Unlocking Vector Calculus: Gradient, Divergence, and Curl Explained!

Apakah Anda pernah mendengar tentang tindakan yang menjijikkan di jauh? Anda mungkin telah berpikir bahwa kata-kata tersebut berkaitan dengan entanggelment kuantum, tetapi sebenarnya ada fenomena yang lebih konkrit yang berdiri lebih dekat dengan kita. Pertimbangkan udara rendah dan tinggi, misalnya. Matahari menarik air laut ke atas dengan gravitasnya, sehingga menyebabkan permukaan air laut naik dan jatuh. Ini adalah contoh yang sempurna untuk konsep fisik yang disebut force field, di mana objek mengakses objek lain tanpa menghubungkannya secara langsung. Force field adalah konsep fisik dan matematik yang disebut vector field. Mekanik dalaman dari sebarang vector field tersembunyi dari pandangan mata. Pahamkannya membutuhkan pengetahuan kuat tentang kalkulus vektor, terutama operator gradient, divergence, dan curl. Dalam video ini, kami akan meneliti konsep dasar tentang operator-operator tersebut dengan bantuan visualisasi dan kondisi di mana mereka diperlukan. Perjalanan ini memulai dengan derivatif partial. Pertimbangkan fungsi satu dimensi yang dapat berbeda langsung. Karena hanya memiliki satu variabel bebas X, hanya ada satu skim diferentiasi, yaitu dengan menghormati X. Jika derivatif pertama terletak di atas plot fungsi, derivatif pertama memberitahu kita dengan cara yang sangat jelas bahwa ia mewakili rata perubahan fungsi. Apa yang terjadi pada derivatif jika fungsi tidak hanya memiliki satu variabel bebas, tetapi dua, tiga, atau lebih. Dalam keadaan dua variabel, diferentiasi dilanjutkan oleh derivatif partial. Derivatif partial datang dari mengambil derivatif F berhubungan dengan setiap variabel secara berasingan. Derivatif total datang dari tambahan dari komponen X dan komponen Y. Malangnya, mengembangkan derivatif total cukup susah, karena tidak ada bentuk jelas untuk dibuat. Inilah di mana derivatif direksional, atau operator gradient datang untuk diselamatkan. Operator gradient berhadapan dengan komponen X dan komponen Y secara berbeda. Daripada menempatkan DX dan DY di belakang diferentiasi partial, ia menempatkan unit vektor X dan Y sebelum setiap diferentiasi partial. Mari kita ambil alam, misalnya, yang diperkenalkan oleh tingkatan Z sebagai fungsi X dan Y. Apabila dikaitkan dengan fungsi, akhirnya mengembangkan sesuatu yang bisa diteruskan. Field vektor. Komponen X datang dari diferentiasi partial berhubungan dengan X, dan komponen Y dari diferentiasi partial berhubungan dengan Y. Field vektor ini dapat diatasi di atas mapa contour fungsi. Di mana pun nilai X dan Y, derivatif direksional akan memberitahu kita ke mana perginya. Arus ini, berbeda-beda dengan garis contour, sebenarnya menunjukkan ke arah peningkat tertinggi di mana pun titik koordinat X dan Y. Di titik ini, kita harus belajar definisi field vektor dan scalar. Dalam bahasa sederhana, field vektor menetapkan sebuah vektor ke setiap titik koordinat di luar angka. Ambil field elektrik sebagai contoh. Untuk setiap titik di luar angka, ada arus yang menunjukkan arah peningkat di mana field elektrik menunjukkan dan berapa panjang arusnya. Lengkapan arus merupakan magnitud field elektrik, yang dikendalikan oleh Koulomb's law. Contoh lain dari field vektor adalah field gravitasional. Matahari menunjukkan tekanan pada setiap planet menurut Newton's law. Gravitasional adalah field yang menarik, bukan yang repulsif. Jadi, planet dipulih ke arah matahari dalam orbit mereka. Field skalar menetapkan nilai skalar pada setiap titik koordinat di luar angka. Contohnya adalah field potensial elektrik. Daripada menggunakan vektor, ia menggunakan skalar untuk menerangkan field elektrik di kawasan luar angka di sekitar arus elektrik. Dalam contoh sebelumnya, permukaan adalah field skalar, sedangkan gradientnya adalah field vektor yang berkaitan dengan field skalar. Operator gradient untuk ruang 3D memiliki term ekstra yang menghitung derivatif partial berhubungan dengan X-axis. Ambil field elektrik positif point charge sebagai contoh. Field elektriknya menunjuk ke luar, sedangkan potensi elektrik menjadi lebih kuat saat kita lebih dekat dengan charge. Field elektrik adalah field vektor, sedangkan potensi elektrik adalah field skalar. Dan kita bisa mengumpulkan field elektrik dengan mengambil gradient negatif dari potensi elektrik. Sekarang kita memiliki field vektor, kita bisa bertanya, secara lokal, apakah field ini berfungsi seperti sumber, sink, atau hanya melewati tanpa berkumpul di mana-mana. Pertanyaan ini adalah benar-benar apa yang dimaklumkan divergen. Operator divergen bekerja berbeda dengan operator gradient. Ia tidak bekerja pada field skalar, tetapi pada field vektor dengan cara produk itu. Perbedaan partial terhadap X hanya bekerja pada komponen X dari vektor, dan juga perbedaan partial terhadap Y dan Z. Ia melepaskan field skalar untuk kawasan di mana field vektor tersebut terdiri. Bayangkan jenis field vektor yang berbeda. Bukan field elektrik atau gravitasional, bayangkan field kecepatan fluid. Pada setiap titik, jarum kecil menunjukkan kecepatan fluid. Kemudian pilih kotak kecil di sekitar titik. Jika lebih banyak vektor meninggalkan kotak dan masuk, titik berkelakuan seperti sumber dengan divergen positif. Jika lebih banyak vektor masuk dan meninggalkan, titik berkelakuan seperti sink dengan divergen negatif. Jika inflow menjadi outflow, tidak ada akumulasi net, divergen adalah 0. Contoh sebelumnya dapat diterjemahkan dengan mudah untuk field elektrik statis. Akumulasi positif berfungsi sebagai sumber dengan divergen positif dari mana jaringan field dilahirkan. Dalam kontras, akumulasi negatif berfungsi sebagai sumber dengan divergen negatif ke mana jaringan field mati. Dalam ruang kosong tanpa akumulasi, divergen dari field elektrik adalah 0, konsisten dengan tidak ada sumber atau sink di sana. Setelah bekerja dengan field elektrik, saya ingin memperkenalkan field baru, yaitu field magnetik. Untuk saat ini, pertimbangkan jaringan dengan akumulasi berfungsi. Melihat jaringan field, menjadi kelihatan bahwa tidak ada inflow atau outflow di mana-mana kawasan ruang. Oleh itu, dalam kontras dengan field elektrik, divergen dari field magnetik statis adalah 0. Sampai saat ini, kami telah menjelajahi operator gradient yang menunjukkan perubahan yang terendah dan operator divergen yang mematuhi apakah field faktor berfungsi seperti sumber atau sink. Ada satu kegiatan kunci lagi. Apakah field memiliki tendensi untuk berpindah? Ini adalah apa yang diatasi oleh operator curl. Operator curl berfungsi pada field faktor dengan cara yang sangat berbeda. Dan mungkin, ini adalah yang paling kompleks. Kita harus menghasilkan determinan dari matriks 3x3, dengan baris pertama yang memiliki faktor unit, baris kedua, operator divergen partial, dan baris ketiga, fungsi field. Untuk menurunkan kompleksitas dan membuat contoh lebih memahami, kami akan berpindah ke kondisi berbeda dimensi. Pertimbangkan turbine yang terdampar dalam perusahaan air. Perusahaan air akan berpengaruh pada pergerakan kuda. Jika kuda mulai berpindah, curl di kawasan di tengah turbine tidak adalah 0. Menurut peraturan kanan, vektor kecepatan anggular diarahkan ke bawah, menunjukkan pindahan jamur. Direksi curl adalah akses rotasional turbine, sedangkan jangkauan menunjukkan seberapa cepat kuda berpindah. Berbanding dengan operator divergen, operator curl mempercepat field vektor ketika diberikan field vektor. Sekarang mari kita menjelaskan konsep yang telah saya sebutkan sebelumnya ke field elektrik dan magnetik. Jelas, kita tidak dapat membuat field elektrik atau magnetik untuk mengarahkan rotasi, tetapi kita bisa melihat apakah field memiliki komponen rotasional atau tidak. Untuk field elektrik statis, curlnya adalah 0, tetapi divergennya tidak adalah 0. Contohnya, untuk field magnetik statis, curlnya tidak adalah 0, sedangkan divergennya adalah 0. Jika Anda ingin lebih banyak konten seperti ini, jangan lupa untuk berlangganan kami agar Anda tidak ketinggalan konten selanjutnya. Apa yang Anda pikir saya harus bicarakan selanjutnya? Beritahu saya di kolom komentar. Terima kasih dan sampai jumpa lain kali.