Cho 100 số trong bảng 10x10. Chứng minh 2 số kề nhau có hiệu ≥ 10. Đề thi toán Chuyên

Xin chào các bạn, đây là đề thi môn toán chuyên vòng 2 trường Đại học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội dành cho 1.100 học sinh đăng ký lớp 10 chuyên toán tin gồm 4 câu, thời gian làm bài 150 phút vào sáng ngày 5 tháng 6 vừa qua Nhìn qua một lượt, quả thật thấy đề thi này rất chất lượng Được in tốt, rõ ràng Còn giải được hay không thì chưa rõ Và AD ấn tượng với câu số 4 một điểm và muốn giới thiệu với các bạn Viết 100 số nguyên dương đầu tiên 1, 2, 3, v.v. chủ tế 100 vào một bảng ô vuông kích thước 10x10 một cách tùy ý sao cho mỗi ô được viết đúng một số Chứng minh rằng tồn tại 2 ô kề nhau, có cạnh chung mà 2 số viết ở 2 ô này có hiệu lớn hơn bằng 10 Khá khó hiểu 100 số nguyên vào 100 ô trong bảng 10x10 Nhìn vào đây đã thấy luôn rồi Có tồn tại hiệu 2 số giữa 2 ô kề nhau bằng 10 rồi Và đây nữa Nhưng làm sao để chứng minh được nó Các bạn hãy thử và đưa ra ý kiến của mình nhé Trước khi đi vào bài toán này AD có một bài toán tương tự muốn giới thiệu với các bạn Là cho một bảng n x n được điền bởi các số nguyên từ 1 cho tới n bình phương một cách tùy ý, không có số lào lặp lại Chứng minh rằng tồn tại 2 ô liền kề nhau có đỉnh chung hoặc có cạnh chung mà 2 số viết ở 2 ô này có hiệu lớn hơn hoặc bằng n cộng 1 Ở đây chúng ta có thêm là các ô liền kề chung đỉnh hoặc cạnh khác với đề bài bên trên của chúng ta Như vậy mối quan hệ giữa các ô theo 3 hướng là ngang, dọc và chéo Ta có thể chứng minh điều này như sau Giả sử rằng hiệu giữa 2 ô liền kề nhỏ hơn n cộng 1 Trái với yêu cầu của chúng ta ban đầu Nếu chúng ta bắt đầu đi từ ô chứa giá trị 1 Chúng ta phải di chuyển nhiều nhất là n chứa 1 ô Để đến được ô có giá trị là n bình phương Theo cả 3 hướng là ngang, dọc và chéo Với giả sử ở trên là hiệu giữa 2 ô nhỏ hơn n cộng 1 Thêm vào đó là số lần di chuyển tối đa là n chứa 1 Khi đó, hiệu giữa ô có giá trị lớn nhất là n bình phương và 1 sẽ nhỏ hơn n cộng 1 nhân với n chứa 1 bằng n bình phương chứa ti 1 Hay nói cách khác là n bình phương chứa ti 1 lại nhỏ hơn n bình phương chứa ti 1 Đây là một điều mâu thuẫn Nên hiệu giữa 2 ô liền kề ít nhất phải là n cộng 1 Và ta chứng minh được điều này Cùng nhìn lại vào vấn đề ban đầu của chúng ta 100 con số và 2 ô kề nhau chỉ khi có cạnh chung Nên ta không thể dùng cách của bài toán ở trên được Ở đây ta cần xếp theo từng hàng hoặc từng cột Mà các con số được điền một cách ngẫu nhiên không có một quy luật nào cả Hãy xem lời giải được đưa ra như sau Giả sử rằng hiệu của 2 số được điền ở 2 ô kề nhau bất kỳ là nhỏ hơn hoặc bằng 9 Xếp các số lớn nhất ở mỗi dòng và mỗi cột Gọi m nhỏ là số nhỏ nhất trong các số này Không bất tính tổng quát, giả sử m nhỏ là số lớn nhất của dòng y Xếp cột gì bất kỳ Gọi m là số lớn nhất của cột này Và a là số được điền ở giao giữa dòng y và cột d Ta có M lớn, lớn hơn hoặc bằng m nhỏ, lớn hơn hoặc bằng a Vì hiệu giữa 2 số được điền ở 2 ô kề nhau bất kỳ đều không vượt quá 9 Nên trong các số ở cột d, phải có một số thuộc tập hợp a bằng M Nm cộng 1, Nm cộng 2, v.v. cho tới Nm cộng 8 Vì sao lại là như vậy? Do m là số nhỏ nhất trong các số lớn nhất ở mỗi hàng và mỗi cột Như vậy, ở mỗi cột đều có một số thuộc tập a Mà tất cả có 10 cột Nên tồn tại 2 số bằng nhau ở 2 cột khác nhau Và do đó điều này nằm mâu thuẫn so với đề bài Vậy phải tồn tại 2 số được điền ở 2 ô kề nhau nào đó Mà hiệu của chúng không nhỏ hơn 10 Một bài toán logic khá là khó hiểu Quả thật lấy được điểm này thì chua quá Nhưng có lẽ sẽ có nhiều bạn sẽ có những ý kiến hay và cách dài tốt Và nếu có những góp ý để hoàn thiện, hãy cùng chia sẻ và để lại ở dưới phần bình luận nhé Cảm ơn các bạn Cảm ơn các bạn đã theo dõi Hãy để lại những chia sẻ phía dưới và đăng ký kênh để cập nhật các video hấp dẫn