小學數學寒假提分必看的《數學思維拓展訓練》，適用五年級學生，全120集 P10 - 五年級春季09-分數、百分數應用題初步（上）

哈嘍大家好 來我們今天看這個分數百分數應用題 逐步 那當然主要講分數應用題 對吧百分數我們現在還不熟 ok 那分數應用題的話在整個考試裏面是必考的 先告訴大家是必考的 考的分值至少10分 所以大家一定要在裏面聽啊 那你看他的考題也很多是很有趣的 對吧有的時候會跟我們的現實生活相結合 或者跟古典文化相結合 這也是整個考察的一個趨勢 比如說莊子 對不對 好還有呢 今有棄中 不知其數 前人取半 中人二三分取一 後人四分取一 于敏一斗五生 問謎幾何 等等等等 當然像這種題目 他不會直接讓你去回答這個哈 他會給你翻譯 對吧 翻譯完之後呢你再去做 他的意思就是說 棄入中不知道到底有多少謎 我們知道第一個人先拿走了二分之一 第二個人又拿走了剩下的三分之一 第三個人又拿走了剩下的四分之一 最後剩下呢 十五生 對吧 那麼原來到底是多少謎 像這種題目的話 我們今天學完之後就知道怎麼做了 對不對 啊這是我們今天的目標 啊你這你可以掐個點試一下 看兩分鐘能不能搞定 這兩道題目我們一會也會講 一會也會講好吧 那分數用題的初步我們主要會講兩個 第一個叫找準單位 一 第二個叫量率對應 抓不變量 對吧很多分數用題都需要去抓這個不變量 把不變量給逮住 在一個過程中你出現好幾個分數 對你看看哪個分哪個哪個量是不變的 對吧啊就可以做出來 那單位一很重要 單位一很重要你只有單位一搞清楚了 你這個才能搞清楚 是不是那單位一是什麼大家記得吧 什麼叫單位一呀 你要找準你好歹得知道什麼叫單位一吧 你要是不知道 沒法做啊 對不對 那我們想想啊你看分數是什麼意思 比如說五分之三 五分之三的話我們在 學分數的認識的時候我們說 它其實就是把單位一 平均分成五份 取其中的三份是吧 所以一般哪個是單位一呢 就是誰的五分之三 得前面那個一般就是他的單位一 對吧 啊比如說我身上錢的五分之三 啊那就我身上一共有多少錢這個是單位一 啊所以一般是在得的前面 得 的前面 啊能看懂這個意思吧 那一般是在誰的後面呢來大家說說 那這個字就多了 對吧 比如說誰是誰的幾分之幾是的後面 比的後面 對吧 比誰 的幾分之幾多 能理解吧啊 啊等等等等 的後面一般是在得的前面 得的前面對吧 ok 啊所以找單位一 是解分數用題的一個基礎也是一個關鍵 你知道了分率 知道每個分率都對應一個什麼 總量也就是單位一 也就是說一道題目分數用題的關鍵肯定是有分數嗎 你分數用題沒分數能叫分數用題嗎 那你看看它有幾個分數 然後你再去找它每個分數的單位一一不一樣 如果每個分數的單位一都一樣 那就太幸福了 那整道題目就很清楚了 那如果每個題目的單位一都是每個分數的單位一不一樣 你有的時候要去統一單位一 統一層單位一同一個單位 我們有那種多個單位一的題目對吧 那我們剛開始肯定不會整那麼多 我們先來一個的 好我們看怎麼找 第一個部分數和總數 部分數和總數的關係 對吧 比如說我國人口 佔世界人口的幾分之幾 你看得的前面是什麼 得的前面是不是世界人口 對吧 還要佔的後面 好所以世界人口就是總數 我國人口就是分數 那麼我們這個世界人口就是單位一 它的幾分之幾 比如說五分之一 那也就是說你把世界人口 這個單位一平均分成五份 我國的人口就佔其中的一份 對吧 所以一般來說80%的題目 如果有總數的 這個總數一般都是單位一 因爲這好理解 總數一般都是單位一 那第二種是什麼 第二種是兩種數量比較的 兩種數量比較很多同學就會錯了 誰比誰多 誰比誰少 對吧 那就是比的後面 多或者少的前面 比如說 五年級二班的男生比女生多幾分之幾 那你看多誰的幾分之幾 多女生人數的幾分之幾 它是在多的前面 比的後面的 是不是 OK 好那這時候的話我們要去算了 這時候單位一是女生人數 但是這時候我們要算的 不是男生佔女生的幾分之幾 而是男生比女生多幾分之幾 所以就是多的人數去除以女生的人數 比如舉個例子 男生有什麼 28個 對不對 女生有20個 好那這個問題最後應該是幾分之幾 男生比女生多幾分之幾 那麼這時候你就是要算出多的 這8個人 來除以單位一 20個 所以就40% 20分之8 對不對 除以4 5分之2 能看懂嗎 所以男生比女生多就多 5分之2 會了吧 知道了 所以關鍵大家把它記住 一般來說就是 得的前面 然後是或者佔的後面 那如果是比較的就是 多和少的前面那個 對吧 多誰的幾分之幾 比誰多 比和多比和多之間的 這個就是單位一 能記住嗎 好稍微總結一下 第一個 常見的單位一 總數 對吧 是 或者是佔 總數的 幾分之幾 這個就是單位一 可以嗎 第二個的話就是比較的 那就是比和多少 之間的那個哥們 就是單位一 可以嗎 OK 好 那在算的時候也要小心 對吧 要小心 那除此之外還有什麼 還有第三種 原來和現在 對吧 到底是問 原來還是現在 比如說水結成冰之後 體積是會增加的 那我們在求它增加了幾分之幾的時候 那你至少要小心 這個幾分之幾是單位一是什麼 來大家說一下 是不是增加了原來的幾分之幾 那原來是誰 原來是水吧 對不對 OK 所以原來的水是單位一 好 你看第一種情況 水結成冰 體積增加了幾分之幾 對吧 那增加了原來的幾分之幾 那原來它是水 好 主要道理的話 冰融化成水 體積減小了原來的幾分之幾 它原來是冰 它融化成水了 所以此時原來的冰就是單位一 所以不管是你記了多少種 關鍵還是要理解 理解提議 對吧 理解提議之後你才能做 那像這個很多同學錯 剛開始的時候錯 那後面慢慢就對了 OK 那爲了加深大家的理解 我決定來一道題目 讓大家好好K一下 來看一下 有個牧場 好 找準單位一 來 兩分鐘 K一下 一定要寫的全對 加油 千萬別算錯 開始 看完了嗎 太棒了 來來來看一下 牧場上有30頭牛 20只羊 第一個 羊的支數是牛的支數的幾分之幾 袁碩老師你說得的前面 這有三個得呢 你看得得得得得得得得得得 完了 這單位一是誰 得的前面一度一呢 你要小心 前面兩個得是不一樣的 別把它拆開 第一個得是羊的支數 這是一個數 牛的支數 這也是一個數 所以實際我們要看的得是幾分之幾 前面這個得 所以誰是單位一 牛的支數 可以嗎 這個根本是單位一 那怎麼取 要問羊佔牛的 就用羊的除以牛的 20 除以30 等於三分之二 對不對 可以嗎 好 反正 這第一個是三分之二 第一個的單位一是牛的支數 沒問題吧 好 第二個的單位一是誰 來 把單位一標出來 誰呀 來我們一起讀一下 牛的支數 比羊的支數 多幾分之幾 比什麼什麼多 這裏面是不是就是單位一 所以羊的支數 這次羊的支數是單位一 對不對 我們把不是單位一的先擦掉 我們把每一位裏面單位一圈一下 所以羊的支數是單位一 但這時候不是問你牛 是羊的幾分之幾 這時候問的是什麼 牛比羊多幾分之幾 那也就是說他的意思就是 牛比羊多的 佔羊的幾分之幾 對吧 所以我們三十減二十 這是多的 他佔羊的羊是二十 小心 所以就是二分之一 二分之一 能不能理解 二分之一 OK 所以第二個是二分之一 好 第三個大家算一下 來 羊的支數比牛的支數少幾分之幾 比什麼什麼少 是不是也是一樣的 是不是 那中間這個就是單位一了 牛的支數 對吧 好 那就是 羊比牛少的還是牛減羊 好 所以牛少了三分之一 你看這一讀是不是就不一樣了 你看 牛的支數比羊的支數多二分之一 羊的支數比牛的支數少三分之一 雖然說牛羊的這個支數差都是十頭 但是它們單位一不同 造成它最後結果這個幾分之幾是不一樣的 好 第四個大家看 羊比牛少的支數佔全部的幾分之幾 羊比牛少的是不是三十減二十 對不對 全部支數呢 三十加二十 那就是 五分之一 好 所以第一問這樣下來 大家對這個 單位一有那麼丟丟感覺了嗎 這四問的單位一我們都圈起來 大家下回做這個分數用題 剛開始的時候 或者說養成就養成好習慣 只要是分數用題 你就把單位一圈起來 只要是分數用題 你就圈起來 你就養成有習慣了 好吧 OK 所以這題還行 不是特別難 我們再來一道 來 再算一下 來 非常容易錯的 來 第一題二了 來開始 先來兩分鐘 來 水結成冰後體積增大它的十分之一 那麼冰化成水後體積減少它的幾分之幾 你就告訴我是不是十分之一 是不是十分之一 不是 是還是不是 你們覺得是不是 還是不知道 你算一下 算一下 我們先把這個十分之一的單位一先圈一下 水結成冰後體積增大它的十分之一 它是誰 原來的十分之一 原來是誰 原來是水 所以單位一是水 就是這個它 這就是水 原來的水 所以增大了水的十分之一 所以單位一被平均分成了十份 OK 所以我們知道水是十份的吧 水是十份的 對吧 水是十份的 那冰是幾份 冰是幾份 增大了十份中的一份 增加了一份變十一份 所以冰是十一份 可以嗎 所以第一步你可以這樣算 那麼冰化成水之後體積減少它的幾分之幾 這時候的單位一呢 這個它又代表什麼 還是水嗎 同樣都是這麼一個它是嗎 這時候就不是了對吧 原來它是冰 所以第二句話問的是 冰化成水的過程中 減少的佔冰的幾分之幾 是原來幾分之幾對吧 那我們就可以這麼寫 減少的又是一份了 佔冰的 冰是十一份 所以答案是十一份之一 你對了嗎 所以千萬不要去憑感覺 你看是不是 你憑感覺肯定會錯吧 你感覺水結成冰 增大十分之一 那冰化成水那肯定減少十分之一 那就錯了 沒有那麼多肯定的 你要去找到它的單位一 對吧 要找到它的單位一 好吧 所以這兩個它 這兩個單位一是不一樣的 好 那第二個小豬搬磚的答案來 算一下 你看 有一頭小豬它去搬磚 第一次搬了100塊磚 第二次比第一次多搬了十二十分之一 第三次比第二次少搬了十分之一 那第三次比第一次是多呢還是少 有幾個分數 分數用題趕緊找分數 有兩個 兩個都是十分之一 對了 都是十分之一 那它單位一不一樣呢 我們看第一個十分之一 第二次比第一次多搬了十分之一 比什麼什麼多 這裏面是不是單位一是不是第一次了 所以第一次搬的數目是 第一個十分之一的單位一 是不是 好 第二個十分之一呢 第三次比第二次少搬了 所以它的單位一是 第二次 能看懂嗎 對不對 好 那我們來算一看 來算一下 那剛纔老師說這沒變 你看 第二次比第一次多十分之一 那第三次又比第二次少十分之一 先多十分之一再少十分之一 那不就回到原來嗎 是嗎 但你小心一點 這兩次十分之一是不一樣的 對不對 它的單位一是不一樣的 好 我們先算第二次 第二次怎麼算 你看 第二次比第一次多十分之一 對吧 那就是單位一還比它多十分之一 就是它的這麼多唄 是不是 單位一是100塊 所以第二次搬了多少塊 100 加上100的十分之一 對吧 那就是110塊磚 所以第二次就搬了110塊磚 那第三次呢 第三次是比第二次少了 少了第二次的十分之一 所以第二次110減掉它的十分之一 你覺得一樣嗎 不一樣 99塊 所以是少了 少了 能一樣 一般來說可以很肯定的告訴你 不管是先增加十分之一 再減少十分之一 還是先減少十分之一 再增加十分之一 最後結果都是少了 信不信 不信我們繼續用小豬來做例子 對吧 我們用小豬來做例子檢驗一下 剛剛是什麼 先增加十分之一再減少十分之一對吧 先增加十分之一再減少十分之一 先增加十分之一變110 再減少十分之一變99 對吧 從100到110再到99 少了 好 那如果是先減少十分之一再增加十分之一 好 那你從100先減少十分之一 是不是變90了 90再增加十分之一 又變成99 發現嗎 對吧 這時候是90的十分之一 所以只增加了9 所以你發現不管是先增加再減少 還是先減少再增加 同樣的分數 最後的結果都是少了 這也是很常考的一種類型 那它可以怎麼考 它比如說考慮選擇題 對吧 先增加五分之一再減少五分之一 那最後結果是多了少了還是不變 ABCC三個選項 或者是判斷題 OK 能理解吧 好 那知道這個結論之後 大家快速的看一下這個老牛 說牛肉先漲價五分之一 再降價五分之一 那現在跟原來比 到底升高降低還是不變 這老牛的身價漲沒漲 那你能直接說個結論嗎 告訴老牛 老牛 你身價 首先一定是降低的 一定是降低的 那爲啥呀 那爲啥我們可以這麼想 我們可以這麼想 假定原來是 五分 那那樣也行 我用兩種做法 來看看你們喜歡哪種 第一種做法我們用分數 電視分數用的對吧 假定牛肉原來就是一 它先漲了五分之一 就乘個 一加五分之一 得到的結果再降了 它的五分之一 再乘個 一減五分之一 是這樣吧 對不對 那得多少 一乘五分之六 再乘個五分之四 等於 二十五分之二十四 也就是它從一 變成二十五分之二十四 所以是 降 第二種的話 你也可以的嘛 你也可以直接去用個具體的數 比如說牛肉假定一斤是一百 先漲五分之一 乘個五分之一再加一百 那就是一百二 然後再減五分之一 一百二乘 它的五分之一 就在一個嘛 九十六 對不對 就這麼出來 所以你看從最開始的一百 最後變到九十六 也能得到是降的 那如果是考試的時候 肯定你用分數會合適一點 爲什麼 分數這個靠譜 你這個相當於是假設了一個具體的數 雖然它好理解 但你相當於是隻把這種情況解釋了 那其他數字呢 所以這個叫做不全 這個叫不全 但我希望大家記住結論好吧 升a降a 或者是降a升a OK 升a降a和降a升a 最後的結果都是 降的 最後結果都是降的 能記住嗎 能記住給我比個OK我看看 非常棒 好 最後結果一定都是降的 它可以出選擇題 填空題 解答題 還可以出那個判斷題 各種題型都能出 OK 好 那我們來看看我們 那個 對吧 挑戰的這個題目來 大家試一下 精有其中米 說不知道多少米 第一個人先取了1 2 第二個人又取了剩下1 3 再取了剩下1 4 好 但這時候的話我們有三個分數 1 2 1 3 1 4 單位一一樣嗎 不一樣 第一個1 2的單位一是 全部 是不是可以這麼理解 第一個人取的是全部的二分之一 第二個人是取了第一次剩下的 對不對 第一個人取完之後剩下的 那這個單位一就是第二次剩下的 所以雖然說都叫做餘下 但其實是不一樣的數 那咋辦呢 那我們想想 原來是單位一的 你先取了二分之一 是不是剩下一減二分之一 是不是剩了二分之一 對吧 好 這就是第一個人取完之後剩下的 那第二個人又取了他的三分之一 剩的就是1 3分之一 對不對 好 所以第二個人取完之後剩下的就是這一些 那第三個人又取了第二個人剩下的四分之一 他取走四分之一剩下1 4分之一 對吧 所以第三個人取完之後剩這些 那這些等於多少 1乘二分之一乘三分之二乘四分之三 等於四分之一 也就是說三個人拿完之後剩四分之一 這四分之一就是15升 對不對 所以15乘4等於60升就出來了 這是第一種做法 那第二種做法我們還可以怎麼樣 我們還可以倒推 你最後不是剩15升嗎 那爲啥會剩15升 因爲有個人拿走了四分之一 四分中的一分 那這15升是三分 所以先除以三乘四得到20 好 這就回到第三個人沒取之前是20 對吧 那這20又是怎麼來的 是有個人拿走了三分之一 所以這20它對應的是兩分 我們再乘三 三分就是30升 所以30升是第一個人拿完之後的 第二個人還沒取 好 那30又是二分之一 所以30乘2 60升 以爲不到推 一人得出來 這是第二種做法 還有第三種做法 我們還比一下第三種做法 對吧 第三種做法你可以求一下 對吧 第一個人拿走二分之一 剩二分之一 第二個人拿走二分之一的三分之一 對不對 然後剩下什麼 剩下二分之一的三分之二 剩三分之一 那第二個人拿走之後剩三分之一 第三個人拿走之後就剩 三分之一的四分之三 就剩四分之一 就直接算出來 每一個人都算出來 也能得出來 所以它的方法是多種多樣的 關鍵你要理解 好 下面的裝置 來大家算一下 兩分鐘 開始 一分鐘夠不夠 迸布的一道題 裝置 裝置的話大家一定要多看看 挺有意思的 對吧 比如說逍遙遊 北冥有餘 其冥爲昆 對吧 對 那裝置裏面有這麼一塊 有一句話 一尺之錘日取其半萬世不解 你一尺的木棍 每天一半 再一半一半一半一半 永遠也取不完 沒毛病 你只要得到一個樹 還可以再繼續處理二的 對不對 但當然到後面很多 就可能就看不出來了 就一點點 對吧 那他問第三天 截了多少 前三天 截了多少 我給大家一根棍 你看這麼標準的一根棍 第一天取了多少 第一天取了二分之一 這第一天的標記 剩了二分之一 是不是 那第二天 第二天又取了四分之一 對不對 第二天取了剩下的一半 又剩四分之一 那第三天呢 就應該取八分之一 所以第三天佔的是八分之一 那前三天空多了 二分之一 加四分之一 加八分之一 等於八分之七 前三天一共取了八分之七 正好剩下八分之一 對 那大家有沒有見過一個比較可愛的一個 正方形的一個圖 我給大家畫一下 我估計有的朋友有見過 賊可愛 怎麼可愛呢 你看 底下這個是不是算二分之一 再來 有沒有見過 看這個是不是有異曲同工之妙 然後你在那個啥 一直往下你看 這個是不是相當於二分之一 就如果正方形的邊長是一 那整個正方形的面積是不是一 那這個就是四分之一 八分之一 十六分之一 三十二分之一 一直往下 那按照這樣說 這樣一直下去 是不是接近等於一呀 沒錯 很接近一 你要一直下去的話很接近一 無限接近一 是吧 無限接近整個正方形 好 這是第一部分 那第一部分我們就 先念到這我們來 腦筋記得完 對吧 動一動 丹丹是小狗還是小老虎的名字 三 二 一 哪種 小老虎 爲什麼 因爲虎是丹丹 對吧 虎是丹丹 小老虎是丹丹