🔯最新課綱🔯 九下數學 ~ 二次函數的應用(2)

歡迎收看數學指南,我是張老師 那今天我們要上的是九年級國三的數學 目前進度呢,講的就是二次函數的應用 是偏向在應用問題的部分 就是它不是比較像是計算 我們前面偏向計算 求什麼極大理想,只能計算的部分 現在就是在應用它 那我們看那個在講義的第43頁 好,43頁呢,我們看那個第一題 我把那個題目的意思先描述一下 那這題呢,它是說呢 在座標平面上有兩點,A跟B A座標-11,B座標57 然後說有個P點在Y軸上 而且呢,它使得PA平方加PB平方的最小值 那這樣子是多少 什麼概念,畫圖 因為有時候很抽象都沒有圖 沒有圖就自己來 這個座標,我們簡單畫一下 畫個感覺啦 所以我就畫小一些些 A軸、Y軸 然後A是-11 然後B是57 57很多耶 0、1、2、3、4、5 1、2、3、4、5、6、7 所以這一點是B座標 叫57 A座標是-11 這一點 我畫很少是因為那個 我們還要解題 所以就沒畫那麼大 那你看喔 它的P呢 在哪邊,在Y軸上 在Y軸上 這個是Y軸 那P在這一條線上 哪個點我不知道 可是我發現喔 PA平方加PB平方的值要最小 那應該是說 PA到PB的距離是越小越好 其實應該這麼做 把AB連起來之後呢 你會發現P在這個位置 這是P P的位置呢 在這個AB連線的 跟Y的交點上 如果這裡它只很單純說 求那個P座標是誰 我們會怎麼做 我會透過AB這兩點 找出直線方程式 再跟Y走 做連立解 寫出來的答案 就是P座標對不對 而現在不是啊 它是說這個P呢 是一個點 然後是要PA平方 PB平方距離要越小越好 那怎麼做 我們這樣做好了 我就把那個P座標 假設為 假設為那個 然後找黃色粉筆 黃色粉筆去哪裡了 沒有出來 看到了 那個P座標的話呢 我們假設P座標叫做0 0什麼東西 為什麼是0什麼東西 因為P在Y軸上 Y軸的點座標 X都是0 0代號啦 0 0 0 0 C好不好 0 C 所以P座標叫0 C 那這個時候呢 PA的平方加PB的平方 它的平方和越小越好 的最小值是多少 首先看 PA平方怎麼求 PA距離怎麼求 PA的距離呢 我們可以這樣做 這個座標叫0 C 0跟C對不對 那我說那個在找那個 直線 直線距離的時候呢 P到A的距離是X座標向前 0減負1就是1 1平方再加上 C減1 的平方 再開根 對不對 這什麼意思 這個是PA的距離 有個公式我幫你買過來 記不記得了 比如說那個 A座標叫XY1 然後B座標叫做X2Y2 我們要求這個AB的直線距離 怎麼做 有個公式可以用 它就是X座標的距離 再加上 Y座標距離平方開根號 X座標距離呢 就是兩個相減的 S1減S2的平方 再加上Y1減Y2的平方開根號 這個答案算出來就是AB的距離 事實上這個樣的寫法 那前面有講過我就不詳細講 在那個古二的那個直角座標 有講過吧 求那個斜邊長的時候 這公式有引導過 好那我現在直接套公式的部分 就變成說 它的PA平方 平方之後根號就去掉了 所以前面這個 它就變成了 你要這樣寫 它是1平方 再加C減1的平方 這個是PA平方 好那PB要怎麼寫呢 好PB 0C到5C的距離 要求距離 兩點的距離 L座標相減的平方 5減0的平方 就5平方 所以再加上5平方 那Y座標呢 就是7減7 或C減7 C減7的平方開根號 可是開根號跟二次方有底調 因為它有PB的平方 所以變成說 PA平方加PB平方 等於加起來 1平方加C減1平方加5平方加 7減7的平方 好 好再來我們就要整理它 要整理它就是要把那個 括號都去掉 一邊去括號一邊就罵題目 怎麼出那麼複雜 不是啦 我們就好好把它算一下 1平方還是1 再加上 C減1平方呢 代乘法公式 就是C平方減2C加1 5平方25 再加上 這樣乘法公式 就是C平方減掉14C加49 我後悔帶C 因為C又不好寫又不好念 好啦是我自己不好念 好來再整理一下 1加1 2加25 27加27再加49 76 不對啦 先加C才對神經病 C平方加C平方 答案是2C平方 好再來 不是加 要減才對 它的C這邊-2C又-14C 合併在一起是-16C 所以這裡要減掉16C 那再來常數項的話 就是49加27 76 進位變76 加76 好我們要把這個去 配成完全平方式 怎麼做 這兩個 這個2要提出來 所以二倍的括號 C減8 C平方減8C 因為都提了 然後76放後面對不對 好加什麼 加這個值 一半二次方 八一半是4 所以你要加4的二次方 4是16 16乘2 32 多加32後面扣回來扣32 所以它就變成了 二倍的括號 C減4 平方 再加上多少 76減32 答案是44 而說這個題目這樣子 C在等於4的時候 它的平方和 最小 就是44 所以它問你說答案多少 答案就是44 所以C座標叫04 這樣子有沒有問題 好沒有 應該是沒有 這樣ok了 這是這個第一題 再看那個第二題 它那選項裡面是說 就是說它已知 2加y是100 這個是x跟y的關係式 後面的a b c d選項 都在求說 S平方加y平方的最什麼值 是最大值還是最小值 是多少 好那我們怎麼做呢 當然就是要把s跟y替換掉 那我發現把y換成x比較好換 因為呢 你只要把這個2x給移走 就可以啦 所以y就等於 100減2x 比如說我現在把這個y 換成100減2x x還是x啦 所以x不要動它了 所以這個在寫的時候 第一個S平方的x 這不用動了不用理它 可是y改名字啦 y改成這個東西了 y就改成了 100減2x 所以它這要加上 100減2x 別忘記喔是二次方 括號的二次方 那把後面這個展開來 再整理一下 然後去找它的一個 最大值或最小值 所以它變成了x平方 再加上 這也帶那個乘法公式啊 你再磨背一下 a平方減2ab加b平方 大家都耳熟能詳的 應該蠻好帶的 100平方1萬 記得是1萬要不要寫200啊 100平方是1萬 減掉2ab喔 減掉2乘100乘2 2乘100 200 200乘2是400 減400x 再加上 這個的平方是多少 這個的平方乘出來 是4x平方嗎 因為裡面東西乘兩次啊 所以加4x平方 整理過 變成了5x二次 重新排序過 減400x先寫 然後那個加1萬給它寫後面去 好緊接著 繼續囉 配方法 那前面這兩個呢 都要提出5 把5提出來 5提出來之後 是括號的x平方減多少 400除以5 80 80x 空格留一下 1萬放後面 這放後面就不用變號啊 它只是把後面位置往後拉而已啊 它沒有跨越等號不用變號 這邊要放什麼東西呢 這要放那個x一次像係數 這個值一半二次方 一半是80 講錯了 80一半40 40一半的二次方 40的二次方多少 1600 又乘到5 8000 多加8000後面扣回來 減8000 減掉8000 所以呢就配乘並這樣子 它是5倍的括號 x減40的平方再加多少 1萬減8000是2000 加2000對不對 好這開口很明顯向哪邊 5是正數啊 開口朝上 朝上會有最什麼值 最小值 所以當你x是40的時候 函數值y最小值 2000 所以有最小值答案是2000 選的就是豬啦 這是第二題 這樣幫你容易 好繼續來看第三題 第三題的題目是 陳老師 他同學心中想一個數字 然後把這個數字 乘以3再平方 再把剛剛的結果乘以負2再加上5 如果計算上 無誤的話沒有錯誤的話 最後不可能得到哪一個答案 你看他怎麼寫的 他說他把他想的這個數字 減3再平方 假設他想的是x x減3之後再平方 平方之後 他說再乘上負2 乘負2這樣寫 最後再加5 如果計算無誤的話 不可能得到哪一個數字 計算無誤的話假設 最後結果是y 所以y就等於這個 再看一次 他想的數字x先減掉3 之後平方再乘上負2最後再加5 他說不可能得到哪一個數字 選項裡面有幾個可以選 有13 負13 3跟負3 你覺得答案不可能是哪一個 首先開口向哪邊 開口向下 開口向下會有什麼值 最大值 所以這個在做運算的時候 他的最大值答案就是5 不會比5大 所以很明顯答案呼之欲出 哪一個不可能出現 13不可能出現 因為最大值就是5 就這樣 所以答案選擇是A 13不可能出現 所以其他答案都可能出現 負13也可能 3也可能 就只有13不可能 因為他的最大值 就是5 這樣知道嗎 看第四題 他是說 將15 分成三個正整數 而且其中兩個數 為連續整數 那這三個正整數的 最小平方和是多少 這裡有點小棘手 他說把15分成三個正整數 15分成三個正整數 然後 其中兩個數是連續整數 我們連續整數差幾 是不是差1 連續整數234456789 有兩個是連續整數 那你就一個是x 一個是x加1 另外一個怎麼假設 總不能是y吧 他說這三個 加起來是15 因為把15分為三個正整數 這個正整數 所以我用15扣掉前兩個 扣掉x 扣掉x加1 得到第三個數 整理一下 長數項整理 先整理一下 -x是-x 15-1 變14 所以這個是第三個數 所以這是第一個數 第二個數 三個數都假設出來了 他說平方和 平方和最小 三個正整數的最小平方和 平方相加 所以第一個很好寫 s平方 第二個還可以 a加1的平方 第三個 -2x 加14的平方 他說平方和越小越好 那個結果我們就設y 所以變成是一個二次函數的寫法 好開始整理它 s平方 這個呢 代乘法公式 馬上背出來 a平方 加2ab 這也是啊 代乘法公式的哪一個會有問題呢 我跟你講 這樣寫超容易出錯的 你把裡面都乘負號 會變成2x-14 效果會一樣 因為 -a加b的平方 等於a-b平方 平方出來都正的 所以平方裡面可以完全變化 完全變化怎麼變 負的變正的正的變負的 你這個代乘法公式比較不會錯 所以它是這個的平方 -2ab-2x-14 -2x-14 那你要加多少 加這個值 一半二次方 九的一半叫二分之九 的二次方 這個乘出來多少 一加一九六是一九七 這邊要放什麼 一半二次方 九一半二次方 這樣寫完之後你要小心 乘到六 二分之九的平方乘出來是四分之八十一 就要乘到六 乘掉這個約分之後 它是二三六 二二四 會變成二分之多少 三一三三八二四 變二四三 那你多加這麼多要扣回來 所以後面這要減 減掉什麼 加一九七照抄 這個加一九七是本來就有的 然後再扣掉 二分之三 二四三 扣掉二分之二四三 好 我把這邊擦掉 接著喔 前面這邊的話呢 會變成六倍的括號 X減二分之九 的平方 一九七啊 一分之一九七啊 所以是二分之 三九四 減掉二分之二四三 得到什麼結果 二分之一五一 所以加上二分之一五一 好 寫到這邊的時候其實有個問題喔 什麼問題喔 它是有說這個X要整數 所以我們這邊什麼情況 當你X答案是 四點五的時候 它會有最小值 二分之一五一 可是不行啊 X等於二分之九 四點五的時候呢 它的函數值最小 因為開口朝上嘛 它的最小值啊 會變成二分之一五一 這答案對不對當然是不對 因為我們X要挑整數嘛 所以怎麼辦呢 就比這個大一點比這個小一點 比這個大一點是五比這個小一點就是四 那如果是五的話 五減四點五 變零點五平方 如果是四的話四減四點五 也是零點五平方只是負的 所以平方也變正的 所以變成兩個結果都一樣 我們X答案能取誰喔 所以最後X答案能取四 或者是五 那不論四或五呢 乘出來的結果都一樣 所以我們就代一個代五好了 你代五的時候呢變這樣寫 它的函數值是Y就等於六倍的括號 X代五 五減掉二分之九變四點五 用分數算比較好算 平方再加上 二分之一五一 那 這個算算多少 五減掉四點五 變成零點五 零點五的平方 就是零點二五 零點二五 又乘上六 六五三十六 變一點五 一點五就二分之幾啊 二分之三嘛 所以這個算出來是 二分之三 二分之三去加上 二分之一五一 會得到這個結果是 二分之一五四 一五四除以二多少 答案就七十七 所以這三個數的平方和最小最小 九十七七 答案選的是A 如果剛剛減少一些計算錯 應該比較順利 剛剛一直在計算錯不知道錯什麼鬼 有時候這樣子 有時候這種錯就是兵敗如山倒 一直一直往下錯 怎麼算都怎麼錯 這個要克服啦 老師也要克服 有時候很奇怪 就像鬼打槍一樣 第五題 椅子呢 一個梯形的高跟上底 和是十 高跟下底的和是十四 這梯形面積的最大值多少 題目這樣出喔 等一下 粉筆沒有 找個粉筆組裝一下 等我一下 第五題 他說這梯形的高跟上底和是十 高跟下底和是十 都講高 所以很明顯我就會把這梯形的高 就給他設X好了 那他有說呢 跟上底的和是十 所以高跟上底相加是十 那十扣掉高不就變上底 所以要十減X是上底 他說呢 高跟下底的和是十四 那我十四扣掉高啊 就變下底啦 他的想法也蠻單純的喔 然後再來呢就有類似的喔 梯形面積怎麼求 上底加下底乘高除二 所以他的面積叫Y好了 面積是Y等於上底 上底就是 十減X 再加下底 十四減X 乘以高除二 一個函數的最大值或最小值 他是問什麼東西 最大值 把它整理一下 整理一下變這樣子 他是二分之 這裡面的話 十加十四是二十四 減二減X 減二X 還要乘X 那我發現 我可以先約分再乘比較乘 我把這二跟上面先約掉 二約掉的時候變這樣子 要約二是說 上下都除二 除二的時候變一啊 除二變十二 變一個X 隨便十二X 減X平方 你把這個要配方法配過 怎麼寫 寫到這邊來 這個先寫 負X平方 加十二X 你要把它去配方法的話 要先配成完全平方式 把負號提出來 X平方 減十二X 要加這個值 一半二次方 一半是六 六平方三十六 又乘到負號減三十六 多減三十六後面要補回來 加三十六 然後變成負的括號 X減六 的平方加三十六 這開口很明顯是朝下 朝下最什麼值最大值 所以面積有最大值答案三十六 它是問什麼 問面積最大值對答案三十六 這個時候它的高上底下底多少 答案就是 因為下S還是六 所以S六是帶回去 它的高就是六 上底十減六 四下底十減六 八 然後面積多少答案三十六 這樣有沒有問題 這是第五題 好看那個第六題 第六題這一題呢 是跟那個連比例有關係 比例式的連比例 我們在九年級上學期有學過 連比例的課程 複習一下 這題其實也算簡單 不過這個就很數學 這一題 12A等於15B等於27 第一個你要先建立A比B比C的連比例 怎麼建立它 這個連比例式我們學過的時候會知道說 這樣是一種反比的寫法 所以A比B比C 就導數比12分之1 比上15分之1 比上20分之1 你說怎麼這樣思考的 你就這樣假想 等於1之後 12一過來除以12 12分之1 15一過來除以15 15分之1 然後全部給它乘60 乘60之後變成什麼結果 5比4比3 所以ABC連比例 叫5比4比3 可是你要知道 A也不是5 B也不是4 C也不是3 只是連比例式 這時候我們就令 令ABC分別怎麼樣 給它放到R背 所以A是5R B就是4R C就是3R 放到R背之後 把ABC放到這邊來 他說BC加6A的結果 處理它 BC加6A B乘C 4R乘3R 再加上6A 6乘5R 整理一下 432 12R平方 再加30R 怎麼那麼醜啊 沒有寫錯吧 要把它怎麼樣 它要找這個東西的最小值 因為開口朝上了嘛 要整理它配方法 第一步提這個 提12 就覺得很醜 提12之後R平方 提12 就除以12 旁邊偷算一下 30除以12 除12之後約分 2分之5 所以這裡是加上 2分之5R 空格保留 加什麼東西 要加這個值 一半二次方 一半乘二分之一 乘二分之一是四分之五 加四分之五的平方 這平方乘出來是 十六分之 二十五 又乘到十二 所以十二要乘到 它平方完之後還要乘到十二 那十二跟十六可以約分 用四約 所以變成 四分之七十五 加上 四分 因為這是多加的 多加要扣回來 扣回來 減掉四分之 七十五 按照題目要的 答案都出來了 它是問說這個的最小值 這個開口明顯朝上 朝上最好值不是這個 所以答案是負的 四分之七十五 所以答案要選 負四分之七十五 要選這個 前面我就不整理了 他說呢 老王用一百公尺長的鐵網 沿著河邊 哪邊是河邊 這邊是河邊 剛剛沒有畫破浪 這個地方很少見 通常是在我們鄉下地方 沿著河邊去蓋菜園 蓋菜圖 然後呢 靠河邊的一邊 要圍鐵絲網 就是 靠河的這邊不用圍鐵絲網 因為這邊的小狗小貓 不會進來所以這邊就不用圍鐵絲網 哪邊不用圍 就是說這邊不用圍鐵絲網 這邊不用 這邊不用之外呢 其他地方呢 它要圍鐵絲網 這裡要圍 這樣圍出鐵絲網 要圍這樣子 它的鐵網就一百公尺長 他問你說 那我這樣子的情況下 怎麼樣去圍 能夠圍出 它的最大總面積多少 怎麼做 這時候我們這樣做 你把它鐵絲網 你這樣看 這邊的寬度 再給它設X公尺 X 幾個了 一二三四五五個 五個X 鐵絲網一百公尺 扣掉五個X還剩多少 還剩下一百減五個X 所以這邊的長度 就是一百減五個X 沒錯吧 鐵絲網寬度 X 五個X 一百公尺扣掉五個X 所以這邊的長度就變一百五個X 那面積怎麼求面積 面積就看這個 看這個全部一起的 怎麼看 長乘寬 所以一百減五個X 長乘寬 就是我的面積 求它的最大值 這裡要整理它 拆掛號 X乘以一百就一百X X乘以負五 負X 把它整理一下 我把它排序過 所以是負X 平方加一百X 我們現在要把它配成一個 完全平方式 配方法整理它 提負五之後 變成負二十X 沒錯吧 提了負五變號 再來空格保留一下 這裡要怎麼做呢 要加這個值 一半是十 叫十平方 你這邊如果加了十平方 就多乘到負五 十平方一百 一百乘負五多減五百 多減五百後面要加五百 為什麼要加五百是因為 十平方本來是沒有的 十平方是一百 一百乘負五是負五百 多減五百後面加五百 所以左邊呢 變成負五光號 X減十的平方 加五百 這個開口很明顯是朝下 所以最大值面積五百 所以說它的面積最大 多少答案是五百 我有問你怎麼圍的話 X不是十對不對 所以這邊十公尺十公尺十公尺 的寬度 那扣掉五十之後 這邊是五十公尺的寬度 這樣圍出來面積就最大 最大多少答案是五百平方公尺 這樣沒問題 好我們先講到這邊好了 下一節課我們再 把後面的把它做完 好那今天就到這裡了掰掰