Hình 8. Kĩ thuật đồng dạng- Bài 2

Chúng ta bắt đầu nhé Bài số 2 Cho tam giác nhọn ABC đường cao AD Trực tâm H ca đối xứng với H qua BC Dựng hình bình hành BHCP Cho tam giác ABC Có đường cao AD Và trực tâm H ca đối xứng với H qua BC Dựng hình bình hành BHCP Câu 1 Chứng minh rằng Điểm A, điểm B, điểm K, điểm P, điểm C Cách đều 1 điểm Câu 2 Chứng minh rằng Đường thẳng qua D Vuông góc với BK Thì đi qua trung điểm của AC Đi qua trung điểm của AC Câu 4 À câu 3 Lấy điểm E đối xứng với điểm D qua C Điểm F đối xứng với điểm D qua H Chứng minh rằng BF Chứng minh rằng BF vuông góc với AE Thì chúng ta bắt đầu đi vào chứng minh câu 1 này Để chứng minh 4 điểm ABKPC À 5 điểm ABKPC Cách đều 1 điểm Thì chúng ta có 1 cái quan sát như thế này Vào làm Gọi Ta có cái BH BH là đường cao Của tam giác ABC đúng không? Nên BH vuông góc với AC Mà BH lại song song với BH song song với PC Và BH Vuông góc với AC Nên Cái BH đấy sẽ vuông góc với AC À nên PC vuông góc với AC PC vuông góc AC Nghĩa là chúng ta sẽ thu được tam giác ABC là tam giác vuông Tam giác ABC là tam giác vuông Đây Nhà chúng ta có BH Vuông góc với AC Vì đây là đường cao BH là đường cao H là trực Trực thì BH À H là trực tâm Thì BH là đường cao Xong chúng ta lại có BH CP là hình bình hành Cho nên chúng ta có BH Song song với CP Như vậy CP vừa song song với BH Mà BH vuông góc với AC Thì chúng ta có được cái PC Vuông góc với AC Tức là chúng ta có góc C vuông này Một cách tương tự Chúng ta cũng sẽ có được Cái góc B kia vuông PB vuông góc với AB Đấy Tương tự Chúng ta có PB Cũng vuông góc với AB Thế thì bây giờ như này Chúng ta sẽ gọi Gọi O Là Trung điểm Của AP Thì khi đó Khi đó Tam giác ABP và tam giác ACP Là cùng chung cạnh huyền đúng không? Thì khi đó thì Chúng ta sẽ có là OA Bằng OB Bằng OP Và bằng OC Chúng ta có đị lý Trong một tam giác vuông Trung tiếng ứng Với cạnh huyền Bằng một nửa cạnh huyền Bây giờ chúng ta còn phải chứng minh nốt Là cái Nó bằng cái OK nữa đúng không? Thế thì Bây giờ làm sao chứng minh được Cho cái OK Nó bằng OA, OB, OP, OC Muốn chứng minh như vậy Thì chúng ta lại phải đi Chứng minh tiếp cho cái Cái Cái góc A, K, T Chúng ta cần Ta chứng minh Cho cái Cái T, K T, K Cũng vuông góc với A, K Ta chứng minh cho T, K vuông góc với A, K Thì lúc đấy cái tam giác A, K, T Nó sẽ vuông Và lúc đấy OK Cũng sẽ bằng một phần 2AP Và chúng ta sẽ thu được là 5 điểm AB, K, BC Cũng nằm trên một đường tròn Tức là nó cách đều điểm U Bây giờ muốn chứng minh BK vuông góc AK Thì ta chứng minh cho Cái Đây Chúng ta có là Gọi I là trung điểm của BC HP K BC tại I HP, K, BC tại I Thì I sẽ là trung điểm của Cả hai bạn này Thì I là trung điểm Của HP Và BC Đây là tính nhất hình hình hành đúng không? Chúng ta lại có D cũng là trung điểm Của HK Nên Nên cái DI Sẽ là đường trung bình Của giam giác HKP đúng không? Nên nó song song Và nó bằng 1 phần 2 Cái KP Không phải bằng 1 phần 2 Song song Nên DI song song với KP DI song song KP Điều này có nghĩa là Cái KP của chúng ta KP nó sẽ song song với cái BC Bởi vì cái DI chính là Đường thẳng DI chính là đường thẳng BC Như vậy KP song song BC Thì suy ra KP Sẽ vô ngốc với HK Bởi vì BC vô ngốc HK đúng không? Nên đây chính là điều Nên tức là chúng ta có PK vô ngốc AK Cũng tức là PK Vô ngốc AK Là điều chúng ta vừa phải chứng minh xong đúng không? Rồi tóm lại là 5 điểm A B K P C Sẽ cách Đều 1 điểm O Điểm O đấy chính là trung điểm của AP Chúng ta làm xong câu 1 nhé Chúng ta tiếp tục với câu 2 Chứng minh rằng đường thẳng Qua D vô ngốc BK đi qua trung điểm của AC Từ D mình kè 1 đường thẳng vô ngốc với BK Chúng ta gọi Nó là điểm Điểm D nhé BD cắt AC tại điểm M nhé Kè BD Vô ngốc với BK Cắt BD AC Tại M Thì chúng ta cần chứng minh Cần chứng minh M là trung điểm AC Cái này chúng ta dùng khẳng sạn gốc nhé Chúng ta có Ngốc Chúng ta có gốc C này Là Phụ với gốc B này Vì sao? Bởi vì Tam giác Bởi vì BH là đường cao ấy BH là đường cao cho nên là Kéo dài ra thì nó sẽ vô ngốc như thế này Mình sẽ có gốc C này là phụ với gốc B này Mà gốc B này ấy Thì lại bằng cái gốc Gốc B này Bởi vì K đối xứng với H qua D Cho nên là BD sẽ là phân giác Của tam giác BHK Trong khi đó thì cái gốc D này Chúng ta có gốc D này Là cũng phụ với gốc B Gốc B này là Phụ với gốc B Vì tam giác này nó vô dạy D Gốc D này phụ với gốc B Thế thì Cái gốc đối đỉnh với gốc B này Cũng sẽ phụ với gốc B Thì điều này có nghĩa là Chúng ta sẽ thu được gốc D này Và gốc C này bằng nhau Đó Chúng ta sẽ thu được gốc C và gốc B này bằng nhau Chúng ta sẽ Viết ở bên dưới này nhé Gốc Ờ Gốc ACD A C D Là bằng 90 độ Trừ đi gốc HBD Bởi vì BH vô gốc với AC đúng không? Tiếp theo Chúng ta thay gốc HBD Bằng gốc KBD Nên là bằng 90 Trừ đi KBD KBD Nhưng gốc KBD chính là gốc GBD Nên nó sẽ bằng 90 Trừ GBD Chúng ta có Là gốc GBD Với gốc GBD Là bằng 90 độ Vì tam giác BGB này Nó góc Customer guardian Cho nên nó đúng bằng gọc 90 độ trừ GBD Chính là gốc GBB GBB Góc ZDB thì lại bằng góc CDM CDM do đối đỉnh đúng không? Do đối đỉnh Như vậy chúng ta suy ra Góc MCD MCD bằng góc MDC MDC Bây giờ chúng ta nhìn vào cái tang giác vuông ADC có điểm M trên cạnh AC mà chúng ta thu được góc C này bằng góc D Đây chúng ta xét ra giác vuông ADC có điểm M ở trên cạnh AC nhưng mà góc D này bằng góc C này góc D bằng góc C thì có một điều rất hay là cái góc D này D nhỏ này là phụ với góc D lớn này còn cái góc A góc A nhỏ này là phụ với góc C này tổng bằng 90 nên chúng ta sẽ thu được góc A này cái góc A này sẽ bằng góc D này vì nó cùng phụ với 2 góc bằng nhau nó cùng phụ với 2 góc bằng nhau thế điều này có nghĩa là tang giác MAD tang giác MAD này là cân tại M và tang giác MCD cũng cân tại M cho nên chúng ta sẽ thu được MD bằng MA bằng MC đây ta có làm suy ra góc MAD MAD bằng góc MDA thì cùng phụ 2 góc bằng nhau nên suy ra MAD MAD và MDC đều là tang giác cân MAD MDC là 2 tang giác cân đều cân tại M suy ra M là trung điểm của AC và chúng ta có điều phải chứng minh bây giờ chúng ta lại tiếp tục với Y3 nhé đầu bài cho E đối xứng D qua C E đối xứng với D qua C nghĩa là C là trung điểm của DE còn F đối xứng với D qua H nghĩa là H là trung điểm H là trung điểm của FD thì chúng ta có nhìn nhận như thế này ở đây chúng ta sẽ phát hiện ra chúng ta phát hiện ra 2 cặp tang giác đồng dạng là 2 tang giác nào nhé cặp thứ nhất là cặp thứ nhất là tang giác BDF đồng dạng với HBDH đồng dạng với ADC đây là 2 tang giác vuông tại D và có cái này chúng ta cũng quen rồi đúng không chúng ta có gốc B này là phụ với gốc C này còn gốc A này cũng phụ với gốc C này cho nên chúng ta có gốc B này và gốc A này bằng nhau vì cũng phụ với gốc C thế cho nên dẫn đến 2 tang giác BHD và tang giác ACD đồng dạng với nhau chúng ta có 1 cặp tang giác nữa cũng đồng dạng đó là tang giác BDF đồng dạng với tang giác ADE tại sao đồng dạng chúng ta đi chứng minh cái này nhé vì thứ nhất là đây cũng là 2 tang giác vuông đây là 2 tang giác vuông tại D rồi cho nên chúng ta chỉ cần chứng minh cho cặp cạnh kia tỷ lệ 2 cặp cạnh tỷ lệ thôi chúng ta xếp lập tỷ số rồi nhé bây giờ chúng ta có là FD chia ED bằng FD chia ED bằng do FD gấp đôi HD đúng không nên là FD gấp đôi HD và ED gấp đôi DC cho nên chúng ta sẽ thay bằng HD trên CD FD trên ED bằng HD trên CD vì FD gấp đôi là HD còn ED gấp đôi là CD thế nhưng HD trên CD thì lại nào HD trên CD thì lại tương ứng với tỷ lệ HD trên CD này đây là 2 cạnh tương ứng của 1 cặp tang giác đồng dạng cho nên nó lại bằng HD trên CD cho nên nó lại bằng BD BD trên AD chúng ta có bằng BD trên AD BD trên AD thế thì điều này vừa khớp với điều chúng ta mong muốn đó là FD trên ED FD trên ED bằng BD trên AD như vậy chúng ta có được cặp cạnh tỷ lệ rồi và dẫn đến là 2 tang giác đồng dạng như vậy việc chúng ta phát hiện là 2 tang giác đồng dạng là ok rồi thế thì bây giờ công việc của chúng ta là cần đi chứng minh cho BF vô gốc AE thế thì chúng ta có như này khi 2 tang giác đồng dạng khi 2 tang giác đồng dạng thì chúng ta có gốc B sẽ bằng gốc A chúng ta sẽ có gốc B bằng gốc A thế thì bây giờ chúng ta gọi tới BF chúng ta gọi tới BF các cái AE tại điểm điểm Q thì chúng ta có gì xét tang giác FQA và tang giác FDB đây là 2 tang giác mà có gốc F đối đỉnh bằng nhau gốc A và gốc B bằng nhau tức là đây là 2 tang giác mà có 2 cặp gốc bằng nhau thì chính tọa cặp gốc thứ 3 này cũng sẽ phải bằng nhau nghĩa là bạn Q này sẽ vuông và bạn Q vuông chứng tỏ là cái BF vuông gốc AE bây giờ chúng ta có điều phải chứng minh cho nên bây giờ chúng ta sẽ nói thêm như này do tang giác BDF và tang giác ADL bằng nhau cho nên là chúng ta có có cái gốc FBD bằng gốc FAQ gọi Q là dao của BF và AE thì chúng ta sẽ có gốc F BD FBD bằng FBD bằng chúng ta có FBD bằng EAD FBD EAD vì đây là 2 gốc tân ứng của 2 tang giác đồng dạng nhưng cái FAD đấy nó chính là gốc FAQ FAQ đấy bây giờ xét 2 tang giác FA xét 2 tang giác FAQ và FBD có 2 cặp gốc tân ứng là bằng nhau đúng không có 2 cặp gốc tân ứng bằng nhau đồng dạng đi 2 tay này đồng dạng đi FAQ và FBD FBD nên gốc Q và gốc D nghĩa là ta được gốc FQA sẽ bằng gốc FDB và do đó bằng 90 độ và tận suy ra điều phải chứng minh thì suy ra BF gốc với AE chúng ta có điều phải chứng minh ở đây lại động chạm câu 3 này nó lại động chạm đến vấn đề là cần phát hiện ra 2 cặp tang giác đồng dạng trong đó chúng ta để ý tang giác BFD đồng dạng với tang giác AFD thì AC là trung tuyến của tang giác ADE còn BH là trung tuyến của tang giác BDF đây là 2 trung tuyến tương ứng cho nên nó tạo ra 2 tang giác con cũng sẽ đồng dạng 2 tang giác con tương ứng cũng sẽ đồng dạng đây là 1 tình huống phổ biến