Hoc toán dễ hiểu nhất - Đạo hàm có ý nghĩa như thế nào!

Theo các bạn ngọn núi nào khó leo nhất? Có phải đỉnh Everest, vì nó là ngọn núi cao nhất? Hay là đỉnh Phan Xi Phang của Việt Nam chúng ta? Chúng ta đang nói đến độ khó khi leo núi. Ngoài độ cao của ngọn núi thì còn nhiều yếu tố khác phải xét tới. Độ dốc là một trong các yếu tố đó. Chúng ta hãy xem xét hai ngọn núi này. Ngọn núi bên trái rõ ràng cao hơn. Nhưng ngọn núi bên phải sẽ khó leo hơn, vì nó dốc hơn. Câu hỏi đặt ra ở đây là, độ dốc này có nghĩa là gì? Hãy nhìn vào ví dụ tiếp theo. Chúng ta có hai đường thẳng. Đường bên phải rõ ràng là dốc hơn đường bên trái. Nhưng làm sao có thể chứng minh một cách cụ thể rằng, đường thứ hai là dốc hơn? Một cách đơn giản là vẽ các đường ngang và dọc như thế này. Đo độ dài. Và tìm tỷ số giữa chiều dài dọc với chiều dài ngang. Thay thế các giá trị và chúng ta nhận được 1 và 1,5. Tỷ lệ thứ hai rõ ràng là lớn hơn. Điều này cho chúng ta biết rằng, nếu chúng ta đi dọc theo các đường này, tỷ lệ này thể hiện khoảng cách dọc bằng bao nhiêu lần so với khoảng cách ngang. Vì vậy, nếu tỷ lệ càng cao, thì độ dốc càng hơn. Ta cũng có một cách khác để biết đường nào dốc hơn. Đó là tìm góc này. Góc nào lớn hơn, thì đường tương ứng dốc hơn. Theo lượng giác, góc này có mối liên hệ với hai đường thẳng này. Tan của nó chính bằng tỷ lệ giữa cạnh đối với cạnh kề. Nó là số đo độ dốc của đường thẳng. Bây giờ, đối với đường cong này thì sao? Độ dốc của đường cong này là gì? Và nó có ý nghĩa như thế nào? Đạo hàm sẽ giúp chúng ta. Đường cong này có thể được biểu diễn bởi một hàm số. Và chúng ta sẽ thấy rằng độ dốc này được xác định thông qua đạo hàm của một hàm. Vì vậy, một câu hỏi nữa được đặt ra. Các vị trí khác nhau của đường cong sẽ có độ dốc khác nhau. Chúng ta thấy, khi chúng ta di chuyển trên đường cong từ bên trái sang bên phải. Nó càng ngày càng dốc hơn. Hãy tập trung vào điểm B. Độ dốc sẽ là bao nhiêu tại điểm này? Trước tiên hãy để tôi nói với các bạn một vấn đề. Một đường cong trong một vùng rất nhỏ xung quanh một điểm. Có thể coi nó xức xỉ là một đường thẳng. Và thẳng này là đường tiếp tuyến tại điểm này. Hãy ghi nhớ kỹ, nó sẽ giúp giải quyết vấn đề của chúng ta. Hệ số góc của đường cong tại một điểm, sẽ bằng hệ số góc của đường tiếp tuyến tại điểm đó. Và chúng ta đã biết, với cách tìm hệ số góc của một đường thẳng. Vậy làm thế nào để chúng ta tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến tại điểm này? Trước khi trả lời câu hỏi này, hãy xem tại sao chúng ta lại quan tâm đến việc tìm hệ số góc. Chúng ta hãy quay trở lại với hàm số giữa 2 biến X và Y. Một hàm số cho chúng ta biết giá trị của một biến phụ thuộc vào biến khác như thế nào. Vì vậy, nếu giá trị của X thay đổi, từ X0 thành X0 cộng với delta X. Thì giá trị của Y bằng F X0 cũng sẽ thay đổi, là Y0 cộng delta Y, bằng F của X0 cộng delta X. Khi đó, tỉ lệ delta Y so với delta X cho chúng ta biết tốc độ, mà giá trị của Y thay đổi cương ứng với sự thay đổi của X. Ví dụ, với 2 tỉ lệ này. Trường hợp thứ 2 cho thấy giá trị của Y sẽ thay đổi nhanh hơn. Tốc độ thay đổi này của một hàm thực sự liên quan đến độ dốc của một đường cong. Hãy xem tại sao. Giả sử đổi thị của hàm số này là một đường thẳng. Đây là điểm P có tọa độ X0 Y0. Khi giá trị của X thay đổi với delta X, chúng ta đặt đến điểm này. Bây giờ xem xét tỉ lệ delta Y so với delta X. Chúng ta đã thấy trước đó, đối với một đường thẳng, tỉ lệ này là thước đo độ dốc của nó. Hay tỉ lệ thay đổi của Y so với X chính bằng với hệ số góc của đường thẳng này. Hệ số góc của một đường thẳng là một hàng số. Sẽ ra sao nếu độ thị của hàm số là một đường cong? Độ dốc tại một điểm cho chúng ta biết tỉ lệ thay đổi tại điểm đó. Mà chúng ta đã thấy trước đó, rằng trong một vùng rất nhỏ xung quanh một điểm, đường cong có thể được coi là một đường thẳng. Nên đây là đường tiếp tuyến tại điểm này. Vì vậy, chúng ta thấy rằng độ dốc của đường này bằng với tốc độ thay đổi ở chính đó. Nhưng chúng ta cũng biết rằng tùy thuộc vào điểm trên đường cong, độ dốc sẽ thay đổi. Nên, điều này có nghĩa là, tùy thuộc vào giá trị của biến X, tốc độ thay đổi cũng sẽ khác nhau. Hãy cụ thể hóa nó. Ví dụ hàm Y là thể hiện đường bay của một quả bóng, và X là thời gian. Khi đó, tỷ lệ quãng đường chia thời gian chính là là tốc độ của quả bóng. Trường hợp thứ nhất, chúng ta biết rằng tốc độ thay đổi là hàng số. Nên tốc độ của quả bóng sẽ không đổi trong suốt quá trình chuyển động của nó. Còn trường hợp thứ hai, tốc độ thay đổi tại từng thời điểm. Nên tốc độ này sẽ cho ta biết tốc độ tức thời của quả bóng. Vì lý do này, nên tốc độ thay đổi của một hàm số tại một giá trị cụ thể là X0, được gọi là tốc độ thay đổi tức thời tại X0. Ta có thể kết luận rằng, hệ số góc, hay độ dốc của đường tiếp tuyến này cho chúng ta biết tốc độ thay đổi tức thời của hàm số tại điểm đó. Độ dốc càng lớn thì hàm số thay đổi càng nhanh, ngược lại độ dốc nhỏ khi hàm số thay đổi chậm. Nhưng làm sao để chúng ta tìm được độ dốc, hay tốc độ thay đổi tức thời này? Trước tiên, chúng ta tìm tốc độ trung bình trong một khoảng thời gian delta X nào đó. Tại X0, khoảng cách đi được sẽ là giá trị này. Và tại X0 cộng với delta X, nó là như này. Vì vậy, tốc độ trung bình bằng khoảng cách đi được trên khoảng thời gian delta X. Đối với một hàm, tỷ lệ này được gọi là tốc độ thay đổi trung bình. Tiếp theo, giả sử chúng ta vẽ một đường thẳng nối giữa hai điểm này. Nó được gọi là đường cắt tuyến. Chúng ta thấy rằng độ dốc của cắt tuyến này, là tốc độ thay đổi trung bình trong khoảng thời gian delta X. Nên chúng ta thấy rằng, tốc độ thay đổi trung bình giữa hai giá trị của X, bằng độ dốc của cắt tuyến nối giữa các điểm tương ứng trên đường cong. Nhưng nó chưa phải là giá trị tức thời. Làm cách nào để chúng ta tìm tốc độ tức thời từ tốc độ trung bình này? Trong khoảng thời gian ngắn hơn, khi delta X có xu hướng tiến tới 0. Chúng ta nói rằng khi giới hạn delta X có xu hướng về 0, thì tốc độ trung bình tiến tới tốc độ tức thời. Tốc độ tức thời này là tốc độ thay đổi tức thời tại X0. Đoạn thẳng của điểm ta kể vừa rồi cũng dần tiến tới 0. Điểm quy càng ngày càng tiến tới điểm P. Do vậy, đường thẳng sẽ chỉ đi qua một điểm P, hay nó là đường tiếp tuyến tại điểm P. Đây là lý do tại sao chúng ta dùng tới đạo hàm. Chúng ta tìm được tốc độ thay đổi tức thời của một hàm, hoặc hệ số góc của một đường tiếp tuyến. Bây giờ, ở đây thay vì viết là tốc độ thay đổi tức thời của hàm số tại điểm X0, chúng ta nói rằng đạo hàm của hàm số tại X0. Đạo hàm thường được ký hiệu bằng ký hiệu DI trên DX. Vì vậy, đạo hàm của hàm tại một giá trị cụ thể của X là tốc độ thay đổi tức thời của nó tại thời điểm đó. Cảm ơn các bạn đã theo dõi. Hãy để lại những chia sẻ phía dưới và đăng ký kênh để cập nhật các video hấp dẫn.