高中數學_多項式(基礎觀念)_7.除法原理、餘式定理、因式定理統整_林玉惇張敬楷

大家好,我是熱愛數學的公主 哈囉,我是咕咕 咕咕,我想請問你一個問題喔 在高中啊 我們是不是其實有學到一個東西 就是我們要做除法 但其實我真的不需要去做除以這個動作 是,因為呢 我們如果可以利用一個乘法的一個概念 其實呢 可以去處理一些除法的問題 比方來講 我們可以利用除法原理這個東西 喔,除法原理 是 那除法原理呢 它其實是利用一個等式的概念去處理這個問題的 那這個問題呢 其實就是說 假設這裡有F of X和G of X 這兩個多項式 那我們今天要去做這兩個式子的一個除法的時候呢 如果我先對它做F of X除以G of X的時候呢 我今天可以求得唯一的一組商式Q of X 還有餘式R of X 那除法原理這個東西呢 其實呢 它就是一個等式 這個等式呢 是F of X等於G of X乘上Q of X 加上R of X 以中文來說明瞭 就是被除式 會等於除式乘以商式 再加上我們的餘式 喔 被除式等於商式乘上除式 再加餘式 沒有錯 就是我們的除法原理 是的 好 那這個除法原理可以用在什麼情況呢 我們今天可以來研究一下 就是 比如這個例子來說明 如果今天F of X除以X-2 那它的商式是X²加X加1 餘式為3的時候 那今天我們來求一個問題好了 這個問題呢 第一個就是說 如果F of X除以5X-10 那我們要去求它的商式還有餘式 對 那你有沒有發現 這裡的F of X 好像不曉得它是什麼 對 但是我發現一件事情啊 X-2跟5X-10 它們有一個倍數關係耶 沒有錯 對 所以我們可以利用這一點 再加上剛才我們學到的餘式定理 來解決這個問題 好 那我試試看喔 從剛剛的除法定理 我們知道 被除式等於除式乘上商式再加餘式 也就是說 F of X等於X-2 乘上X²加X加1 然後再加3 嗯沒有錯 這就是我們的F of X 好 那5X-10 X-2的地方 要把它變成5X-10 那所以後面我就乘以1五分之一 是 維持不變 所以 所以它現在的變成的是 F of X等於 括號5X-10 乘上五分之一 那再乘上我們後面的X²加X加1 最後再加上餘式叫做3 也就是說 5X-10 是我們的除式 是 除式乘上商式 所以 五分之一乘上括號X²加X加1 就是商式 是 然後餘式還是加3 是沒有錯 喔 那 是不是還有其他的例子呢 好 那我們今天再來研究另外一個問題 如果我們現在是把被除式呢 叫做X乘上F of X 我把它去除以X-2 那我想要求它的商式還有餘式 個別是多少 我想一下喔 X乘上F of X 被除式變了 對 可是我剛剛有一個等式 F of X等於什麼 所以 我可以把這個式子左右兩邊同乘X 嗯 是嗎 沒有錯 所以呢我們可以看一下 原本的式子叫做 F of X等於X-2乘上括號的X²加X加1 然後後面再加上餘式就是3 這是我們原本F of X的樣子 嗯 那如果現在我們的被除式 變成X乘上F of X的話 那就如同剛才公主講的啊 我們把左邊和右邊同時乘上X這個東西 對 所以後面會是什麼樣子呢 那於是就會是3X嗎 欸 於是是3X 我們來研究一下 現在我們的除式是X-2 那餘式叫做3X 感覺好像怪怪的耶 剛剛前面是不是有說到 那個餘式要能夠滿足 他的次方 他的次數要小於被除式 還是除式 欸公主我提醒你 他其實要小於那個除式這個東西 所以呢你現在看喔 他的現在除式是X-2 餘式是3X 他們都是一次 喔他們一樣高 似乎不太OK喔 喔所以我現在是不是還要再除 因為我沒有除完 是要把他再除乾淨一些些 喔好 那如果我再除的話 我就會得到3X-2再加6 是所以你會發現 那個3X 如果我們今天再把他除乾淨一點 再把他除以X-2的話呢 你今天會得到一個餘式叫做6 那這個6呢 是我們的這整個式子 最後的餘式的長相 喔所以我整理一下的話 那那個3啊 跟剛剛的那個X-2加X-1 跟那個X 我通通都可以把他整理成 其實是我們的商式 也就是說商式是X乘上了括號 X-2加X-1再加3 然後餘式是 6 接下來6 嗯沒有錯 我瞭解了 是不是還有一個 跟除法原理很像的 叫什麼餘式定理 是的 那餘式定理呢 就跟剛才我們的除法定理 這個東西 他其實是一種延續 就是有些時候有些問題呢 我們可能做除法 你會覺得非常的痛苦 可是其實我們今天 只要知道那個餘式是什麼就好了 所以我們可以利用 餘式定理這個東西 可以比較輕鬆的找到 我們的餘式是多少 喔要怎麼說 那我們來研究一下 假設我們今天用一個比較簡單的例子 如果今天有個時數多項式 F of X除以一次式 叫做AX-B的話呢 那我們來看一下 他假設我們的那個餘式的部分 呃這個地方餘式叫做 F of A分之B 那我們來研究一下 為什麼他的餘式叫做 F of A分之B呢 對真是太奇怪了 好那所以在這個說明之前 我們先稍微提一下 就是這個地方的除式的次數 如果是一次的時候 因為有時候那個被除式 他長得很可怕喔 所以你不需要真的去做那個除法的運算 只要幫X等於A分之B 帶進去F of X裡面 那今天他所得的值呢 就是F of A除以這個一次式 AX-B的餘式 那這個餘式呢 他其實是一個時數這樣子 那等一下我們來做個示範 這個示範呢 就是這個被除式長得很恐怖 對來以這為例 喔F of X等於3X平方減4X加2 括號的三次方減8 天啊我難道還要展開來嗎 喔我也不想啊 對 那所以我們今天可能沒有辦法 用一般的除法的方式去求出這個問題 就算求也花好多的力氣和時間喔 那要怎麼辦呢 所以我們利用剛才那個辦法 所以我們今天把這個F of X呢 這個東西呢 剛才我們的除法原理 就是被除式等於除式成商家餘式嘛 那像剛才我們的餘式定理呢 其實是把那個X呢 代那個三分之一 也就是剛才我們的A 是在這裡是3的位置 那這個B呢就是1的位置 所以呢X等於A分之B 也就是三分之一 代回去F of X等於3X平方減4X 加2的三次方減8 你一旦代回去之後呢 你就會發現這個東西會變成 1的三次方減8 也就是1減8會等於負7 這就是我們最後的餘式 喔也就是說我完全沒有除過耶 然後我只要代數字就對了 是的 那個A分之B是不是其實 你看嘛3X減1等於0 X就是三分之一耶 是所以你剛纔在做 被除式等於除式乘以商家餘式的時候 你如果說除式已經變成0 0乘上那個商字是不是通通都不見了 對 我就是3X減1等於0 我其實就是令除式等於0的意思 是的 所以最後呢 你的等式的右邊就只剩下那個餘式的存在囉 那你的左邊就會是我們剛才代進去那個結果 哇 那如果我的餘式代進去 剛剛好等於0呢 喔如果餘式剛好等於0的話 那整個式子就會變成 被除式等於除式乘以商 就變成這個樣子了 那如果我們以前有學過啊 就是如果一個式子可以寫成 兩個式子乘在一起的時候 那兩個式子其實都會是我們剛才那個 被除式整個的音式 喔 所以就是音式定理 是的 這裡就是我們所講到的音式定理 這裡可以用在於說 如果我要去找一個多項式的音式是什麼的時候 音式定理就會很好用喔 那我來整理一下音式定理 音式定理就是我剛開始提的嘛 多項式F of X除以一個G of X 餘式是0的時候 就會只剩下一個多項式Q of X滿足 F of X等於G of X乘上Q of X 是 那這裡我們可以就說啊 這F of X可以被這個Q of X整除 因為你現在看到它沒有餘式嘛 那我們今天呢 你會發現剛才我說的F of X 可以寫成這兩個多項式乘在一起 那我們可以稱呼這個G of X 就是F of X的音式 或者反過來講 我們也可以說F of X 會是G of X的被式 喔 所以這就是音式定理的由來 是 喔 我們來舉例試試看 好 假設X加2與X加4 都是X加3括號的八次方 再加AX加B的音式 然後我要怎麼知道A跟B的值呢 喔 那現在呢 你會發現我們這個 好常好常這個式子 有一些未知數就是小A和小B 但是它會給我一個線索 就是X加2和X加4都是它的音式 對 嘿 那剛才我們說如果今天呢 假設我們剛才令那個除式為0的時候 欸 它的那個帶回去之後 假設你可以讓它的餘式 找到也是等於0的時候 欸 那我就可以去說 這個東西是它的音式了 喔 所以我令X加2等於0 然後 X等於-2 把它帶進去 應該會得到它的餘式 是的 是0 因為它是音式 沒錯 喔 所以就是F of-2 帶進去會得到 1的八次方 減掉2A再加B等於0 那-4帶進去呢 會得到-1的八次方 減掉4A加B等於0 是的 喔 那我就只要減 二元一次連立方程式啊 2A減B等於1 4A減B等於1 我就可以解出 A等於0 B等於-1 是 那也就是當A等於0 B等於-1的 放回去原本的式子裡面的時候 它就會滿足剛才我們說的 X加2和X加4呢 都會是這個式子的音式 哇喔 所以我們今天學了三個東西 除法原理 虞式定理 跟音式定理 是的 喔 好 那我繼續再多算幾題 熟悉一下它們 好 公主加油 我們大家也一起加油吧 掰掰