高中電子學_運算放大器_5. 微分器與積分器_5.4 積分器 1_支裕文

各位同學大家好,我是姿余文老師,今天我們所要講授的內容是電子學課程裡面 運算放大器單元下的微分器與積分器。在這個部分,我們要談的是part d,積分器1。 首先我們先來看這個圖,這是一個運算放大器的方塊圖, 那我們的積分器一樣是架構在放大器的規格下面,所以它會有拉負回收。 接下來我們來看傳統的電阻電容串聯電路,輸入是一個方坡, 那我們輸出如果是從電容器兩端取出來的話,那它就是一個積分器, 那它取出來的坡形就像右邊這個圖,如果我們今天輸出的電壓是取自於電容器, 也就是從電容兩端拉出來的話,它就是一個積分電路,它也是一個低通濾波器, low pass filter,那它是把高頻濾掉,它呈現一個落後的狀態, 所謂的落後是輸出電壓落後輸入電壓,輸出電壓落後輸入電壓。 積分器在數學上的積分是表示某函數下的面積值, 而在電子學的積分器,輸出信號為某段時間之內輸入信號的變化量的累積值。 請同學特別注意,這邊是累積值,累積纔有積分的概念,這是一個積分器的電路圖, 那它的輸出是從電容上面去取出來,所以電容輸出我們就把它稱為叫做積分器, 所以根據基本電學的定理,q等於cv也會等於it,所以我們把這個式子拿來這邊用, delta qc,也就是電容裡面的電荷量,會等於電容量c乘上delta vc, 也就是電容兩端的電壓變化,那它也會等於ic乘上delta t, 那ic就是對電容器的充電電流,再乘上時間的變化, 其中delta代表變動量,也就是變化量的意思,delta vc會等於c分之ic乘上delta t。 接下來我們來看這個圖,因為運算放大器的輸入阻抗很大, 所以不會有任何電流流到運算放大器裡面,所以這樣就會造成ic跟ir是一樣的, 所以我們把它寫起來,ic等於ir,會等於vi除以r,vi是我的輸入信號, 所以接下來看,delta vc就會等於ic除以c乘上delta t, 這是剛才推導出來的,那因為ic跟ir一樣,所以把它帶進來, 它會等於ir除以c乘上delta t,那因為ir,ir是等於多少,等於vi除以r, 所以我們再把vi除以r寫進去,所以就會得到rc分之vi乘上delta t, 所以我的delta vc就會等於rc分之vi乘上delta t, 所以最後我們把式子整理一下,delta vo等於負的delta vc, 也是負的電容兩端的電壓,那它會等於負的rc分之vi乘上delta t, 接下來我們來看,tau等於rc,這個東西我們把它稱為叫做時間常數, 那在這邊我們式子裡面會用到tau分之1,那tau分之1就會等於rc分之1, 所以我們等一下會運用到這一塊,所以delta的vo等於負的delta vc等於負的rc 分之vi乘上delta t,那我們把剛才那個帶進去, 所以delta vo就會等於負tau分之1乘上vi再乘上delta t, 因為rc分之1用tau分之1去取代,接下來我們來看幾個整理,第一個 輸出信號經過delta t的時間的變化量累積值,這就是我們的積分,最後的輸出。 其中tau分之1是rc分之1,那這個是一個比例值,第三個 輸出與輸入相位相差180度,所以我們又把它稱為叫做反向積分器。 接下來我們來看一個實例討論,如圖所示,它是一個反向積分器, 如果我今天的輸入信號是1kHz,而且正負8伏特的方坡, 那我的輸出信號會為什麼?假設電容器的初始電壓是0伏特, 已知輸入頻率是1kHz,所以方坡的半週期 delta t1就會等於delta t2,所以我們可以從這個圖上面看到, delta t1是左半邊,是low的部分,delta t2是右半邊,是high的部分。 所以delta t1就會等於delta t2,那它剛好各佔一半, 所以它是週期的一半,所以等於2分之t,其中這個大t就是方坡的週期。 那我也可以把它寫成它是2f分之1,因為t等於f分之1,週期等於頻率的導數, 所以我可以把它寫成2f分之1,然後再把頻率帶進去,就會得到2乘上1kHz分之1, 所以最後算出來是等於0.5ms,所以delta t1跟delta t2的時間都一樣,是0.5ms。 在輸入半週期t1的時間內,它的輸出電壓累積變化值為多少? 所以我們可以把它帶進去,delta vo,delta t1會等於-rc分之vi乘上delta t1。 所以你看,這個圖來看的話,我的輸入如果是一個負電壓的值, 那輸出就會呈現一個上升的斜率,因為它是反向。如果我把數值帶進去, 它就會得到負的1k乘上一個microfarad分之負8伏特, 然後再乘上delta t1的0.5ms,就會得到4伏特。 所以它等於從,在圖上面可以看到從0上升到4伏特,這是在delta t1的部分。 所以上面是輸入,下面是輸出,因為電容的初始電壓為0伏特, 所以在delta t1的時間裡面,我的輸出變化量是delta vo是等於4伏特。 所以就是說,它是隨時間從0伏特線性遞增到4伏特。接下來我們來考慮 另外一個半軸delta t2的時間,它的輸出電壓累積變化量為多少。 一樣的方法,delta vo delta t2就會等於負的rc分之vi, 再乘上delta t2,所以把數值帶進去,變成負的1k乘上一個micro, 分之8伏特,再乘上0.5ms,最後得到負4伏特。 所以我們可以知道,因為delta t1的時間結束的時候,它的輸出電壓在4伏特, 所以在delta t2的時間裡面,輸出的變化量delta vo會等於負4伏特, 而這個負4是從4線性遞減到0,所以從這邊可以看到, 在右邊的圖我們就可以看到,在delta t2的時候,它是從4線性遞減到0。 由以上結果我們可以知道,我們的輸出信號頻率是1k赫茲, 然後vo的峯道峯值是4伏特,那它是呈現一個三角坡。 接下來我們把帕低做一個總結,在數學上的積分是表示某函數下的面積值, 而在電子學的積分器裡面,它的輸出信號是某段時間內輸入信號變化量的累積值。 請同學特別注意這邊的累積值,它是輸入信號變化量的累積值, 這個是一個積分器,它的vo,delta vo會等於負的delta vc, 會等於負的rc,分之vi乘上delta t, 所以delta的vo就會等於負的tau分之1乘上vi乘上delta t, 而這個tau分之1是一個比例值。接下來我們看幾點結論。 第一個,輸出信號經過delta t的時間的變化量累積值。 第二個,其中tau分之1等於rc分之1,那這個是一個比例值。 輸入跟輸出的相位相差180度,所以這個東西我們又把它稱為叫做反向積分器。 以上是part d的內容,希望各位同學能夠回去熟讀並多加練習,謝謝。