高中數學_數列級數_單元二 級數_(六)n個連續正整數的平方和與立方和_曾政清

接下來我們要介紹極速的第六個部分,n個連續正整數的平方和跟立方和。 我們先回顧一下,剛剛σ求和的過程當中我們有得到的,如果每一項都是1, 前n項的和就是n個1相加,那會得到n。那第二個部分各位都非常熟悉了, 就是前n項的和就是1加到n,那各位就是等差極速的求和公式, 就是1加n乘上像素n再除以2。這兩個部分都是常用的極速公式, 那我們接下來看3跟4,那3的部分是平方和,4的部分是立方和。 那這個連續的平方和跟連續立方和,到底是怎麼構思的呢?我們來看以下的說明。 首先我們看到這個三角形,這個數字三角形,它就是代表1平方加2平方加3平方, 怎麼產生的呢?你看我把數字填上去,如果只有1,就代表1等於1的平方。 如果2個2呢,就代表2加2相加,會得到2的平方。 來,3個3相加,會得到3加3加3,就等於3的平方。 透過這樣的方式怎麼求平方和呢?我們看下面一個,就很清楚了。 好,接下來我們看這個數字三角形,它就是一個1,1平方,2個2,2平方,3個3,3平方。 我們旋轉120度,同樣的數字三角形,再旋轉120度,得到3個三角形。 接下來我們把3個三角形疊在一起,你可以發現,它剛好都會呈現6個7的總和。 好,6個7的總和,就是我剛剛跟各位講的。那麼,這個6個7的總和就可以表成1個7,2個7,3個7。 接下來,我們可以看出來,這些數字的總和,就是我剛剛跟各位提到的。 那麼,如何把這個7的總和再做運算,我們再看下面的說明。 我們請看相對應的位置,會得到是7,好,一樣的,相對應的位置也是7。 右下角也是7,其實每個相對應的位置都是7。 所以,我們可以知道,上面3個三角形的數字和,就會等於下面6個7的總和。 我們請看這個說明,大家就會很清楚了。3個三角形,分別代表是1平方,加2平方,加3平方。 那它們的數字和相加,相對應的位置就是,可以得到是1加3加3,是7。 那總和有幾個7呢?1加2加3。所以,我們可以推導出一個式子,這個式子就是,把前面1加2加3, 透過等差極數的求和,變成是1加3,乘上像素3,除以2。 那後面那個7呢,就是2個3再加1,相對應的位置都是可以這樣得到。 那我們就可以運用這樣的想法,來進行說明。 底下我們再做一個動畫,給各位做詳細的解說。 好,那接下來就是1到n平方,1到1平方。那一樣的,我們把3個三角形,各旋轉120度出現了。 然後再把這3個三角形疊合起來,那每一個三角形的相對應數字位置,都是2n加1。 那總和有幾個2n加1呢?是1加到n,1加到n。 所以換句話說,有多少個2n加1呢?是1加到n。 那我們透過等差極數求和公式,就可以推導出,1加n,乘上n再除以2。 所以可以得到,畫面上所顯示的,下面這個三角形它的總和,就是1 n乘n加1,乘上2n加1。 其中最右邊的2n加1是每一個數字相對應的位置,而前面的1 n乘n加1,剛好就是所有2n加1的數字個數。 換句話說,上面三角形有3個,每一個三角形它的數字和都是相等的。 換句話說,每一個三角形的數字和都是1平方到n平方。 換句話說,我們就可以得到一個結論。 什麼結論呢?這個結論就是,數字三角形它總共有3個,構成的是1 n乘n加1,再乘上2n加1。 那三個三角形,每一個數字和都相等,所以一個三角形的數字總和,就會得到是1 1乘上n,乘上n加1,乘上2n加1。 各位同學瞭解了嗎?接下來我們要進行兩個問題的演練。 第一個問題是,1平方加2平方加到100的平方,這n個連續正整數的平方和,該如何求得它的總和呢? 好,我們可以代入公式,這時候公式6分之n乘n加1,2n加1,這n用100代入,我們可以得到答案是338350。 接下來我們進行一個小變化,2平方加4平方加6平方,一直加到100平方,這是偶數的平方和,該如何求它的結果呢? 其實我們可以把每一項提出4,它就可以得到下面這個等號,那個等號是1平方加到50的平方,其中有50項。 我們就可以透過4乘上50個連續平方和, 那我們這50個連續整數的平方和,就可以n等於50代進去,我們可以得到6分之50乘上50加1,再乘上2乘50加1,最後得到171700。 好,接下來我們要進行n個連續正整數的立方和,這個n個連續正整數的立方和該如何構思呢? 它的結果是2分之n乘n加1的完全平方,我們來看底下的說明。 好,在螢幕上我們現在可以看出來,它總共是一個4乘4數字所形成的數字方正, 這數字方正都是可以用乘法來得到的,那總共我想大家都很清楚有16個數字,這16個數字剛好有下列的結果,我們看一下。 其中最左上角的1乘1,剛好可以寫成1的立方,接下來呢2加4加2,剛好可以表成2的立方, 接下來第三個部分呢3加6加9加6加3,又可以表成3的立方,第四個部分呢, 我們把這7個數相加,4加8加12加16,再加12再加8再加4,剛好變成4的立方。 所以左邊這個圖,其實是4乘4,這16個數字所構成的,也就是1加2加3加4乘上1加2加3加4, 而右邊紅色框框剛好可以等於1的立方加2的立方加3的立方加4的立方,我們可以有這樣的表示, 換句話說,左邊的16個數字,恰好等於右邊4個連續數字的立方和。 好,我們再進一步去推到n的情況,這個是一個n乘n的圖形,我們透過剛剛的方式,我們可以把這個圖形繼續推導, 所以最後我們可以知道呢,這n個數字的情況,那n個數字的情況其實就是,最後就是n加2n加3一直加到n平方, 再加回到n,經過化簡可以得到n立方,換句話說,左邊的n平方的數字和, 剛好這n平方的數字和,就可以表成1加2加3一直加到n相乘,同樣的1加2加3一直加到n的數字總和。 換句話說,這兩個相乘所產生的n平方的數,恰好等於右邊紅色框框從1的立方、2的立方、1加到n的立方, 所以我們就可以推到一個非常重要的公式,是1加到n的完全平方和,會等於1的立方加到n的立方, 我們整理如下,將左邊,誒,我們就可以推導出,變成2分之n乘n加1的完全平方。 接下來我們要進行兩個問題的演練,首先是第一個問題是,1的立方加到10的立方, 會等於2分之n乘n加1的完全平方,這時候n用10來代入,所以很快可以計算出答案是3025。 第二個小題呢,我們要考各位一下,是11的立方到20的立方,由於它欠缺的是1立方到10立方, 所以我們如果把原來的題目,加上1的立方到10的立方,誒,這樣呢,我們就可以得到公式的代入法, 然後再減掉1的立方到10的立方,好,經過這樣的計算,我們前面可以代入20乘上20加1除以2的完全平方, 減掉10乘上10加1的除以2的完全平方,最後結果就可以得到41075。