【北京大學】《金融經濟學》北大最受歡迎的課程！經濟學必修! P48 - 48.第9講-01投資者參與風險資產的條件

今天我們就要講 沿著上幾課這個思路往下講 上幾課我們講了 我們其實是在分析一個偏好 分析這個不確定狀況下的這個偏好 所以我們說一個偏好 我們複習一下 簡單複習一下 一個偏好如果定義在彩票空間上面 那麼這個偏好如果滿足幾個條件 滿足這個理性 理性就包含完備和傳遞 同時又滿足連續性 同時又滿足獨立性公理 那麼我們就可以說 存在著一個期望效應函數 它這個具體的形式就是 各個狀態下面的效用值的一個 按照各個狀態發生的概率來算的加權平均 這是我們的期望效應 所以這個是我們上一節課理論的核心 那麼有了這個東西之後 它的比較好的地方就是 它可以把我們之前 認識到一些重要的概念把它量化 最重要的重要性就是risk aversion 就是風險規避 所以我們有兩個風險規避係數 絕對風險規避係數 ARA Absolute Risk Aversion 還有一個相對風險規避係數 RRA 那麼有了這兩個東西之後 我們就可以說 這個人到底風險偏好是怎麼樣的 他是有多麼的厭惡風險 我們就可以講 然後在上一課就數學 所以我們實際上是用數學 把我們不均的狀況下一個偏好理論給構建起來 我們上一課專門講到了 一個上一課其實很核心的一個思想 就為什麼人會厭惡風險 他的這個偏好裡面什麼樣的特性決定了這個人會厭惡風險 以及會有多厭惡風險 有誰可以回答我 邊際效用遞減 對的 為什麼一個邊際效用遞減的人就會厭惡風險 誰可以回答我 邊際效用遞減嗎 這個跟風險厭惡又有什麼關係呢 誰可以回答我 有沒有人 是不好意思呢還是不知道 這很重要 上一課我們如果講經濟思想 這個就是最重要的思想 我給大家講 為什麼一個邊際效用遞減的人他就會厭惡風險呢 因為什麼叫風險 風險就是結果的不確定 就是說你會拿到的消費有可能好有可能不好 所以這叫風險 風險相對於確定就帶來這個問題 所以對於一個邊際效用遞減的人來說 比如他有風險了 他有些時候他會拿到一個比較好的結果 他的消費會上升 但是因為他邊際效用遞減 所以他消費上升所帶來的這個效用的提升的幅度 會比他拿到壞運氣的時候 消費下降的時候 那個效用損失的幅度要更小 明白沒有 就我們一個效用函數 這麼一個效用函數 邊際效用遞減 所以這個效用函數它是一個concave 是一個凹函數 所以我們一開始可能他的消費在這 可以確定一個狀況 後來我們又加入了風險 加入風險他有好的運氣 可能在這兒是好運氣 也有壞的運氣在這兒 我們就C加Δ C減Δ就是C 所以我們引入了風險之後 他運氣如果好的時候 他拿到C加Δ的時候 他的效用會從之前的這個效用 會從這個地方的效用 上升這麼多 但是他如果壞運氣拿到C減Δ的時候 我們來看 他的效用會下降黃粉比標出來這段的這麼多 所以因為他是邊際效用遞減的 所以他拿到壞運氣所損失掉的這個效用的幅度 會大於他拿到好運氣所得到的 額外的效用提升的幅度 所以從這個意義上來說 你加入了風險之後 你其實是降低了他的最後的期望效用 所以一個人在期望效用的框架下面 所以我們可以說一個人 他如果邊際效用是遞減的 他就會厭惡風險 所以如果一個人他的邊際效用是不遞減的 邊際效用不遞減的這個人 他的這個期望是 他的這個效用函數是什麼呢 他是一根直線 所以如果是一根直線的話 那你看來看 不管你是加入風險之後 C加Δ C減Δ 他的邊際效用永遠是一樣的 所以好運氣的這個帶來的效用提升 就和壞運氣帶來的效用提升相等 所以這個時候他就對風險是不care的 所以叫風險中心 實際上是一個最重要的內容 所以我們就說這套框架 實際上它就可以把我們之前的這個mean variance 給它包進去 所以這個mean variance這個均值方差 實際上是我們這套理論的一個special case 好今天我們把這個偏好 上一節課我們把偏好理論進來之後 今天我們就要運用這個偏好理論 來去分析在不確定性狀況下 人的行為 然後對於我們金融研究來說 我們看重的行為有兩個 第一就是資產投資 投資行為或者叫組合優化行為 就我怎麼把我的財富 給它分散投資到不同的資產上面去 這是一個組合優化的問題 其實我們在這個capital 實際上在那個mean均值方差裡面 做的就是組合優化 對我們形成一個市場組合 那除了這個之外 我們還要研究一個問題 就是人的儲蓄的問題 所以我們現在投資角色一個是portfolio 這個選擇問題 優化問題optimization 還有一個就是消費和儲蓄行為 那麼這個消費和儲蓄行為 與我們投資有什麼關係呢 因為儲蓄是對資產的需求 這儲蓄什麼意思 儲蓄是我把現在的資源 現在不消費把它留到未來 要把現在資源通過儲蓄來轉移到未來 而這種轉移資源的方式就是通過購買資產 資產是什麼 資產是一種對未來經濟利益的索取權 所以通過買賣資產 你就完成了資源在不同時點之間的轉移 所以當我們要研究對資產的需求的時候 我們需要研究什麼呢 我們需要研究人願意做多少儲蓄 所以儲蓄實際上決定了 決定了我們對資產的總需求 所以這個顯然會決定資產價值 所以這個問題是非常重要的 這個我們在CAPM那個靜態模型裡面 我們是沒法分析的 因為做了很多假設 沒有把人的行為考慮進來 在我們在均值方差裡面 我們在均值方差裡面 就是通過假設把問題聚焦到了組合優化問題上面 Portfolio Optimization上面 而把這種消費儲蓄的決策問題 根本就放到我們的視線之外了 但這個問題很重要 所以現在我們有更寬泛的偏好理論之後 我們可以研究這個問題 研究消費儲蓄決策問題 所以今天我們先研究這個 我們就先研究組合優化問題 組合優化問題 我們研究就不會研究到說 我們今天的研究都只限於 在一個無風險資產和一個風險資產之間做選擇 一個是風險資產 我把它記為R bar R delta 另外一個是無風險資產 Rf 至於說在風險資產內部做組合優化問題 這個在我們這學期的課程裡面 這個CCAP我們就不涉及 不會涉及 它可以做的 可以研究的 我們其實最後會 下節課和下下節課我們會算出來 但是我們會把那個東西作為一個中間的過程 來去最後為我們推導這個CCAP定價方程 來做一個工具 所以我們專門研究組合優化 實際上我們就只研究這個東西 在風險資產和無風險資產之間做選擇 所以現在我們第一個問題 我們問的第一個問題 就是在什麼情況下 人會買風險資產 我們假設人都是風險厭惡 所以在今天這個課裡面 我們都有一個假設 一直要保有的 就人是風險厭惡 所以他偏好的二階導是小於零的 所以我們在這個前提下 我們就說對一個風險厭惡的人來說 他在什麼情況下 會願意把他的一部分資產 分配到風險資產上 我們想想有沒有這種可能性 就一個人他特別厭惡風險 以至於他其實一點風險資產都不願意買 比如說一個人 他可能就已經年紀很大了 然後他就只能靠他的儲蓄來維持他的生活 所以他承受不起儲蓄的哪怕一點點微小的波動 所以他只敢買無風險資產 這種情況聽上去好像是有道理的 那你說是不是我們這個風險資產 它的期望 它的風險資產 剛剛我們講到期望了 ER 一定要大於我們的無風險資產 就要減去一個正數 Delta要大於零的時候 就風險資產的期望回報 與無風險資產之間 無風險回報率之間要差出一截來 纔有可能讓這些風險厭惡的人願意去買風險資產 有沒有這種可能性 從我們簡單的分析來說 好像是有這種可能性的 但是我們馬上就會通過理論來給大家做一個討論 就會告訴你說 不是的 不管你這個人風險厭惡程度有多麼的高 只要ER大於RF 它就必然會分配一部分的資產到風險資產上去 哪怕風險資產的期望回報只是比風險利率高那麼一丁丁點點 非常非常微小的 它也一定會參與風險資產 這就是我們今天要探討的第一個問題 怎麼探討呢 我們現在有了這套理論之後 我們就可以通過理論來幫助我們分析 我們就來看這個組合優化問題 我們現在假設一個人他初始財富是W0 然後他又把A那麼多的財富放到風險資產上 W0減A這麼多資產放到無風險資產上面去 所以這個時候我們就要把這個A給求解出來 A是多少 A就是一個 因為人的目的是什麼 人的目的是最大化他的效用 所以A的確定是會使得人的期望效用最大化 所以人會最大化 通過選擇A來最大化他期末的 我們講一期的決策 一開始做一個組合在風險和無風險資產上的分配 然後到期末結束了 獲得效用 期末的效用它是一個不確定的東西 是個隨機變量 所以我們通過最大化期末財富所帶來的期望效用 來去選擇投到風險資產上的財富的數量 這個期末的財富是多少呢 我們可以把它寫出來 記住抄下來 期末財富是多少呢 U 你有W0的初始財富 這初始財富會得到一個無風險利率的保底 一加2F 同時你還有一部分財富是放到風險資產上的 所以風險資產它回報高於無風險利率的那部分 會帶來一個超額的收益 就是我投到風險資產上的超額收益 所以這塊是R波浪減去2F 所以這兩塊加起來 就是你的期末的總財富 它是個隨機變量 因為風險資產的回報率是不清楚的 一塊就是無風險利率得到的保底 以及投在風險資產上所獲得的風險資產提供的超額收益 現在就對這個東西求導 我們就求一階條件 這個就是我們進入到我們標準的未官進學了 對它求一階條件 一階條件這個地方我要給大家多講幾句 有些初接觸金融理論的人 他看見這個期望符號 他就不知道怎麼處理了 這個時候讓你求導 對這個期望的東西求導 他就不知道怎麼求了 其實不要這樣 不用害怕 我教大家一個辦法 你期望 凡是你發現期望你不會做的時候 你把期望寫成廉價就好了 這個東西我多寫一部 它其實等價是這麼一個東西 n從1到N Pn 然後 W0 1加Rf 再加上a乘以 因為現在 因為你把它 把n種狀態都寫出來了 所以隨機變量R波浪 你把它換成 第n種狀態下的 風險資產回報的實現值 減去Rf 這樣的話對廉價求導 你就會求導 對廉價求導是你會求的 所以凡是以後你碰到期望符號 你不知道怎麼處理的時候 你就把它寫成這樣 這樣來寫 我們這段就剪片 我就不寫了 我直接求導了 所以其實你就把這個期望符號 你就視為一個廉價號就行了 所以以後求導時直接把它抄下來就OK了 所以依這條件怎麼弄呢 依這條件 就是期望符號或者廉價符號抄在前面 那麼我們就求導鍊式法則 先對這裡頭 這是個U的函數 這個效應函數U 這個是變量 先對U求一次導 我現在是對A求導 同學們依這條件 我是對A求導 所以先求個導 這個裡面就照抄 我寫成大波浪號 然後求完之後 你要對U裡面這個自變量這一坨 再對A求個導 求出來什麼呢 R波浪減RF 這一塊都在期望號裡面 這就是我們的一階條件 對嗎 對的 然後它等於零 要讓它等於零 所以等於零的時候 它就是它的最優質了 我把最優質把它用星號標出來 A star標出來 好 現在我們要論證一個定理 Proposition 9.1 這個定理就是 在風險偏好是 風險厭惡的情況下 它現在有三個結論 第一個結論就是說 A star大於零 當且僅當 R波浪大於RF 所以只要風險資產期望回報大於無風險利率 就一定我會買一點風險資產 還有兩個 如果風險資產的期望回報率等於無風險利率 那我在風險資產上的投資量就等於零 如果風險資產的期望回報小於無風險利率 我在風險資產投資量會小於零 小於零什麼意思呢 我就做空它 我賣空風險資產 來買入無風險資產 我們現在就指證 我們在這中間要證一個東西 我們就指證第一個結論 後面兩個結論類似的 我們就指證第一個 這個定理要給它證一下 給大家來展現一下我們這個分析的一些韻味 後面一個更複雜的定理 這個9.2的這個定理 因為時間關係我就不講了 但我希望大家下課以後 仔細看一下9.2命題的證明 我們今天就證那個9.1 我們就定義一個直函數 define 一個直函是什麼呢 max 希望 希望效用 u w0 這個直函數什麼意思呢 它是一個函數 我在風險資產上投資的量 在給定初始財富w0的前提下 我在風險資產上投資的量a 就決定了我最後在期末能夠獲得的期望效用 但我要說清楚 所謂這個期末所獲得的期望效用 是站在我期初來看的 所以這個a的確定不是說到最後才確定 a的確定是我一開始就要確定下來 把它定下來 然後我定下一個a的時候 我定下這個a之後 最後我在期末會獲得多少財富是不知道的 是個隨機變量 因為風險資產的回報率還未知 所以這時候我只能夠形成一個對期末財富所帶來的期望 所帶來效用的一個期望 所以這個a的決定 所以它a不是個隨機變量 同學們 a不是隨機變量 a是確定 a在隨機性不確定性還沒有消解的時候 就必須要被定下來 所以a是一個數 所以a是基於我對未來不確定性的一些考量來定下來 現在要定下一個數 所以這個決策 我們要多講 這個風險的組合優化的決策 發生在 我不知道畫清楚了 我把它叫零時刻 一時刻 這個決策a是在零時刻就被確定下來了 a在零時刻就被確定下來了 基於對未來的預期 最後這個r r波浪的確定 r波浪的實現 它最後變成某哪一個狀態下的r 這個是到期末才知道 在這個時間 我在做投資決策的時候 我只能夠基於對未來的期望效用來做決策 所以這個優化問題是發生在期初 零時刻 發生在期初 現在我們對這個東西 把直函數定下來之後 依據條件我就可以抄下來 foc 那就相當於說 foc就是v'a等於零 v'a star等於零 同時我們還可以算一個東西 我可以算這個 不行 還是把這個 v'a 就對一個直函數求兩階導數 求兩階導數的話 很簡單 我們就一階導數在這 一階導數在這 就直函數一階導數 所以對它再求一次導數 對a再求一次導數 就這個u'就變成u兩階導了 就是u兩階導 w0 e加rf 再加上a r波浪減去rf 然後求完這個東西之後 你還要對這個裏面的東西再求一次導 所以你會又求出一個a前面係數 r波浪減rf 但這已經有一個r波浪減rf 所以這個就變成 r波浪減去rf的平方 所以這是我們的這個希望 兩階導 這是兩階導 兩階都是等號 然後因為這個 所以這個r波浪減rf的平方肯定是個 肯定是個非負數 而這個兩階 效用函數的兩階導是負數 因為它風險厭惡 所以這個東西肯定小於零 這小於零什麼意思呢 就意味著說這個值函數的一階導數 是個減函數 所以v撇a是個減函數 所以推出 v撇a decreasing function 我就寫這了 從這推出來的 所以往下 claim or claim v撇a 哦錯了 a star大於零 我們現在要證的是第一個 a star大於零 a star要大於零 當且僅當 v撇零要大於零 這什麼意思 有這個值函數的一階導數在零的時候 因為a star是什麼 a star是使得v撇a star要等於零的 v撇a star是等於零的 然後我們又知道這個v撇這個a 它是一個減函數 也就是說這個a越大 我畫這 a越大這個東西越小 這個v撇a越小 a越大這個東西越小 所以如果在零點的時候 比方我們畫這個 在零點的時候 在這個va等於零的時候 我怎麼畫呢 畫成這樣 比方這是零點 這是零點 這是零 這是豎軸的零點 這是a 如果在零點的時候 這個函數值已經小於零了 已經小於零了 這個v撇a已經小於零了 那麼你要說 那如果a如果大於零 a如果要大於零的話 那就不可能使得值函數的這個值函數是等於零 甚至變成正的 因為a在v撇零的時候已經是小於零了 a的增大 a如果變成正數的話 v撇a肯定是越來越負的 越來越小的 所以這個一階條件就不可能成立 在a大於零的時候就不可能成立 所以你要使得這個一階條件 在a大於零的時候能成立 所以v撇零就必須要在零上面 給它留出空間來 所以這是a 這個v撇a 所以在零點的時候 v撇a就必須要大於零 這樣的話纔有可能會使得 最後這個點 這個點是a*) 纔有可能會使得a*)是個大於零的數 所以道理就在這裏 所以它要大於零 就必須v撇零要大於零 那v撇零是多少呢 我們把v撇零可以算出來 v撇零就把a等於零代進去 v撇零等於什麼呢 v撇零等於 v撇零等於e的 就這個地方 就在這個式子裏面 把a等於零代進去 就等於e的u一撇 w0 e加rf 然後後面這坨沒了 因為a等於零 再乘上一個r減去rf 這個v撇零 我們要求它必須要大於零 必須要大於零 然後這個東西 現在我們來看這個效應函數 這個效應函數一階道裏面這個東西 它是個常數了 w0是常數 rf是常數 就可以把它提到這個期望效應符號外面 期望效應符號外面來 就變成u'w0 e加rf 然後期望號裏面就只有這個東西 就是er波浪減去rf 要大於零 然後因為這個一階道永遠是大於零的 邊際效應永遠是正的 所以要這個東西 要v撇零大於零 就一定是這個東西大於零 這個er波浪減去rf 所以它就等於 它推出來 就必須要er波浪大於rf 這個就證到我們前面了 這個我只證了一個方向 另外一個方向就很簡單 所以這個結論就證出來了 所以這個結論告訴我們什麼呢 只要風險資產的期望回報率 比我們的無風險利率高那麼一點 就必然 不管高的一點是多麼少 就必然 所有的投資者 不管你風險業務程度是什麼樣 都必然會願意參與風險資產 這個背後確實是有道理的 這個道理我們就放到我們這個講義裏面 附錄裏面了 這個我們就不在正文裏面提出要求 因為那個會比較的複雜 但其實它背後的道理是這個東西 是阿羅·帕拉提·金斯 我把他的idea給大家講講 大家知道這個idea就行了 就對一個完全持有風險 無風險資產的人來說 對一個完全持有無風險資產的人來說 讓他增加持有一點風險資產 會對他的效用帶來兩方面的影響 在這個風險資產期望效用 期望回報大於無風險利率的時候 它會帶來兩個效應 第一個效應是會使得 是會使得它的這個 我們這樣寫 寫到這邊來 當從a等於零 變動到a大於零的時候 它會帶來兩種效應 第一種效應 會使得這個人的期望效用上升 為什麼呢 因為 因為這個資產 風險資產期望回報率大於無風險利率 這個東西它是和a成正比的 它是成正比於a 這個我們在這個講義裡面會證明 那另一方面 期望效應會下降 為什麼呢 因為你持有了風險資產之後 你所承擔的風險會下降 因為這個risk 因為風險存在 而這個因為風險的存在 而使得期望效應下降的幅度 與a的平方成正比 當然在a都比較小的時候 所以我們是可以近似得到 雖然我們知道 如果a很小的時候 如果a比較小的時候 a比a平方會大 這意味著什麼呢 意味著在風險很小的時候 當我參與風險資產的數量很小的時候 那麼我參與風險資產所帶來的 期望效用提升的幅度 永遠會dominate 因為風險的存在 而期望效應下降的幅度 因為風險是與我參與風險資產的數量的平方成正比 但是收益帶來的效應 是與我參與風險資產的數量成正比 所以在a很小的時候 當然a都是正的 a會比a平方還要更大 所以在微小風險的時候 風險所帶來的負面的效應 不會壓倒參與風險資產所帶來的收益提升的效應 所以這個道理就告訴我們 只要風險資產的期望回報率是高於風險利率的 所有人都會買風險資產 不管這個人的風險厭惡程度有多麼的高 因此 只要以後我們假設了風險資產的期望收益是大於風險利率的 你就可以假設 所有人都會持有風險資產 所以你不用去分析說 有沒有人佼點解 有些人他就不持有風險資產 他只持有無風險資產 不存在佼點解 所有人都會持有風險資產 無非是在風險資產與無風險資產之間 它怎麼做配比而已 這是我們要分析的第一個問題