第四章 向量與二維運動 Motion In Two Dimensions (1/5)

Chapter 4 Motion in 2Dimension Part 1 Outline Section 1 Vectors 有關向量 二維向量 Section 2 Position, Velocity and Acceleration 所以是二維運動的位置向量 速度向量跟加速度向量 Section 3 2Dimensional Motion with Constant Acceleration 向量空間 二維向量空間 我們之前已經介紹過 一維向量空間就是豎線 然後給它一個方向 那二維其實就怎樣 就是我們學會互相垂直的概念 利用垂直然後來讓兩個維度互相無關 互相不受影響 所以其實就擺兩個豎線 擺兩個豎線你就可以 變成兩個維度 那你如果擺三個豎線 第三個豎線再怎樣 再垂直於這兩個豎線的話 那其實就是XYZ 那就變成三度空間 所以你看到 左邊我們有特地寫一個位置向量 那像你看到它的這個特色就是什麼 譬如說R1向量 R1向量它是怎樣 它是等於6I再加上6J 所以它就是在X等於6 然後Y等於6這個位置上 有一個點 那基本上你可以寫成R1向量 可以寫成一個R1向量這樣的一個寫法 那R2向量的話 它是在X等於4Y等於2 那我們從前有一種寫法 是用括號寫法42 那實際上就X等於4Y等於2的位置上 有一個點 那另外一個寫法就是寫什麼 寫成4倍的I加2倍的J 而且我剛剛講的就是兩條豎線 一條是X時速的豎線 另外一條是Y的時速豎線 然後兩個互相垂直放在一起 就構成一個二維空間 好那有了這個二維向量的概念 甚至三維向量的概念之後 我想這個大家都知道 就是說你總是要做一個 向量的一個加法減法 那甚至後面當然會有什麼 就乘法乘法就是分為內積跟外積 就分為這些向量的運算 好我們現在來看一下加法 如果在做兩個向量加法運算 其實就是你把它的 譬如說A向量跟B向量 你把它的起始位置放在一起 然後利用一個平行四邊形 然後你可以找到這個C向量 就等於A向量加B向量 那另外一個做法當然就是頭接尾 你也可以把我們畫到右邊 你可以把A向量 假設A向量是這樣 然後另外原本的B向量是這個位置 那你把它移動 我們知道向量是可以移動 我把它移到這個位置來 移過來 頭接尾頭接尾 從一開始的起始位置 到後來的箭頭位置 這個就是一樣 就是相加後的C向量 兩個向量相加 那另外如果是相減的話 譬如說右邊這個圖 我們說A向量就是一個OA向量 然後B向量是一個OB向量 如果相減的話就變成 OA減掉OB 那實際上就是變成 從這個B指向A 這個你可以把它的位置寫出來 譬如這個是原點 假設原點是O點 所以這個A向量減到B向量之後 就從B指到A的這個向量 所以其實應該是BA向量 所以你看到這裡有一個 加減運算 然後還有一個符號 譬如說到底從哪個位置向哪個位置 那實際上就有這個向量定義 向量定義一般有這個 這個直接定義法 譬如說你如果 從這個一點O到另外一點A 然後你是一個向量 O到另外一點A 然後你寫OA向量 一般數學向量定義法 它是這樣寫 剛好跟你的圖形是完全吻合的 那OA減掉OB的話 所謂減就是這樣 就加上一個符號 所以你的減這個運算 你可以把它反過來變成 減OB變成 變成是加BO 變成加BO向量 那另外這個 這其實就是一種index 的這個運算 就是說如果BO中間 BO跟OA中間有相同的O 你兩個O會結合起來變成BA向量 這個就剛好就是我們剛提到的 就是兩個向量相減 所得到的BA向量 那這是一種直觀的寫法 就是從哪一個位置到哪一個位置 所以我們剛剛也畫出來 B位置在這裡 A位置在這裡 所以它剛好就是從B到A 那另外一種物理的寫法 它是站在哪裡看 所以物理寫法是怎麼樣 它是R向量AO 是站在O點看A 往A的位置看 原本的數學OA向量 變成RAO 然後減掉RBO 那這個是另外一種 另外一種符號寫法 但是它的運算上 其實是很類似 譬如說你可以把R向量BO 如果是一個負號 可以變成是 R向量 倒過來看 在B看O 就變成這個 站在B位置 往O看 所以INDEX寫法 一樣 這時候RAO-RBO 寫到左邊 最後把它翻過來 變成是RAO加上ROB 然後這時候它兩個中間都有O 一樣可以消失掉 變成RAB 那RAB是站在B點往A看 所以你就站在B 站在B這個位置 往A看 物理向量的一個寫法 再來 向量其實它就是一個二維空間 或三維空間 再來它有一個集合的概念 那我們這邊沒有詳細介紹 數學集合的 完整的模型 但是我們簡單的看一下 它這個向量空間 它有哪些特性 譬如說在二維或一維 二維三維都一樣 第一個會有所謂的零向量 那這零向量在我們現在二維空間 零向量就等於零倍的I 再加上零倍的J 那另外在這個二維空間裡面 你可能會遇到什麼 要檢測這兩個是不是一樣 所以它一定會有相等的特性 如果A向量跟B向量 如果它兩個是一樣 怎樣叫一樣 它就是長度一樣 然後方向一樣 所以可以定義出相同 那再來就譬如說 A向量也在二維空間裡面 那它定義一個加法的運算 那加完之後 這個A向量跟B向量 也還是一樣在二維空間裡面 譬如說我們剛剛所學到 如果A向量是這個向量 B向量是另外一個向量 然後你可以用平行四邊形法 可以找到最後的 向加的向量 A向量加B向量 那很明顯你會看到它剛好也是在這空間裡面 那再來呢 它會遇到就是說 向量空間會有一個集合出來 然後你要跟另外一個時數線 做一個互相的作用 或者互相的運算 譬如說 另外有一個時數線 然後現在我們一樣有這個二維向量空間 那時數線上面就會有 從富無窮大到正無窮大的 所有的可能的時數 那其中如果 這個時數線裡面有個C 乘上這個向量 那就把原本的向量 在同一個方向上把它放大幾倍 或者縮小幾倍 就看這個C大E或小E 那另外呢 它的時數上面有一個0 0乘上A向也會得到0向 所以這個是時數空間跟 向量空間之間的互相的運算 那此外會有什麼 會有反方向 藉由這個時數空間裡面 一個負一相乘的運算 會把向量從原本的方向 把它反方向 然後大小不變方向相反 那另外也會定義什麼 定義減法 就是定義一個加一個反方向 所以我們剛剛已經學會 反方向的這個運算 那這時候你就 已經知道這個B向量 你把它反過來然後最後再做疊加 譬如說原本有一個A向量 是我畫的這樣 然後B向量 原本假設是這個方向 那現在變成說 要減B向量 要把B向量反過來 那反過來之後再怎樣 再把它做疊加 所以下一步疊加就是 A向量跟B向量兩個畫在一起 跟負B向量 然後再來你就畫一個平行四邊形 然後去找到 相加的結果 所以已經定義好加法的運算 你當然就可以 藉由反向跟加法的運算 去算出這個 減法的運算 那其他還有什麼 還有所謂的associative distributive commutative 那這個有蠻多運算 譬如說純粹的向量疊加 A向量 加上B向量 加上C向量 那你可以後面先加 或前面先加 實際上是一樣 這些概念就是 associative 那distributive你也可能是 譬如說有一個數字C 乘上兩個向量 那這時候 它的運算上會怎樣 你可以分別是各個向量乘上 這個數字 C乘以A加上C乘以B 然後commutative 加法或者是 一些運算可能可以互換 剛好變成B加A 等等的 那在集合裡面有嚴格定義 當然我們沒有詳細去看 那個數學 完整的數學 那另外就是說真正的在運用上 我們會把這二維向量 利用component 利用它的分量來處理 為什麼呢 用分量然後互相垂直來處理的話 我們就可以當作一維的 這個空間來計算 譬如說我們現在的二維空間 A向量就有分為AX 在X方向的分量 AY在Y方向的分量 那你可以用呱胡的寫法 這是早期的座標寫法 然後你也可以用向量寫法 AX乘上I方向 AY乘上J方向 那這個I跟J其實就是什麼 就是所謂單位向量 前面有大概提到過 那單位向量其實它就是什麼 就是它的長度等於一個單位長 那另外你也 我們之前學過那個 畢達哥拉斯 就是質量函養型的一些 運算一些定理 所以這時候你也可以講 你也可以從它的分量知道 因為它就是一個 質量函養型你可以去講 去算出它的這個 它的這個大小 譬如說A向量我們已經知道 然後它有一個AX 這不用畫 不用畫箭頭 還有一個是AY 然後再來它的斜邊長 我們就可以用質量函養型的 運算它的斜邊長就是它的長度 所以我們之前在講 如果是一維的話它的長度就直接取 絕對值 那如果是二維或三維其實它就是 算質量函養型的斜邊的概念 所以這邊的斜邊就等於 等於根號AX平方 再加上AY平方 都非常簡單 然後最後就是Univector 就是前面我們有提到過 Univector它的長度是1 所以如果你要把A向量換成 A的單位向量就要怎樣 除以它的長度 除完以後它就是單位向量 長度為1的就叫做單位向量