【北京大學】《金融經濟學》北大最受歡迎的課程！經濟學必修! P91 - 91.第16講-05資產價格的鞅性

再講一個很重要的概念 我要定義一個東西 我定義一個東西叫做 這個deflated price deflated asset price 資產價格 你可以把中文叫貼現的資產價格 貼現資產價格 就是資產價格除以當期的無風險資產 那個比值 比如說我們來說這個股票價格 這個叫貼現的股票價格 這個比如說我們把它定義為這個ST 我把上面加個帽子 ST hat 這叫貼現價格 它等於什麼呢 等於這個股票的價格 然後用無風險資產的 除以無風險資產的價格 無風險資產T7後是應該變成1的RT 但是我前面要把它除 所以這個紙上加個負號 乘以ST 所以這個股票價格的貼現股票價格 你把它叫貼現股票價格 相當於用無風險利率 用無風險利率把這個股票價格貼現到臨時扣欄 這叫貼現的股票價格 對任何一個資產都會做這個事情 你可以算這個貼現的 比如衍生品價格 當然你可以算貼現的無風險資產的價格 那貼現肯定是永遠等於1 永遠等於1 所以我們現在看這個東西 我為什麼定義這麼東西 我們來算這麼一個東西 EU 我們在這個圖裏面 在這個節點 去算下一個時刻 20克的貼現股票價格的期望是多少 我們來看一下 所以我是在U這個節點 來算在20克的貼現股票價格的期望 它等於什麼呢 就應該等於風險中性概率 都是在風險中性概率下面 風險中性概率下面的SUU 再加上E-QSUD 那SUU和SUD是等於什麼呢 股票價格都在這了 所以我們可以把它寫下來 就等於Q乘以E-2R 那時候無風險資產價格已經變成E2R了 然後我除它 所以它前面只剩一個負號 E2R 然後是UUS0 再加上E-Q E-2R UDS0 所以它等於什麼呢 它等於E-R E-R 再乘以E-R 把這個提出來 QUUS0 再加上E-QUDS0 這東西是什麼東西啊 這就是未來的 E20克的這兩個股票價格 用風險中性概率算個期望 再用無風險利率貼現 所以這坨就應該等於 -E的-R 這前面不動 這個就應該等於 US0 這個地方其實用的是風險中性概率下面 這個資產的價格定價方程 它等於未來支付的期望 再用無風險利率的貼現 這個東西等於什麼呢 這個東西不就等於 這就是這個節點的股票價格 再除以這個節點的無風險資產的價格 這就是這個節點的 這個節點的 這個股票的貼現價格 就應該等於 SU hat 類似的可以算 在D這個節點 對20克的這個股票的貼現價格做期望 它就等於 SD hat 就是D這個節點上面股票的貼現價格 所以這兩個式子可以合併起來寫 寫成什麼呢 就寫成 E時刻 對20克股票貼現價格的期望 在風險中性概率下 等於 E時刻股票的貼現價格 SE hat 不管你E時刻是在U這個節點 還是在D這個節點 類似的還可以算 在0時刻 算的20克股票價格的貼現 貼現股票價格的期望 就應該等於 0時刻 算的E時刻的股票價格的期望 等於0時刻的 類似可以算出來的 類似的 所以我們來看這個地方有一個很有趣的性質 就是在風險中性概率下面 你對這個資產的貼現價格 未來的貼現價格做期望 對這個資產的未來的貼現價格 算它的期望 這個期望就等於現在這個資產 就你算期望的時候 這個時點上 這個資產的貼現價格 所以你在E時刻 E時刻來看 來計算 20克股票貼現價格的期望 就等於E時刻股票貼現價格 然後你在0時刻來算 E時刻股票貼現價格的期望 就等於0時刻股票貼現價格 這個東西 它有一個 這東西它叫什麼 這東西有一個非常有名的名字 它叫做Yang 它叫Martingale 中文就是Yang 這個Yang 我們在講義上給出了它的定義 這個Yang其實是個隨機過程 這個隨機過程 你在任何一點上 對這個隨機過程 隨機過程就是一系列隨機變量 對這個隨機過程 未來做期望 這個期望就等於它現在的值 所以這叫Yang 這個它的定義我就不寫出來了 就這個隨機過程 你在任何一點上對它未來做期望 這個期望就等於現在 它現在的取值 這個Yang為什麼重要呢 因為這個Yang是 就隨機過程 就是我們概率論裡面 隨機過程裡面 一個非常重要的一個隨機過程 所以呢 在隨機過程的理論裡面 有非常多有關於Yang的結論 非常非常多 所以當我們現在 我們突然發現 我們把資產的貼現價格 在風險中性概率下面化成了一個Yang 那數學家們整出來的一堆 有關Yang的結論 直接可以套上去 就直接套上來 就可以分析資產價格 風險中性概率 一個特別好的地方 它能夠把所有資產 不光股價 這個什麼衍生品價格 所有資產的貼現價格 都轉換為Yang 這就風險中性概率 所以風險中性概率 它實際上又有一個 Risk Neutral Probability 它有個別的名稱 這個名稱很有名 這個叫等價Yang測度 Equivalent Equivalent怎麼拼呢 Equivalent Martingale Measure 等價Yang測度 簡稱為EMM 所以我們的風險中性定價 又叫做Yang方法 Martingale Approach 為什麼可以叫這些東西 就因為在風險中性世界下面 所有資產的貼現價格都是Yang 我之所以要給大家講這個東西 目的是什麼 目的就是告訴大家 以後你們回去 比如跟室友講 我們要給資產定價了 你不要講什麼風險中性定價 你想我要用Yang方法 來給它定價 一下你的檔次好像又高了一些 但這個地方 我們就只是把這個點到這個地方 以後你要真的去學 比如說學數理金融 在這個地方 這是起點 當我把資產價格轉換為一個Yang之後 那就有N多的結論往上套 特別多 所以我們就到這為止了 我們就是告訴你 這地方一個大的園子 超大的園子 現在只是給你看看門牌在這了 你如果有興趣 自己進去搞 說不定搞進去就出不來了 非常有趣 這就是我們對多期二叉數定價的一個簡單的分析 實際上在我們這16講的附錄裏面 你把多期二叉數 這方面我們講了兩期 如果不帶數 就用公式往下推 你把它推到無窮期 你就算期權的價格 算這個C0 它就收斂到這個Black-Scholes公式上面去 所以這是推導Black-Scholes公式的一種方法 我們在金融經濟學25講這個書上 有三種推導Black-Scholes公式的方式 這是第一種 就是二叉數趨近於無窮 就是這個期數趨近於無窮 那當然期數趨近於無窮 相當於每期的時間趨近於零 這個時候它的這個式子 最後這個式子就會收斂到Black-Scholes公式上面去 這是一種方法 但其實說得那麼玄乎玄 其實很簡單 大家看看是不是很簡單 非常簡單 就是把風險中心概率算下來之後 然後就像我們這算這個東西一樣 從尾巴開始往前遞推 就都出來了