郭园园：为什么身份证号尾号会出现“X”？答案就藏在这幅明朝的古画之中｜中国科学院自然科学史研究所
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郭園園：為什麽身份證號尾號會出現“X”？答案就藏在這幅明朝的古畫之中
郭园园 · 中国科学院自然科学史研究所副研究员
格致校园第26期 | 2022年7月9日 北京
大家好！我是来自中国科学院自然科学史研究所的郭园园，今天非常高兴能在格致论道的舞台上，和大家聊一个关于数学的小话题。有些同学比较喜欢数学，但可能也有不那么喜欢数学的同学。我想通过这个演讲，让大家换一个角度来看待数学。
今天的主题是《身份证里的数学》。目前我国居民身份证号码总共是18位，前17位都有具体含义。前面的6位，是首次办身份证时所在的省、市的代码，中间是出生的年、月、日，后面是申请户籍时派出所的顺序码。
唯独最后一位数字，是通过前面的数字进行简单的数学运算后计算出来的。它叫做什么呢？答案是校验码。今天，我们就来看一下它究竟是怎么算出来的，为什么要进行这样的运算。
前两天，我女儿拿到了她的第一张身份证，她很兴奋地把我们大人的身份证都拿到一块。这个时候她发现：“为什么我身份证上最后一位是字母X，而你们身份证的最后一位都是数字？”
这是一个小小的数学的运算，但是它蕴含着巨大的力量，是整个系统的安全保障。
其实，这并不是字母X，而是罗马数字里的10。为什么不写10呢？因为如果是10，写出来身份证号码就变成19位了。在编码学中，不一样的数位就不太容易存储或者使用。
那为什么最后一位的校验码会算出10呢？其实，这种算法已经有上千年的历史。而我正好是从事这项研究的，可以给孩子解释一下这个问题。
来自丝绸之路的数学
首先，我们来看一种古老的算法：弃九法。这需要提到一本古代的数学书，而写这本数学书的地点是在这幅古画中。
这幅画叫做《丝路山水地图》，目前收藏在故宫博物院。它是明代嘉靖年间的一幅长轴画，描绘的是从我国西部的嘉峪关到圣城麦加的广阔亚欧平原上的景色。城池用汉字标出，其中在长轴画中间的位置，有一个城池叫撒马尔罕城。
撒马尔罕是哪儿呢？就是今天位于我国新疆西部的乌兹别克斯坦的第二大城市撒马尔罕。在撒马尔罕城的旁边，还有一个小小的角楼，上面标了三个字“望星楼”。它实际上是当时撒马尔罕城旁边的郊区叫兀鲁伯格天文台。
为什么不仅画它的城池，还把天文台画出来？这说明在历史上，我国和沿丝绸之路的各个国家之间不仅进行了密切的经济贸易往来，也进行了密切的科学往来，特别数学和天文的交流是非常频繁的。左图就是画中显示的是兀鲁伯格天文台遗址。当时这个天文台经过岁月的摧残，它的地表部分已经被摧毁掉了。后来经过考古学家的挖掘，发现地下还存在着一个半径非常大的完整的六分仪。
画中的两个人就是今天故事的主角。在公元15世纪初的时候，左边这位是皇帝，叫兀鲁伯格，也就是当时撒马尔罕城的统治者。兀鲁伯格不仅爱江山，而且还爱科学。如果把古今中外所有的皇帝按他们的科学素养进行排名的话，兀鲁伯格应该是名列前茅的。他编订了《兀鲁伯格历》，在当时世界范围内，它的精度都是非常高的。这么喜欢科学的一个人，当然也很喜欢从帝国境内网罗各种数学、天文学的人才。
右边这位是阿尔·卡西，就是兀鲁伯格手下的首席科学家，也是兀鲁伯格天文台的第一任台长。当时的首席科学家不仅要帮助皇帝解决最困难的数学、天文学问题，还要给帝国境内的工匠们、官员们还有小朋友们编订数学书。编的这本书名字叫《算术之钥》，这个名字听起来很怪，其实是当时阿拉伯书籍中比较常用的叫法，就是算术的钥匙。在这本书中包括了跟今天小学和初中类似的内容：算术、代数、几何。
这个算术内容，也包括了整数和分数。其中第一卷是关于整数的运算，比如加法、减法、乘法、除法。还有一个算法很有意思，叫弃九法。
这个图是阿拉伯语的抄本，当时阿拉伯语是撒马尔罕的官方语言，是从右往左书写的。但是我们现在用的阿拉伯数字却是从左往右书写。这个很有意思，因为阿拉伯数字其实是从印度传过去的，这也是一种文明的撞击和融合。
如果你要了解弃九法的话，首先要清楚什么叫弃九数。比如有一个数字是3217，如果把它每一位上的数字连续相加，3加2加1加7等于13。继续把13的每一位上的数字相加，1加3等于4。直到得到个位数字4为止，这个4就叫做3217的弃九数。其实这个弃九数就是3217除以9之后的余数，只不过这种连续相加是一种快速算法，很早以前的数学家就知道了。
弃九数有什么用呢？它关键是要检验运算是否准确。这个时候就有弃九法了，大家想一想，平常在计算加减乘除运算的时候，是不是经常容易算错？古人就很聪明，发明了弃九法。
比如，现在要检查一个乘法运算：3169乘以732等于2319708是否准确。如果没有别的方法的话，只能把它重新算一遍。但是弃九法是怎么检验的？首先把3169的弃九数求出来，它是1。就是把每一位连续相加，最后得到个位数字1。732它的弃九数是3。2319708的弃九数是3。然后我们看一下，1乘以3是不是等于3，结果是准确的。
这说明前面非常大的数字的乘法运算，大概率是正确的。但是如果用弃九法检验是错误的，说明前面的运算一定是错误的。这就是古人的验算方法，充满了智慧。
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