不公開龍騰學測數A好好學複習講義L1例4

好那我們來看第七頁的好學範例第四題 那這個標題叫算幾不等式 這個通常會考在應用問題 算幾不等式是什麼呢 算幾不等式就是跟算就是算數 算數平均數就是幾何平均數 那如果有兩個數字那這兩個數字非負非負就是不是負啦 那所以就是零或是正的所以這是大於等於零的數字 A跟B都是大於等於零的那算他的算數平均數呢就是相加兩個相加 除以二那如果三個數字就是三個相加除以三四個數字就是四個數字相加除以四 那這也是兩個數字兩個相加除以二 這是算數平均數那另外一個叫幾何平均數幾何平均數的話呢 就是相乘兩個相乘的話就是開平方根 平方根那個二次歸邪那如果三個相乘就是三個乘起來開 三次方根 那這個根號這邊就會有個三了 那這也是兩個數字兩個數字相乘然後開平方根 那這個不等式就是跟這個算數平均數跟幾何平均數之間的大小有關係 結果會是算數平均數會大於等於幾何平均數 算平 算數平均數簡稱算平然後幾何平均數簡稱幾平 算平大於等於幾平那這個有可能會是大於有可能會是等於 那什麼時候會是等於呢等號 這個等號這裡的等號 這個等號什麼時候成立成立於什麼時候 成立於這個 剛剛相加的這兩個數字A跟B是相等的時候 例如說啦如果是 2加3除以2 這個是2分之5 那麼2乘以3開根號這是根號6 你要比那你可能用平方來比比較適合 4分之25 平方來比是6 4分之25是多少呢6.25 他就比他大了 所以左邊大於右邊 那如果是一樣的 例如說3加3除以2 另外一個是3乘以3開根號 那這個時候3加3是6嘛6除以2是3 3乘以3是9開根號也是3這時候這兩個就相等了 所以當你這兩個相加的那兩個數字是一樣的時候 A等於B的時候 他這個左邊的算數平均就會等於 就會等於幾何平均了 那如果不是A等於B的話呢 就是 你說2大於2比3小嘛所以 這兩個不一樣相加除以2 他就會大於相乘開根號 相加除以2算數平均大於等於相乘開根號 那這個當然也有別的技法 例如說如果我今天有一個半圓 然後呢我這個 某一個 這個半圓所以這是直徑 這直徑在 上面取一點 他到左邊端點長度叫做A 到右邊這個端點長度叫做B 那當你從這個點往上做垂直 那這個點呢因為他是個半圓 半圓就是直徑直徑如果你把它連起來 那就發現這個這個是 圓 的圓周角 半圓 所對的一個圓周角 那因為 半圓所對的圓周角是他的所對弧的一半 國中我們學過 所以他這個地方會是 垂直的 從這邊就可以看到說這個兩個角 相加90度 這兩個角相加90度 所以就變成這個角 這個角 那這樣就變成 還有這個 同理這個 叉叉這個角 加他就是這個加這個角叉叉也是90度 所以這個叉叉這個角會等於叉叉這個角 那這樣造成什麼呢這兩個三角形會相似 所以A比上 短的這一個 A比較長 短的這一個 會等於這個三角形右邊三角形就是 會比會等於這個 比上B 所以中間的這一個 這一段的長度呢就是 假設我叫他X好了 那麼A比上X 會等於X比上B 因為相似嘛 所以會乘比例 所以就會有這個A比X會等於X比B 然後呢這個X 平方 就會等於A乘B 所以這個X就是根號AB 所以這一段就會等於根號AB 也就是下面的這兩個 長度 這兩個線段的長度 相乘之後再開根號就是從這個點 畫上去 這一段 好這是 就是那個幾個平均數的 的長度啦 另外一個就是說因為這是半圓 所以這兩個 左右這兩個端點的終點 這個會是圓心 然後他的 那個半徑的長度就是A加V除以2 那如果我從這個點點到這個圓上的這個點 他也是一個半徑 所以這個這個的半徑的長度就是A加V除以2 二分之A加V 好那你從這個三角形 左邊的這個三角形 斜線這個三角形 左斜邊就是A加V除以2 垂直的這個股叫做A乘B開根號 那你是不是發現這個是比較大 這是比較小 所以A加V除以2確實是會大於 A乘B開根號 當你的A等於B的時候表示你這個 取得這個點會跑到圓心來 當你A等於B的時候取得那個點會在圓心來 那那個時候的 A加V除以2跟A乘B開根號會是同一個 就是畫給你看 當你取得 就是A 如果跟B一樣長 那你從這邊做垂直上去 這個會是圓心 這邊會垂直 好那這個地方也是一樣這個這個這個長度我剛剛講他就是 利用相似三角形得到這個是根號A乘B 那因為剛好他又是圓心 所以這個 垂直這個剛好就是半徑 半徑就是A加V除以2 所以當你A等於B的時候 當你A等於B的時候 那這個 垂直中間垂直上去這一段 既是半徑2分之A加V也是 垂直的 這個線段 根號A乘以B 這樣就得到這個算起不等式的結果 就是 2分之A加V 相加除以2 大約等於A乘B開根號 算數平均大約等於幾何平均 而且他什麼時候等號會等於呢 就是A等於B的時候上面這兩個數字相等的時候 那這個 就會等號了 那我們來看下面的 這個應用 好 那這個 好絕範例4 他的應用問題說大熊 他玩無人島生存遊戲 然後想要用 柵欄圍出 如右圖右邊這個圖 的一塊階梯形的 農地 要圍出來 那這個區域呢如果按照虛線 他可以分為 面積相等的 9塊長方形 那你在讀取的時候也是順便擺一些你覺得可能 可能會需要用到的資訊畫一下 那 但是大熊呢他卻只有總長度150 公分 的柵欄的材料可以用 外面出的這個 柵欄 總長度只有150 最多啦只能用到150 再多就沒有的 沒有的用 那請問 可以圍出 最大的面積 就是說 柵欄他圍成的部分呢 裡面這個 線部分裡面的 面積 最大 是多少 長方形 在講到 長方形 長方形就是 面積 就是長乘寬嘛 阿所以又是假設說 比如說每一個長方形的長叫做 Y然後寬叫做X 長是Y 寬是X 那你你就可以知道說他的 每一段的長度就是寬還是寬還是X 寬這個是X 這裡也是X 所有的寬 因為他的 面積相等的 九塊 長方形 其實應該講形狀相等比較好 然後長的都是Y 所以你最外圍的這個柵欄的部分就是這些的長度加起來 好X有幾個呢 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10 所以X有10個 好那Y呢就是 1.2.3.4.5.6.6個 Y就有6個 所以是 他的總長度就是10X加6Y 好那當然你要 圍出最大面積你當然是 整個線段整個整個長度都用嘛 所以最長就是說10X加6Y等於150 那面積呢面積就是 1塊2塊3塊4塊5塊6塊7塊8塊9塊 這九個長方形每一個面積都是XY 所以九個 這就是 要九個就是面積最大的面積就是 9XY要去求最大值 求他的最大值 那這時候就會遇到10X加6Y這兩個相加 這裡有9XY 就是未知數XY會相乘 這裡未知數XY會有相加或是係數 可能不是一樣的但是就是 XY 的一個組合 相加 這是XY相乘可能再乘上一個倍數 這時候我們就會想到我們的算級 算級公式在寫 算級公式 A加B除以何 會大於等於A乘B開分號 然後這裡的A跟B呢 都是非負的 而且等號成立的時候呢 他的那個A要等於B這是我們算級不等式的 公式的結果 那你現在看到這個 10X加6Y就很像是這個 A加B的 位置10X 加上6Y 這個10X就是剛剛的A 這6Y就很像剛剛的B 當你把這兩個相加除以2 他就會大於等於這個10X 去乘以6Y 然後開分號 那10X加6Y剛剛題目說是 剛剛我們知道是列式是150嘛 所以這個就會變成150 除以2 那就大於等於分號 這裡10X乘以6Y 這個數字可以先乘起來 60 然後XY 那你等一下目標是要9XY嘛 所以其實這個數字等一下要再做調整 那我們首先呢先把 這個跟號先 平方掉 平方完之後呢左邊這個可以先略分 這是75 這邊75的平方 就會大於等於 60 乘以XY 那我們等一下是9XY嘛我們先 先得到XY 所以 比如說我給他除以60 然後再反過來寫 XY本來是在右邊是大於等於 寫到左邊的時候變小於等於 那60分之 75的平方 這個可以略分啦略分完之後 就會是這個4分之375 好那我們目標是要9XY 所以你要把這個XY再乘以9 所以9XY就是我們要的 那就小於等於 4分之 375乘以9 就是乘一下是3 3 75 這個是我的面積的最大值 這是面積 最大值 所以答案就是這個4分之3375 好這是算幾不等式的 一個題目