動力學_林柏廷_剛體平面運動學(1)_繞固定軸旋轉(3)

各位同學好,這個單元呢,我們要針對 鋼體平面運動學繞著固定軸旋轉部分呢,進行更進一步的探討。 那在這個單元內呢,我們也會用一個簡單的範例 讓各位瞭解我們在一些計算上, 怎麼利用我們推演的公式來做分析。 那我們先稍微針對這些鋼體相互之間的一些關係呢,再做一些探討。 那在這邊呢,我們可以看到有兩個齒輪呢,如果有兩個接點, 一個是A點跟A'點,接觸在一起。 那A點呢,是繞著深藍色的齒輪,左邊的齒輪在旋轉。 而A'點呢,是繞著一個淺藍色的齒輪在旋轉。 也就是右邊的齒輪,所以它們的旋轉中心是不同的。 雖然說這兩個點呢,它的切線速度呢,會是同方向, 同樣的大小,但是呢,它的旋轉中心有可能是會不同。 所以這些物理關係呢,各位同學一定要好好地掌握,不要搞混了。 那其中呢,由於這個它們是繞著不同的旋轉中心, 也因此這個A點跟A'點,它的加速度方向是不同的。 只有切線方向的加速度相等,但是呢,它的向心的髮線加速度呢, 則是朝著各自的中心的方向。 所以因此呢,A點跟A'點的加速度相量是不同的。 各位同學呢,就要好好地掌握這個部分。 緊接著我們來詳細地探討一下, 在鋼體運動學繞著固定軸旋轉部分,一些解題的步驟。 那第一個最重要的當然就是,我們要將這個旋轉的旋轉軸, 先把它釐清,還有它的正方向也要搞清楚。 然後利用我們的右手定則呢,去定義每一個物理量的方向。 緊接著呢,我們在這個旋轉軸, 繞著它呢,我們就有各個物理量產生。 第一個,我們的時間,還有我們的角度會變化, 我們的角加速度ω,角速度ω,以及角加速度α,都會變化。 那它們的關係式呢,就是我們之前所介紹的, ω等於θ對時間的微分,α則是ω對時間的微分。 如果我們不想要有時間的分析, 我們也可以利用α抵θ等於ω抵ω之間的關係, 可以直接計算角速度,角加速度,以及角度之間的關係。 如果呢,我們對特定時間的角速度, 角度呢,有關,想要了解的話呢,我們則需要利用積分。 積分的結果呢,得到下列的幾條式子。 那再跟各位複習一下,任意時間t的角速度ω呢, 就會等於時間0的ω加上αc乘上時間t。 任意時間的角度則等於時間0的角度θ0。 加上ω0乘上t,再加上1 2倍的等加速度αc乘上t平方。 那如果呢,我將這兩個式子整合,我就可以得到 ωθ兩者之間的一個函數關係。 這對於我們的計算,有時候也是很有幫助的。 那另外呢,如果對於一個物體, 它繞著軸旋轉的加速度呢,有興趣, 那我們要特別注意了,它就會分成所謂的切線加速度以及 髮線加速度的兩個部分。 那切線加速度呢,是αr, 髮線加速度則是負的ωr平方r, 是朝著這個r的負方向,也就是向著中心的方向。 如果我們的這個物理的這個分析, 它是比較複雜,幾何空間的這個關係是比較複雜的, 那我們時常呢,會需要利用向量分析方式, 那我們要確實的掌握,我們的切線速度就是我的 繞著中心的角速度ω向量, 去cross我的分析的rp。 那rp呢,是這個 旋轉軸任意點到P點的這個距離向量, 而r是在這個平面運動上的中心點O到P點的向量。 那至於切線向量at呢, 則可用αcrossrp來計算, 或者是直接αcrossr。 那至於an的部分,我們就可以利用ωcross括號 ωcrossrp,那它的方向就是負r方向, 大小則是負ω平r。 緊接著,我們直接來看一個範例。 在這個圖中呢,我們有一個轉輪, 有個繩索繞著這個轉輪, 我們在這個繩索呢,施加一個f的力量, 導致這個轉輪旋轉。 那我們在初始的時候呢,我們角度設置為0, 為靜止,也就是說我們的初始速度 皆為0。那當這個物體施加一個力量的時候, 我們知道力量跟我們的加速度是呈一個 線性關係,f等於ma嘛。 所以呢,我們產生了這樣的加速度以後, 我們這個題目讓我們得知,原來這個a 它跟時間有一個關係,a等於4t。 那在這樣子的關係下,我們來看看 我們可不可以計算出這個轉輪它的角速度ω, 以及呢,它的這個隨著時間角度的 變化關係,也就是θ跟t的函數關係。 那我們來先做第一部分,如何計算 這個ω。那我們可以看到呢,我們的這個 切線方向的加速度呢,其實 就是我們題目所給予的這個4t。 因為我們的加速度可以分割成 切線以及髮線方向兩個分量, 那題目已經告訴我們了,我們的a等於4t, 就是我們切線方向的加速度,所以我們的 AP切線t就會等於4t。 接下來呢,我們將我們的這個 切線的a等於αr的關係建立起來, 我們會得到,原來4t它就等於α乘以 我們的半徑0.2,那從這個關係呢,我們就可以推演出 原來我們的α就是20t。 那有了α呢,我只要再 將其做一些這個後續的分析,然後利用積分, 我就可以得到ω。透過我們的積分關係呢, 我們可以得知,我們的 等式的左邊呢,可以得到我們ω,就是從 0積到ω,因為時間0的時候,我們的 角速度是0,那到時間t,我們的角速度就是ω。 那等式的右邊呢,我們有著20t的積分, 那從時間0積到t以後呢,我們會 得到10t平方。所以從這個式子,這個結果呢, 我們可以發現,如果我們把時間代到ω等於 10t平方的式子,我就可以知道任意 時間t它的角速度,單位則是每秒 多少進度。緊接著我們來看 b部分。b部分呢,我們透過ω等於 底θ除以底t的關係,將其進行積分。 那我們就可以得到,等式的左邊呢, θ呢,我們從初始角度0積到角度 θ。等號的右邊呢,透過我們的10t 平方再進行積分以後,我們會得到 3.33t的三次方,時間從0積到t。 也因此我們知道,原來呢,這個θ 隨著時間有一個三次方的關係,將任意 時間代進這個式子,我就可以得到 θ是3.33t三次方的進度。這樣我們就完成了 在鋼體平面運動學繞著固定軸 旋轉部分的介紹,我們今天也介紹了一個 例題,各位同學呢,可以自己嘗試做一些 計算,那我們也可以參考一些 教科書等等,多做一些例題,希望各位 都可以順利地解決這些難題,好,我們再見