這是最古老的數學題 #科普 #知識

我的天哪！ 有個數字，數學家們研究了整整兩千年 結果發現它可能根本就不存在 到底啥叫完美數？ 就是把一個數所有的因子加起來 恰好等於它自己 比如6 1加2加3 剛好等於6 不多不少 完美的讓人起雞皮疙瘩 但問題來了 人類找到的所有完美數 清一色全是偶數 沒有一個奇數 於是有人問了一句 奇數里面有沒有完美數？ 這一問問了2000年，沒有人能回答 不是因爲太難，是因爲你去找，根本找不到 但你又沒辦法證明它不存在 數學家用計算機把10的2200次方個數字全翻了個遍 一個都沒有，但他們還是不敢說它不存在 你可能覺得這就是個數字遊戲 但你知道嗎？歐幾里得，笛卡爾，歐拉 這些頂級天才一個接一個衝進這個問題 全部鎩羽而歸 那這東西到底有什麼魔力？ 先把完美數講清楚 6的因子除了自身有 1 2 3 加起來等於6，完美 28的因子有 1 2 4 7 14 加起來等於28，也完美 100以內只有這兩個 1萬以內也只多出496和8128 一共4個 古希臘人找了1000多年 就這4個 但離譜的是 把這4個數換算成二進制 6是110 28是11100 496是111110000 全是一串1 後面跟着一串0 像是宇宙刻意寫下的代碼 公元前300年 歐幾里得找到了生成完美數的規律 從一開始累加2的冪 只要結果是素數 就把這個結果乘以最後一個2的冪 得到的就是完美數 1加2等於3是素數 3乘以2等於6 出來了 1加2加4等於7是素數 7乘以4等於28 又出來了 完美數和素數就這樣被綁在了一起 但歐幾里得只證明了 這個公式能生成完美數 沒有證明這是唯一的方法 也就是說，奇數完美數會不會存在 他答不出來 這個漏洞成了此後2000年 最讓數學家抓狂的問題 17世紀 法國博學家梅森專門研究 2的P次方-1這類數字 試圖用它批量生產完美數 列出了一張素數預測表 笛卡爾也捲進來了 他寫信說 相信偶數完美數只有歐幾里得那一種 並且猜測 如果奇數完美數存在 結構上必須是某個素數乘以另一個數的平方 這是個了不起的猜想 但他同樣證明不了 只能嘆氣說 無論用什麼方法找這東西都要花很長時間 300多年過去 這句話還是成立的 真正改變局面的人是歐拉 1729年 20歲的歐拉被引入數論 一紮進去就是40年 他發明了西格馬函數 專門分析因子之和的結構 憑藉這個工具 他完成了笛卡爾沒能完成的證明 所有偶數完全數 全部符合歐幾里得的公式 一個不漏 這是橫跨1600年的數學接力 然後他把目光對準奇數完全數 推導出一個結論 如果它存在 結構上只能有一個素數 對應奇數次冪 其餘全是偶數次冪 條件極其苛刻 但即便如此 歐拉也只能嘆息寫下 是否存在奇數完全數 是一個極其難以回答的問題 史上最多產的數學天才 在這裏低下了頭 1903年 美國數學學會一場演講上 發生了名場面 數學家科爾走上臺 一句話沒說 在黑板左邊寫下 2的67次方減1那個大數 走到右邊 把它拆成兩個數相乘 兩邊完全相等 然後坐下 全場掌聲雷動 他花了整整三年的週日 手算出來的 今天的計算機 不到一秒就能解決 1952年 計算機正式接管這場接力 羅賓遜寫程序跑在SWAC上 10個月內連找5個梅森素數 1996年 沃爾特曼發起了 GIMPS互聯網梅森素數大搜索 全球任何人都可以 貢獻自己的電腦參與進來 2017年 一個普通教會執事約翰·佩斯 用家裏的電腦 找到了第50個梅森素數 這個數長達2300萬位 日本出版社把它印成了一本 719頁的書 上架4天 售罄， 登上亞馬遜暢銷榜第一名 一本只有一個數字的書賣爆了 但所有這些興奮 都是圍繞偶數完全數的， 奇數完全數依然沒有影子 1991年， 研究者證明 它如果存在，至少大於10的300次冪， 後來被推高到10的1500次冪 最新進展到了10的2200次冪， 可觀測宇宙所有原子 大約是10的80次冪 我們在找的這個數 比整個宇宙的原子數 還大無數個數量級 數學家也在用條件網絡逼近答案， 不斷給奇數完全數增加限制條件， 至少要有10個不同的素因子， 要大於10的3000次冪 滿足一大堆苛刻的結構要求， 希望總有一天這些條件互相矛盾， 從而證明它根本不存在 但到今天，那個致命矛盾還沒出現， 那它到底存在不存在？ 數學家波莫朗斯給出過一個估算， 從素數的分佈規律推算 奇數完全數存在的概率低到接近於0， 但這不是證明 更尷尬的是， 同樣的邏輯放在偶數完全數上， 也預測不應該有無窮多個 而數學家普遍相信它有無窮多個， 所以這套邏輯本身也是個懸案， 誰都說不清楚 2000年了， 這道題還沒有答案 很多人會問 找一個可能根本不存在的數字有什麼意義？ 但數論這門學問 整整2000年沒有實際用途 就是一群人出於純粹好奇在玩 直到20世紀 人類突然發現 所有的網絡加密 金融安全 軍事通信 全都建立在這個沒用的數論基礎上 你今天發的每一條消息 背後都在用素數保護着你 沒人知道奇數完全數這道題最終會通向哪裏 也許是死衚衕 也許是一扇沒人見過的門 但唯一確定的是 不去找永遠不會有答案 把小球從A點滑到B點 哪條路線用時最少 直覺告訴你是直線 但直線恰恰是最慢的 這道題難倒了全球所有頂尖數學家 整整六個月沒有一個人交出答案 唯一解出來的那個人 把答案匿名寄走 不敢署名 因爲他怕被認出來 這個問題最早來自伽利略 1638年 他在做實驗時 發現了一件怪事 把兩個小球 同時從同一高度釋放 一個走直線 一個走弧線 最先到達終點的 永遠是走弧線的那個 這不合常理 兩點之間直線最短 爲什麼弧線反而更快 伽利略猜答案是圓弧 但他猜錯了 他窮盡一生 都沒能解開這個問題 帶着遺憾去世了 這一等就等了54年 1696年 瑞士數學家約翰·伯努利 向全世界發出一封公開挑戰信 宣佈了這道題 並給出六個月的答題期限 伯努利自己當然已經有了答案 他發起挑戰 真正的目標只有一個人 就是當時已經封神的艾薩克·牛頓 彼時牛頓年過五旬 早已離開學術界 在皇家造幣廠當廠長 管的是鑄幣 不是數學 但挑戰書送到他手裏的那天晚上 他沒有睡覺 他把自己關進書房 從深夜一直熬到凌晨4點 獨自一人用自己發明的微積分 把這道讓全球數學家沉默6個月的題 硬生生算了出來 然後他把答案匿名寄走了 彼時牛頓已是皇家學會會長 是整個歐洲科學界地位最高的人 公開下場參加別人出的題 在他看來是一種失格 所以他隱去了名字 但伯努利拆開信封看了一眼 沉默片刻說了一句話 就算沒有署名 看爪印我也知道 這是那頭真正的雄獅 他一眼就認出了牛頓 但牛頓算得快 並不代表他贏了 這場對決真正的贏家 是伯努利自己 因爲他的解法完全沒有用數學 伯努利想到了光 光在同一種介質裏 走的是最短路徑 這是常識 但當光從一種介質進入另一種介質 比如從空氣射入水中 它會發生折射 走的路徑彎了 看起來反而繞遠了 幾百年來沒人知道爲什麼 直到費馬發現光走的不是距離最短的路 而是耗時最短的路 這兩者不是一回事 在不同介質裏光速不同 所以光會主動選擇那條花時間最少的彎路 而不是那條看起來最直的路 這個發現叫費馬原理 也叫最短時間原理 伯努利受此啓發 把小球下落的過程 想象成光穿過無數層介質的折射路徑 把空間切成無數薄層 每一層對應小球不同的下落速度 速度越快,對應的折射率越低 小球就像光一樣,在每一層邊界自動選擇 耗時最短的方向偏折 把這些偏折方向逐層連起來 最終得到的曲線就是最速曲線 數學上稱爲擺線 也就是把一支鉛筆固定在圓的邊緣 讓圓沿直線滾動一圈 筆尖劃出的那條軌跡 一個力學難題被他用一道光學題解掉了 但擺線還藏着另一個讓人崩潰的性質 無論從曲線上哪個位置釋放小球 不管高低 它們全都會在同一時刻抵達終點 這條曲線不只是最速降線 同時還是等時曲線 伯努利提交答案時驕傲地寫道 我一次解決了力學和光學 兩個領域的問題 但他自己也沒意識到 他真正觸碰的是一個更深的東西 伯努利的學生莫佩爾蒂 開始追問一個更根本的問題 光爲什麼要走耗時最短的路 宇宙憑什麼在乎這件事 1744年 他提出了一個全新的物理量 叫作用量 等於質量乘以速度乘以距離 並宣佈 自然界在所有可能的路徑裏 走的永遠是作用量最小的那條 沒有例外 這個原理剛提出來就遭到猛烈攻擊 他的朋友伏爾泰 專門寫了一本32頁的小冊子 逐條嘲諷他 還有人指控他抄襲 更致命的是 莫佩爾蒂自己也說不清 作用量爲什麼偏偏是這三個量的乘積 宇宙爲什麼非得保證它最小 他在嘲諷和抑鬱中離世 沒有等到任何承認 只有歐拉一個人站出來支持他 併爲這個原理補上了兩個關鍵前提 能量守恆 以及所有可能路徑的能量必須相等 但歐拉依然沒能給出完整證明 這個缺口由一個24歲的年輕人補上了 他叫拉格朗日 就在莫培爾蒂去世後不到一年 他給出了最小作用量原理的嚴格數學證明 思路非常乾淨 如果真實路徑是作用量最小的路徑 那它就是函數的極值點 一階導數等於0 順着這個條件展開推導 最終得到一個方程 動能減勢能 對時間的積分等於0 這就是拉格朗日方程 而當你把這個方程展開計算 會發現它完全等價於F等於ma 也就是你從小背的牛頓第二定律 這意味着什麼 這意味着牛頓定律不是宇宙的基礎 最小作用量原理纔是 用這一個原理 可以推導出光的反射與折射 蘋果爲什麼下落 行星爲什麼繞太陽運轉 麥克斯韋電磁方程 愛因斯坦廣義相對論 乃至量子場論 所有看起來毫不相干的物理學分支 全都從這一條規則裏生長出來 一道關於小球下滑的問題 最終撬動了整個物理學的地基 而這一切的起點 是伽利略在斜面上放下的那個小球 和他窮極一生都沒有答出來的那個問題