動力學_許丁友_質點運動學(2)_曲線運動：直角坐標分量(2)

好,各位同學,我們現在這個單元是要用一些例子 來跟大家介紹說如何用直角坐標來描述曲線的運動 這是我們第一個例子,假設現在有一個氣球 那在任何時刻,它的水平的位置我們都可以用 x 等於 2t 來描述它 x 單位是公尺,t 的單位是秒 然後假設我們知道這個氣球的路徑,它的方程式可以寫成 y 等於五分之 x 平方 那這個題目希望我們來求說,當 t 等於兩秒的時候 這個氣球的速度跟加速度的大小還有方向是什麼 那可以從這個圖來看說,等於我們要知道說當 t 等於二秒 就是等於說 x 位置等於二乘二是四的時候 這個時候氣球所在的位置是 B 點,它的速度及方向是什麼 那這題的特別就是說,它告訴你 x 是 t 的函數,是時間的函數 然後它的路徑方程式 y 是 x 的函數,我們看看怎麼樣來求解 好,首先我們看看速度的部分 那現在 x 的方向的分量它已經告訴我們是 x 位置是 2t,那速度我們就可以直接把它 x 做時間的一次微分 就是做 x dot 的運算,就把 2t 對 t 做一次微分就得到一個常數 2 那它是正的代表它是向右 那 y 方向的分量怎麼辦呢,我們現在就必須要利用微積分的連鎖率 來求得它這個兩個速度分量間的關係 然後所以 v y 這個 y 方向的速度分量就會等於 y dot y dot 就是等於把 y 對時間做一次微分 那我們現在 y 等於五分之 x 平方嘛,我們把它做時間一次微分 就會得到 x 平方的微分就是 2x,然後 x 本身也是時間的函數 所以 x dot 不要忘記,所以就可以寫成右邊這個式子 然後我們說我們現在要求兩秒的時候,所以我們代 t 等於 2 那這個時候我們知道 x 的位置就是 2 乘 2 就是 4,剛剛我們解釋過了 那我們把 x 跟 x dot 代進去,就 x 是 4 嘛,x dot 是題目給的是 2 就是它的速率,就是我剛剛求出來的 那代進去之後呢,這個 y 的速度分量算出來是 3.2 是正的 所以它是向上的,那這個速度它的大小呢 就會是它這兩個 x 分量跟 y 分量的平方向加開根號 我們算出來就是 3.77 每秒公尺 然後它有一個角度,θ 這個θ呢,我們來看就是說它跟水平軸的這個夾角 我們把水平當作參考的那個座標的話 那這個夾角θ呢,我們就可以用 arctangent 來求,arctangent 的 x 分量分之 y 分量 那 x 分量是 2,y 分量是 3.2,那算出來就是 58.0 度 那這個就可以描述說這個速度的大小是 3.77 然後斜上右上的那個夾角是 58.0 度 那這就完整描述這個氣球的速度了 那再來看看加速度 同樣我們必須再用連鎖力來求得加速度的分量間的關係 那 x 方向的加速度分量呢,就是 x 方向的速度分量再對時間做為尾分 那因為它是常數,所以分之後就是 0 那 y 方向的分量呢,就會是我們 y 方向的速度再對時間做一次尾分 那剛剛我們 y 方向的速度已經求出來是 2x 乘上 x dot 那我們再對時間做一次尾分 那這裡面有兩個變數,一個是 x,一個是 x dot 那所以我們知道我們要做一次前微後不微加上前不微後微的動作 會變成兩項 那前面的 x 的尾分就是 x dot 後面的 x dot 的尾分就會是 x double dot 所以有這兩項 那這兩項我們知道 x double dot 是 0 那 x 跟 x dot 我們剛剛已經求出來了 所以最後算出來就會是 1.6 向上 所以說我們知道它的大小就會是 1.6 那它的方向呢,就會知道它是向上 代表它沿著水平的這個軸要轉 90 度往上 這樣就可以完整描述這個氣球的加速度的大小跟方向 好,再來我們看看下一個例子 這個例子是說,現在有一個飛機正在起飛 那在這個短暫的時間內呢,我們發現它的路徑 y 可以寫成 x 的函數 等於 0.001 的 x 平方,範圍是公尺 那如果這個飛機呢,它的 是等數上升的狀態,而且速度是 10 的話 那就,它希望我們求說 當 y 等於 100,就是它飛到 100 公尺高的地方呢 這個飛機的速度跟加速度的大小是什麼 好,那這題它給我們 y 跟 x 的這個路徑的方程式 然後又告訴我們那個,垂直方向的速度是一個等數上升的狀態 好,那我們看看怎麼求 首先我們先看看這個時候飛機的位置 那我們就把,現在是 y 等於 100 代進去 那個 y 等於 0.001 x 平方,就可以把 x 求出來 發現現在這個位置呢,x 是 316.2 公尺的位置 然後我們知道,現在 y 方向是等數 做進行的,所以它的位置呢,y 等於 速度 v y 乘上時間 t 所以,我們就可以把現在的時間求出來 所以 y 代 100,然後速度是 10,代進去就可以把 t 求出來 t 就知道它現在是 10 秒的時候 然後我們就可以開始求速度 那同樣我們必須要用連鎖力來求,因為它給我們是 y 跟 x 的關係 那我們知道,y 的速度呢,會是 y 對 t 做一次微分 那 y 是 0.001 x 平方,那微分之後呢 就會得到右邊這個式子,變成 0.002 x,還有 x dot 那 x dot 就會是 x 方向的速度 v x 然後我們把這些數字都代進去 我們現在知道,y 的速度一直都是 10 然後那個 x 現在是 316.2 公尺這個位置 所以裡面變成只有 v x 是未知數 那 v x 就可以馬上把它求出來,得到是 15.81 公尺每秒 所以說這兩個分量我們現在都知道了 v x 是 15.81,v y 是 10 所以它的速度的大小就會是這兩個平方加在開根號 算出來是 18.7 每秒公尺 然後加速度的方面呢 我們還是要再用一次連鎖力 把我們現在那個速度的方程式再做一次微分 來得到它 那我們現在,y 方向的加速度呢 會是 y 方向的速度再對時間做一次微分 那 y 方向的加速度我們剛剛已經求出來是 0.002 x 上 x dot 所以現在有兩個變數在裡面 所以要把它做前微後不微 加上前不微後微這兩個動作 就變成兩項 這兩項圍出來就是長成這個樣子 那裡面的 x double dot 就會是所謂的 ax 那 x dot 就是 vx 就把它寫成右邊的這個式子 那我們現在已經知道說 x 現在是 316.2 公尺 然後現在的 x 方向的速度是 15.81 然後 y 方向的加速度是 0 因為它是等數運動 我們把它全部代進去 我們就發現說這個式子裡面只有 ax 是未知數 那 ax 就可以把它求出來是負 0.791 公尺每秒平方 那就代表說 它這個加速度的大小就是 0.791 那它的方向呢 就會變成往左的 因為它是負的 代表說這個飛機它加速度是往左 大小是 0.791 公尺每秒平方 直接完整描述這個飛機的運動了 那這個單元呢 我們用一些簡單的例子來示範給大家看看說 如何用直角坐標的方式來描述一個曲線的運動 然後接下來我們會介紹一下 拋物線這個特例的形式給大家做介紹 那我們等一下看下一個單元