高中數學_空間中的平面與直線_空間中的直線_直線的參數式(II)_賴政泓

各位同學大家好,我是賴震鴻老師,現在我要為各位介紹空間中的直線參數式二。 在上一個子題,我們利用了一個例子,讓各位同學瞭解到直線參數式的由來, 現在我們想要看到它的一般化。 假設空間中U向量abc是直線L的方向向量, 而且直線L通過點a,x0,y0,z0, 那這時候我們就可以得到直線L的參數式就會寫成 x等於x0加at,y等於y0加bt,z等於z0加ct,t是時速。 那這個由來就是我們來證明一下, 今天我們知道直線L的方向向量是U向量, 而a點是L上的一個定點,於是直線L就此決定。 那我們假設p點是直線L上的動點, 而我們可以知道ap向量就會與直線的方向向量平行, 於是我們就可以知道ap向量會等於t倍的U向量,這邊的t是時速。 那我們就把ap向量算出來, ap向量就會是x減x0,y減y0,z減z0,會等於t倍的abc。 於是兩個向量相等,我們知道各個分量也會相等, 所以我們就可以解得x等於x0加at,y等於y0加bt,z等於z0加ct,t屬於R。 那顯然呢,如果今天p點與a點x0,y0,z0重合, 那我們顯然滿足此方程式, 也就是此時a點所對應到的參數t的值就是0。 於是我們稱這樣子的一個直線方程式的形式為直線L的參數式。 來歸納一些重點, 以知空間中直線L的參數式是x等於x0加at,y等於y0加bt,z等於z0加ct,t是時速。 我們就可以知道第一個,直線的方向向量U向量就會是a,b,c。 而直線上我們可以明顯的看到通過的一個定點坐標就是x0,y0,z0, 也就是此時t等於0的時候。 那因為我們直線L的方向向量是不為一的, 而且直線上的定點只需要屬於一點, 那我們會知道直線L的參數式其實它的表示法因此也不為一。 好,那我們來看這個例子。 以知空間中兩點a點坐標21-3,b點531,是求直線ab的參數式。 那這時候我們就直接找出兩個條件。 第一個條件就是方向向量,好,我們取ab向量,3,2,4,是直線的方向向量。 那搭配直線通過a點套入直線的參數式,我們可以得到x等於2加3t, y等於1加2t,z等於-3加4t,t是時數,就得到了直線的參數式。 當然我們在這邊同學可能也會以通過b點來做直線的參數式,其實這也是可以的。 再來我們另外一個問題是,如果a點2-1-2,b點311和c點ab-3點共線,是求ab的值。 那這邊我們可能會想到,今天ab兩點是已知的點, 那我如果可以把ab的直線參數式求出來,那c點是在ab直線上, 那我們就可以得到ab兩個值。 於是我們今天就看直線ab的方向向量,我們取ab向量,計算結果是1,2,3, 而且我們取通過的點a2-1,2,於是套入直線的參數式,我們知道x等於2加t, y等於-1加2t,z等於-2加3t,t是時數。 而這時候我們知道三點共線,於是c點的座標會滿足這個參數式, 所以我們把c點的座標帶入直線的參數式,x代a,y代b,z代-5, 於是我們可以得到這個連立方程式。 那這個時候我們由第三個式子,輕易的可以得到t此時等於-1。 那這時候t等於-1代表是什麼意思呢? 就是它會對應到直線上c點的位置, 然而t等於-1我們就可以帶回第一式跟第二式, 就可以求出c點的x座標a就會等於1,y座標b就會等於-3,那c點就得到了。 當然我們還會提供另外一種解法,因為abc三點是共線,這邊有一個示意圖, 所以我們知道ab相量跟我們的ac相量是互相平行的, 於是兩個相量互相平行,我們先把ab相量算出來1,2,3, ac相量算出來a-2,b加1跟-3。 那因為平行的關係,所以我們知道x分量的比會等於y分量的比, 也會等於z分量的比,那我們就會知道1分之a-2其實會等於-1, 2分之b加1也會等於-1,由此可知我們就可以算出a會等於1,b會等於-3。 這個方法其實是沒有透過直線參數式來解,給各位同學參考。 再來,我們剛剛說一條直線的方向相量其實不為1, 而這條直線通過定點也是可以認取,所以直線的參數式表示法也不為1。 現在這個問題要我們說明L1參數式是x等於負1加t, y等於3減2t,z等於3t,t是時數, 跟L2的參數式是x等於負2s,y等於1加4s,z等於3減6s,s是時數。 他要我們解釋這兩個參數式其實表示的是空間中的同一條直線。 好,那我們來看一下,因為L1的參數t的係數是1-2-3, 所以我們就可以知道L1的方向相量就是1-2-3, 而L2參數s的方向相量是-2-4-6, 所以我們就知道L2的方向相量u2就會是-2-4-6。 那這時候呢,很清楚的可以發現L1、L2的方向相量是互相平行的, 因為各個分量乘比例都是1-2。 所以呢,因為方向相量平行, 我們可以知道兩條直線會有兩種狀況,就是平行或者是重合。 好,接下來我們如何判斷兩條直線到底是平行或者是重合呢? 方法是這樣的,我們先在直線L1上取點a-1-3-0, 而這個點a其實就是從L1上參數式最直接取得的那個點。 那今天如果我們知道直線L2也通過a點的話, 那麼這兩條直線就會重合,如果沒有通過a點,他們就會是平行。 於是呢,我就將a點代入L2的參數式, 此時x'-1、y'-3、z'-0會得到如此的方程式。 那由第一個式子呢,我們可以解出s等於二分之一。 但是這邊要注意的一點是,不能就此論斷二分之一就是答案, 因為我們必須要讓y座標、z座標同時要滿足, 所以代到第二個式子發現y座標也滿足, 代到第三個式子發現z座標也滿足。 於是呢,我們就可以確定當s等於二分之一的時候, L2也會通過a點,於是兩條直線就會重合。 再來,歸納一些學習重點。 那今天呢,我們有兩條直線L1跟L2,就是剛剛的那個立體。 那我們說這兩條直線是互相重合的直線, 那這代表什麼意思呢? 就是今天我一點a-1、3、0, 即便兩條直線的參數是不一樣, 但是你看,L1的t代0的時候也可以得到a點的座標, L2的參數s代二分之一的時候會得到a點的座標。 這代表著雖然直線參數式不為一, 但是呢,如果他們是同一條直線, 經過適當的選取參數的值,都可以對應到此直線上的同一點。 以上是我為各位同學介紹的空間中直線的參數式。 那我們知道空間中的直線需要的條件是方向向量與直線上的定點, 而此參數式就決定。 那我們也知道因為方向向量不為一,而定點也只需要是直線上的點, 所以直線的參數式也不為一。 我們也學到了兩條直線,如果他們是一樣的, 那如何去判斷他們是從何的直線? 希望對各位同學有幫助。