Louis Le Grand - pour classes préparatoires en maths- L’inégalité de Cauchy-Schwarz ex230

[Musique] bonjour à tous Aujourd'hui exercice donc pour se préparer à faire des vra mat avec l'inégalité de Kochi Schwarz pour les intégrales on va prendre A et B de réel donc a strictement plus petit que B FG deux fonctions continues de l'interval à dans R et on se propose d'établir donc cette inégalité voyez avec à gauche l'intégrale de AB de F T g t DT donc en valeur absolue et on va montrer que c'est tout le temps F égal à donc la racine carrée de l'intégrale de F au carré FO la racine carrée de l'intégrale de g au carré voilà et donc on va vous aider parce que c'est loin d'être évident mais vous allez voir qu'une fois qu'on a l'idée c'est une jolie démonstration assez efficace et assez simple donc on va considérer l'expression s Dex donc intégrale de AX de au carré donc F t + x g t donc DT voilà première chose quelle est la nature de cette expression on peut dire que FG son conduit sur AB ça sert à quoi ben débord ça sert à considérer l'intégrale le produit hein f² g² sont continu on a aussi F x gue sur V donc vous voyez que les trois intégrales sont définies pour s x bien la fonction qui t associé F t + x g t car est elle aussi continue sur AB donc il y a aucun problème d'intégration sur tout cet exercice d'accord on va pouvoir faire la linéarité sans aucun souci s X et bien je vais développer le carré qui est à l'intérieur donc ici j'auraai F car t plus le double produit 2x F T g t t + g² de T DT voilà c'est la seule chose qu'on peut faire pour l'instant alors on a dit il y a pas de problème d'intégration donc on va pouvoir et bien séparer en trois intégrales donc ça fait intégral de f² T d t plus alors par linéarité le 2x va sortir donc 2x intégral de A à B de FT GT DT c'est très bien parce que dans notre démonstration on veut en faire apparaître le produit F de T g de t on VO f² il nous faut g²r bien regardez on a aussi donc 3è intégrale de A B de g² de T DT et avec un X au carré devant donc je sors le X car alors je vais remettre de l'ordre parce que ici en fait ce qu'on ne voit pas vraiment immédiatement c'est qu'il y a TR réel qui ne dépendent pas de X c'est les trois intégrales et donc en appelant grand a cette première intégrale grand B deux fois celle-ci et grand C la dernière on a donc SX qui est sous la forme grand AX sur 2 + grand BX + grand C est égal à donc que a X avec A B et C réel indépendant de X donc ça veut dire que SX c'est bien c'est un en fait un trinôme donc en X donc c'éit une expression polynomiale de degré inférieurou égale à 2 2ème partie de la question à valeur dans R+ pourquoi est-ce que SX serait tout le temps positif et bien on sait que quel que soit T appartenant donc à l'intervalle AB bien FT + X g t au carré c'est un carré c'est positif pas de problème d'accord donc mais en intégrant sur AB avec a plus petit que B c'est dire que donc l'intégrale de A à B de FT + x g t au carré DT est donc positif l'intégral d'une fonction positive sur un intervalle est positive donc pour tout x réel s Dex est positive ou nul donc SX appartient à R+ pour la question suivante on a un trinô donc qui est toujours positif nul c'est un tr icient réel hein et bien ça veut dire que si est toujours supérieur égal à zé c'est qu'il a au maximum une racine réelle donc son discriminant est forcément soit égal à é0 soit strictement négatif donc il est inférieur égal à 0 d'accord ça c'est vraiment important parce que vous savez que s'il y a deux racines réelles différentes il y a forcément un changement de signe sur not trinô et donc forcément un endroit où ça sera bien négatif strictement donc on va calculer le discriminant en fonction de nos grand A grand B grand C ça fait donc grand b² - 4 grand A grand C et si on regarde avec nos intégral mais ça donne quoi B car donc il y a un 2 ça fait 4 fois mon intégral donc de A à B de FT g t DT au carré moin 4 fois donc AC donc c'est le produit des deux intégrales donc l'intégral de F t che 2T ici au carré l'intégrale de A à B donc de g² T DT j'ai mis d'abord c tout de suite comme ça on a F en prier g en 2e mais si on fait grand A FO grand C on a d'abord le g²r bien sûr ici en factoriseant par 4 et bien on obtient ceci donc 4 fois l'intégrale de A à B de FT g t donc au carré moins le produit de nos deux intégrales voilà on est pas loin parce que maintenant on sait d'après ce qu'on a dit juste avant que Delta il est négatif ou nul et donc en divisant par 4 qui est positif et en mettant les choses du bon côté on obtient donc l'intégrale de A à B de FT g t au carré donc DT est inféri égal à l'intégral de AB de f² de T DT fois l'intégral de A B de g² de T DT on n'est pas loin il y a plus qu'à prendre racine carré hein et régler les petites valeurs absolues et avant de passer donc à racine carrée le signe alors ici on a intégral de A B de f² DT et de g² de T DT on est sur AB f² c'est positif c'est un carré g²ré est positif donc l'intégrale d'une fonction positif sur un interval est positif donc mes deux intervales ici elles sont positifes important parce que maintenant on va passer à la racine carrée hein donc ici toutes nos intégrales ici sont positives pareil l'intégral de AB donc de F de T G t car DT est positive la fonction racine carée est croissante sur R+ pourquoi j'insiste sur la positivité de chaque si de ce terme là et ici de chacun des deux facteurs donc ça veut dire que là on a conservation de l'ordre et tout tout ça est en tantort positif là on a une racine carrée d'un carré je rappelle chose importante que quel que soit x réel la rac carrée de X 2 c'est valeur absolue de X et que ici on a racine carrée d'un produit que quel que soit X et Y positif la racine carrée du produit XY elle est égale à au produit des de racines carrées ça c'est il faut que X Y soi positif pourquoi il faut vraiment être rigoureux et donc vous voyez on a donc à gauche valeur absolue de l'intéral de A B de F T g det donc DT voilà il y a plus le carréin il y a plus la racine mais il y a une valeur absolue ici inférieur ou égal donc à la racine carrée ici de l'intégrale de f² de TDT sur AB multiplié par r√ine carrée de l'intégrale de A à B de g² T DT et c'est exactement ce qu'on voulait démontrer donc voici l'inégalité de cochich farce pour les intégrales démontré à l'aideide vous voyez une expression polynomial en X degr inférieur ou ég à 2 qui nous amène un discriminant qui était toujours inférieur égal à 0 et ça nous amène avec un petit peu de rigueur à la propriété à très bientôt