Bài toán thi Oxford - Tìm tổng 1 chuỗi bình phương

Một bài toán trong kỳ thi tuyển sinh Oxford năm 2020. Trong kỳ thi tuyển sinh vào trường đại học Osceola cho khoa toán học và khoa học máy tính. Đây là một bài toán trong số rất nhiều bài toán dạng tính tổng của một chuỗi. 1-4-9-16-... và cứ tiếp tục như vậy đến 99 bình phương và trừ 100 bình phương. Chúng ta có các đáp án là âm 101, âm 1000, âm 1111, âm 4545, âm 5050. Đây là một vấn đề khá rắc rối mà ta cần phải tìm với phần thi chắc nghiệm. Có thể nào ta sẽ dùng máy tính, nhưng chắc sẽ mất khá nhiều thời gian, và bài thi này yêu cầu thể hiện cách thức hoạt động để tìm ra đáp án. Vì vậy, chúng ta sẽ phải đi vào cách giải quyết vấn đề. Tôi có một số gợi ý ở đây. 1- Nhận xét các số hạng trong chuỗi, và đưa về dạng biểu thức tổng quát. 2- Tìm ra quy luật của các biểu thức tổng quát này. Các bạn hãy tạm dừng video giải quyết vấn đề này, và xem đáp án ở phần sau đây. Đây là tổng, hiệu của một chuỗi các số hạng, mà các số hạng này chính là bình phương của các số tự nhiên từ 1 đến 100. Các phép cộng trừ xem kẽ nhau. Vì vậy, chúng ta hãy viết lại nó ở đây. Chúng ta phải tính tổng của 1 bình phương, trừ 2 bình phương, cộng 3 bình phương, trừ 4 bình phương, cộng 5 bình phương, trừ 6 bình phương, cộng 7 bình phương. Cứ như vậy lên đến 99 bình phương, và trừ 100 bình phương. Nếu phép tính của ta có cộng trừ xem kẽ, thì có lẽ sẽ phức tạp để tính toán. Nên chúng ta sẽ tìm cách đưa nó về dạng tổng thuần khiết, loại bỏ các dấu trừ. Các bạn thử xem nên đưa nó về dạng thế nào. Tôi sẽ viết lại chuỗi này với một tổng bằng. 1 bình, cộng 2 bình phương, cộng 3 bình phương, và cứ tiếp tục như vậy cho đến khi 100 bình phương. Đối với các phép trừ ở trên, ta thấy chúng là những số chẵn bình phương. Vậy đối với các phần từ đó, ta sẽ phải trừ đi 2 lần ở đây là 2 bình phương, cộng 4 bình phương, cộng 6 bình phương, và sau đó 8 bình phương. Tiếp tục cho đến 100 bình phương. Tổng của 1 bình cộng 2 bình phương cho đến 100 bình phương này, ta có thể viết dưới dạng tổng quát là sigma của k bình phương, với k chạy từ 1 đến 100. Còn đối với biểu thức này, ta có thể thấy các số trong hoặc có thể được viết dưới dạng 2 x 1 tất cả mũ 2, cộng 2 x 2 tất cả mũ 2, cộng vân vân vân, đến 2 x 50 tất cả mũ 2. Ta có thể đưa 2 mũ 2 làm nhân tử chung ra ngoài và có được 2 mũ 2 nhân mở ngoặc, 1 bình cộng 2 bình cộng 3 bình, cộng vân vân vân, đến 50 bình. Như vậy, ta có thể viết lại cả biểu thức như sau, bằng tổng sigma k bình với k từ 1 đến 100, trừ đi 2 x 4 nhân với 1 bình cộng 2 bình cộng 3 bình, cộng vân vân vân, đến 50 bình, hay trừ 8 x tổng sigma k bình với k từ 1 đến 50. Vấn đề của chúng ta bây giờ là 2 tổng này, 2 tổng với k bình phương, nên chúng ta phải tìm một công thức tổng quát để tính các tổng này. Hãy nhớ lại hàng đẳng thức hiệu của 2 x tất cả mũ 3, ta sẽ viết là k x 1 tất cả mũ 3. Các bạn có thể xem video sở dưới phần bình luận mình đã nói về hàng đẳng thức. Đối với hàng đẳng thức này, khai triển ra ta có k mũ 3 x 3 x k bình cộng 3k x 1. Ta có k x 1 mũ 3 ở đây, k mũ 3 ở đây, nên chuyển về đổi dấu ta có được k mũ 3, trừ đi k x 1 mũ 3 bằng 3k bình x 3k cộng 1. Biểu thức này đúng với bất kỳ số k thực nào, nên tôi sẽ sử dụng với k bằng 1, 2, 3, và cứ tiếp tục như vậy tới n số nguyên dương. Hãy xem khi ta thay thế vào phương trình trên này sẽ có được gì. 1 mũ 3 x 0 mũ 3 bằng 3 x 1 bình x 3 x 1 cộng 1. 2 mũ 3 x 1 mũ 3 bằng 3 x 2 bình x 3 x 2 cộng 1. 3 mũ 3 x 2 mũ 3 bằng 3 x 3 bình x 3 x 3 cộng 1. 4 mũ 3 x 3 mũ 3 bằng 3 x 4 bình x 3 x 4 cộng 1. Vân vân cho tới n sẽ là n mũ 3 x n x 1 mũ 3 bằng 3 x n bình x 3 x n cộng 1. Hãy cộng tổng tất cả các phương trình này lại. Với V trái bình x, 1 này triệt tiêu cho 1 này, 2 này cho 2 này, 3 này trừ cho 3 này, và cứ như vậy đến n x 1 này sẽ triệt tiêu với n x 1 này. Như vậy ta chỉ còn n mũ 3 bằng. Còn với phải, với cột các số hạng này, ta sẽ có 3 lần tổng sigma của k bình, với k từ 1 đến n. Trừ đi cột này sẽ là 3 lần tổng của giấy 1 cộng 2 cộng vân vân tới n và cộng n. Với giấy số này, ta có thể viết nó về dạng n x n cộng 1 phần 2. Do đó, ta có suy ra công thức sau. 3 lần tổng sigma của k bình, với k từ 1 đến n bằng n mũ 3 x 3 x n x n cộng 1 phần 2, trừ đi n. 2 tổng sigma của k bình với k từ 1 đến n bằng 1 phần 3 x mũ 3 cộng 3 phần 2 x n x n cộng 1 trừ n. Dựa vào đây, ta có thể tính phép tính này một cách dễ dàng. Và nó bằng chữ 5050. Vậy đáp án đúng của chúng ta là E. Cảm ơn các bạn đã theo dõi. Hãy để lại những chia sẻ phía dưới và đăng ký kênh để cập nhật các video hấp dẫn.