不公開龍騰學測數A好好學複習講義L5例10

87頁的單元五 學範例的第十題 那標題叫二項式定理的應用 那二項式定理就在上面了 就是 如果你有 X加Y的n次方的展開式 就會是Cn0Sn4Y的零次 加Cn1Sn前一次Y的一次 加Cn2Sn前二次Y的二次 一直到CnnS0次Y的n次 你可以觀察到就是說 它這個Cn下面取的數字是跟著Y的次方 所以像Cn取2 你看這邊就是Y的二次 Cn取1 那就是Y的一次 Cn取0 這是Y的零次 那X的部分呢 因為總共這個X加Y的n次 所以總共就要n次方 所以如果Y是零次方的時候 X就要n次方 這樣n次零次合起來就是n次 那如果Y是一次的話 X就是剩下n減一次 總共要n次 如果Y是二次的話 X就剩下n減二次 它們合起來都是n次 就是總次數都要是n次 所以你就會發現說 它如果是從X加Yn次方的展開 第一個如果你是X的n次方的話 那Y就是零次 然後接下來X次方就是下降 X次方就下降 然後Y的次方就上升 然後總次都是n次 那你的C呢 下面取的數字 是可以跟著Y的次方在動的 或者是這樣 因為Cn0就是Cnn Cn取n Cn取1就是Cn取n減1 Cn取2就是Cn取n減2 Cn取n就是Cn0 那所以如果你今天是選下面這種寫法 那這個時候它就是跟著什麼 跟著X的次方在動 這時候就是跟著X的次方動 所以下面這個就是跟著 X次方動 都可以 這兩種寫法都可以 那比較常見的問題就是說 它展開之後呢 A加Y的n次方它會有n加一項 注意有多一項 不是n次方就是n項 是n加一項 因為它有零子 然後它的一般項呢 就是Cn取多少 Cn取r 那如果是r的話呢 這邊就Y的r次 根據我們上面的約太的寫法 你也可以反過來 你也可以用Cn取n減r 或者是Cn取n減r 那這個時候就是跟著X的次方 都可以 那常見的應用呢 就是說把Y當作1 就是說你這個 把Y當作1 然後把它反過來寫 它就X寫後面 然後Y1要寫前面 那這時候你把它寫開 它就會是Cn0 加Cn1X1次 加Cn2X2次 你看它這時候是跟著什麼 跟著X次方動 它的取的數字是跟著 跟著X次方 所以我說都可以 原來它是跟著Y次方的 那Y當1之後呢 它乾脆就跟著X次方 那這樣寫就是 先一開始沒有 X就是常數項 1加Xn次方展開會有一個常數項 就是沒有X 就是X0次啦 Cn0 接下來呢 X會有1次 X2次 X3次到Xn次 最高就是Xn次 那它取的數字就是 Cn0 Cn1 Cn2到Cnn這樣 那這個也是一樣 展開會有n加1項 那一般項呢 就是Cn取R 然後XR次這樣 那也有兩個常見的運用 就是說如果 令X等於1的時候 這個式子 如果令X等於1 那你就會是2的n次方 1加1嘛 1 所以1加1就2 2的n次方 那右邊呢 就是1的任何次方都是1 所以就只剩下那些C項加 Cn0 Cn1加Cn2加到Cn取n 那所以你看到 如果一串C Cn0加Cn1加Cn2 加到Cnn的話 那就是2的n次方 這是一個運用 那如果你去令的是 X叫-1而不是1的話 那這個時候變成1加-1 1加-1就是1減1就0 所以左邊就變成0了 那右邊就會是Cn0 然後Cn1的-1 -1的話就起到前面就是-Cn1 然後-1的平方負負則正 就回到正的 所以加上Cn2 所以Cn0-Cn1加Cn2-Cn3 然後這樣一直下去 正負交錯 如果是用-1在代的 就會正負交錯 好那這是二項式定理的一些基本觀念 那我們來看今天這個題目 它是說 有一個正整數n 它的個位數字 就可以視為 n除以10的餘數 個位數字就是 n除以10的餘數 你一邊做題 你就是把一些 關鍵字稍微畫重點 那n如果是用末兩位數字 末兩位數字 那就是n除以10的二次方的餘數 到末 所以就知道說 一直類推就知道 n的末k位數字 那就是n除以10的k次方的餘數 那現在問你 11的15次方 這就是那個大n 然後要去除以末三位數字 末三位數字 就是10與10的三次方的餘數 所以這個就是 n除以 10的三次方的 餘數 所以你會希望看到 10跟10有關的數字 那11離10很近對吧 11就是10加1 或者1加10 那你1加10的15次方 你就可以想到什麼 上面有個1加x 的n次方的展開式 Cn0 Cn1x Cn2x平方 Cn2x三方 一直類推到最後一個 Cnnf是n次嘛 好所以你就用這個把它展開 n用15 然後x用10 好那這樣就得到1加10的15次方 C15取0 好那 那個 這個就是C15取0 加C15取1 乘以 乘以10 加C15取2 乘以10的平方 加C15取3 乘以10的三次方 那一直推一推 那你要除以10的三次方餘數 是不是 這個餘數只要留什麼 10的二次方以下 三次以上的除了 所以後面都不需要了 所以呢就是於什麼 於C15取0 就前面啦 加C15取1 乘以10 加C15取2 乘以10的平方 那給它算出來 C15取0就是1種 C15取1就是15種 然後乘以10 那C15取2呢 就是15乘14 下面2乘1 留一下 105 那105再乘以10的平方 就是10500 那這裡加起來是多少呢 這裡是150 所以10651 那這時候除以什麼 10的三次方 10的三次方就是1000 那就是於什麼呢 後面這個就是餘數了 這個就是餘數了 651 這樣 這樣就完成了 就是你10651算完之後 所以你剩下這個 加完10651 然後你除以10的三次方 除以1000 除1000就是要留後面三位 以上1000就是除掉了 所以餘數就是這個651