề hơn kém nhau ít nhất 20 đơn vị. Ta vừa leo ra ở trên đây, nên A405 chữ DI sẽ lớn hơn hoặc bằng 404 x 20, bằng 8.880, lớn hơn 4.025. Điều này là vô lý. Như vậy, ta có được điều phải chứng minh. Ngoài ra, ta cũng có thể chứng minh theo một cách khác như sau. Thay 2.024 số thành 1.012 số. Gọi 1.012 số nguyên dương, đôi 1 khác nhau đã cho là 1, nhỏ hơn hoặc bằng A1, nhỏ hơn hoặc bằng A2, nhỏ hơn hoặc bằng vân vân cho tới A1.012, nhỏ hơn hoặc bằng 4.025. Hãy xét 1.012 x 4 bằng 4.048 số nguyên dương như sau. Chúng ta sẽ có được một bảng như này. A1, A2, vân vân cho tới A1.011, đến A1.012. Hàng thứ 2 là A1, cộng 5, A2, cộng 5, vân vân, tới A1.011, cộng 5, A1.012, cộng 5. Tiếp tục là cộng 10, rồi đến cộng 15. Vì các số trong bảng nhận giá trị nguyên từ 1 cho đến 4.025, cộng 15, bằng 4.040, lên theo nguyên lý DisneyNet, có ít nhất phần nguyên của 4.048 chia cho 4.040, cộng 11 là bằng 2, số nhận cùng một giá trị. Hay là có 2 số bằng nhau, nên ta cũng suy ra được điều phải chứng minh. Cảm ơn các bạn đã theo dõi. Hãy để lại những chia sẻ phía dưới và đăng ký kênh để cập nhật các video hấp dẫn.