HẰNG ĐẲNG THỨC | Chứng minh và mẹo ghi nhớ dễ nhất.

Xin chào các bạn. Hằng đẳng thức là một vấn đề rất hấp dẫn trong chương trình học lớp 8, 9. Các bạn sẽ được làm quen và vận dụng những hằng đẳng thức này trong tính toán. Nhưng chắc hẳn không phải ai cũng biết chi tiết về chúng. Nên hôm nay, chúng ta sẽ nói về hằng đẳng thức. Chúng ta sẽ xem nó được hình thành như thế nào. Và làm sao để ghi nhớ chúng một cách tốt nhất. Đầu tiên, hằng đẳng thức nghĩa là một loạt các đẳng thức có liên quan tới nhau hợp lại thành một hằng đẳng thức. Những đẳng thức này được sử dụng thường xuyên trong các bài toán liên quan đến giải phương trình, nhân chia các đa thức, biến đổi điều thức tại cấp học trung học cơ sở và trung học phổ thông. 7 hằng đẳng thức đáng nhớ giúp giải nhanh những bài toán phân tích đa thức thành nhân tử. Hằng đẳng thức đầu tiên chúng ta làm quen đó là A cộng B tất cả bình. Nếu viết theo công thức đại số, nó sẽ là như thế này. A cộng B nhân A cộng B. Ta dùng cách nhân đa thức với đa thức. Ở đây, ta lấy từng số hạng trong đa thức đầu nhân lần lượt với các số hạng trong đa thức thứ 2. A nhân A được A bình phương, cộng A nhân B được AB, cộng B nhân A được BA, cộng B nhân B được B bình. Và ta viết gọn lại được A bình cộng 2AB cộng B bình. Nếu theo cách giải thích hình học thì nó sẽ như thế này. Đầu tiên, chúng ta lấy một đoạn thẳng chiều dài A. Do có A cộng B nên ta kể thêm một đoạn thẳng có độ dài bằng B. Những gì chúng ta cần tìm là một bình phương của A cộng B, hay diện tích một hình vuông cạnh A cộng B. Vì vậy, hãy tạo một hình vuông ở đây. Hình vuông có cạnh bằng A cộng B. Hãy xem nếu ta thể hiện qua các hình vuông cạnh bằng A và B sẽ như thế nào. Ta sẽ vẽ một hình vuông cạnh A như thế này. Sau đó là một hình vuông cạnh B. Khi đó, các cạnh này sẽ là A. Cạnh này là B. Như vậy, diện tích hình vuông cạnh lớn A cộng B bằng A cộng B bình phương. Hãy xem thành phần cấu tạo trong nó. Nó bằng diện tích hình vuông cạnh A cộng diện tích hình vuông cạnh B cộng 2 lần diện tích hình chữ nhật cạnh A và B. Hay ta có thể viết lại A cộng B tất cả bình bằng A bình cộng B bình cộng 2 lần AB. Đó chính là cách diễn dài của hàng đẳng thức đầu tiên này. Ta đến với hàng đẳng thức số 2. A chữ B tất cả bình. Ta cũng làm điều tương tự như hàng đẳng thức đầu tiên. Theo cách đại số, ta sẽ viết nó dưới dạng. A chữ B nhân A chữ B. Dùng phép nhân đa thức với đa thức và ta lại có được. A bình cộng B bình chữ 2 AB. Còn theo cách hình học, ta sẽ làm như sau. Đầu tiên, chúng ta lấy một đoạn thẳng chiều dài A. Ta kể thêm một đoạn thẳng có độ dài bằng B nằm trong đoạn thẳng A. Những gì chúng ta cần tìm là một bình phương của A chữ B. Hay diện tích một hình vuông cạnh A chữ B. Vì vậy, hãy tạo một hình vuông ở đây. Hình vuông có cạnh bằng A. Khi đó, các cạnh này sẽ là A chữ B. Ta vẽ một hình vuông cạnh A chữ B. Như vậy, các cạnh này là A chữ B. B. Và diện tích hình vuông cạnh A chữ B bằng A chữ B bình phương. Nó sẽ bằng diện tích hình vuông cạnh A. Trừ 2 lần diện tích hình chữ nhật cạnh A chữ B. B. Trừ diện tích hình vuông cạnh B. Hay ta có thể viết lại. A chữ B tất cả bình bằng A bình chữ B bình chữ 2 lần A chữ B nhân B. Diễn giải ra ta có A bình chữ B bình chữ 2 lần AB cộng 2 lần B bình. Bằng A bình chữ 2AB cộng B bình. Đó chính là cách diễn giải của hàng đẳng thức đầu tiên này. Tiếp theo đến hàng đẳng thức A bình chữ B bình. Công thức diễn giải theo đại số sao nhỉ các bạn? Ta viết lại A bình chữ B bình bên này. Sau đó thêm A nhân B chữ A nhân B. Hai yếu tố này triệt tiêu cho nhau nên không ảnh hưởng đến phép tính của chúng ta đúng không? Chúng ta nhóm nó lại. A bình chữ AB. Cộng AB chữ B bình. Dùng nhân tử trung. Ở nhóm này có A trung nên ta đặt A ra ngoài và có. A nhân A chữ B. Nhóm này có B trung nên đặt B ra. Có B nhân A chữ B. Hai đa thức này có A chữ B trung nên ta tiếp tục cách dùng nhân tử trung. A chữ B. Nhân A xuống đây, cộng B xuống đây. Vậy ta có A bình chữ B bình bằng A cộng B nhân A chữ B. Còn theo hình học, chúng ta sẽ giải thích nó như thế này. Ta vẽ một đoạn thẳng có chiều dài A. Sau đó là một đoạn thẳng chiều dài B trong đoạn A này. Với A bình chữ B bình, chính là lấy diện tích hình vuông cạnh A trừ đi diện tích hình vuông cạnh B. Ta vẽ hình vuông cạnh A. Sau đó là hình vuông cạnh B. Diện tích cần tìm ở đây chính là phần gạch chéo này. Diện tích này sẽ thế nào các bạn? Tôi sẽ làm cách như này. Chuyển vùng vị khuyết này xuống dưới đây. Như vậy, cạnh này là A chữ B. Cạnh này là A cộng B. Và diện tích ta cần tìm là diện tích hình chữ nhật này. Bằng A cộng B nhân A chữ B. Rất trực quan. Đó là chúng ta đã làm quen với ba hàng đẳng thức đáng nhớ trong bảy hàng đẳng thức. Nhưng đó là những hàng đẳng thức bậc 2. Và ta giải thích chúng qua các hình vuông. Vậy còn đối với các hàng đẳng thức bậc 3, các bạn nghĩ nó sẽ như thế nào? Khi này nó chính là những hình lập phương, hay hình khối vuông. Hãy để tôi mô phỏng cho các bạn thấy. Với A cộng B tất cả mũ 3. Ta sẽ có một hình lập phương cạnh A. Một hình lập phương cạnh B. Hình lập phương cạnh A cộng B sẽ như thế này. Chúng ta tìm mối liên hệ giữa chúng và ta sẽ tìm được ra công thức này. Tương tự với A chữ B tất cả mũ 3. Tương tự với một hình lập phương cạnh A. Một hình lập phương cạnh B. Mối liên hệ giữa chúng sẽ cho chúng ta công thức. Còn đây là A mũ 3 cộng B mũ 3. A mũ 3 chữ B mũ 3. Qua đây chúng ta đã hiểu thêm về 7 hàng đẳng thức đáng nhớ. Và tôi có một mẹo rất hay muốn chia sẻ với các bạn để nhớ các hàng đẳng thức này. Tôi sẽ nói ngay bây giờ đây. Đối với các hàng đẳng thức với tổng hay hiệu ta sẽ có cách ghi nhớ chúng như này. Sẽ trông như sự phát triển của nhánh cây. Đầu tiên tôi viết số 1 ở giữa. Tiếp theo là 1 và 1 ở dưới như này. Cứ mối hàng tăng thêm một số. Tiếp theo nữa, 1 ở đầu giữ nguyên. Thêm một số ở giữa bằng 1 cộng 1 bằng 2. Một ở cuối giữ nguyên. Cứ tiếp tục như này, ta sẽ có hàng tiếp theo. Tiếp theo nữa. Vân vân. Và khi bạn áp các tổng hay hiệu vào các hàng, bạn sẽ có được biểu thức tương ứng của nó. Tôi ví dụ A cộng B tất cả bình. Khi viết ra có. Hay A cộng B tất cả mũ 3. A cộng B tất cả mũ 4. Đơn giản chỉ việc lấy các số hàng ở nhánh cây này đưa vào. Còn đối với hiệu A trừ B thì sao? Các hệ số vẫn giữ nguyên. Và ta cần lưu ý ở đây là âm B. Nên đối với các số hạng trừ B có số mũ lẽ thì nó sẽ là trừ. Và ta có thể viết lại các hàng đẳng thức này. Chỉ cần nhớ quy tắc đơn giản này, ta có thể khai triển tất cả các hàng đẳng thức dạng như này để ghi nhớ chúng. Thật tuyệt phải không các bạn? Còn đối với hàng đẳng thức dạng A mũ N cộng B mũ N. Nó có dạng tổng quát là. A cộng B. Nhân A mũ N trừ 1, trừ A mũ N trừ 2 nhân B, cộng A mũ N trừ 3 nhân B mũ 2. Cứ lắp lại như vậy đến cộng A mũ 2 nhân B mũ N trừ 3, trừ A nhân B mũ N trừ 2, cộng B mũ N trừ 1. Ta chỉ cần nhớ A cộng B đứng đầu. Sau đó là là chuỗi lắp liên tiếp giữa cộng và trừ, số mũ A giảm dần, và số mũ B tăng dần. Còn đối với A mũ N trừ B mũ N. Ta chỉ cần nhớ đa thức đầu là A trừ B. Còn lại đa thức sau tất cả chỉ là cộng. Khi các bạn nắm được các công thức tổng quát như vậy thì việc ghi nhớ và sử dụng các hàng đẳng thức sẽ trở nên rất đơn giản. Cảm ơn các bạn đã theo dõi. Hãy để lại những chia sẻ phía dưới và đăng ký kênh để cập nhật các video hấp dẫn.