高中數學_矩陣_平面上的線性變換與二階方陣II_簡心怡

哈囉 各位同學 大家好 我是師大附中簡信益老師 那延續上一節課呢 我們上過了平面上的線性變換與二階方陣1 那接下來呢 我們要為大家帶一些實例 好 那讓我們一起來看103全年度大學指考的數假的題目 那我們要看的是第二部分非選的第二題 好 那這個題目是這樣的 對正整數n呢 1加i的n次方可以寫成an加上ibn 那其中呢 an跟bn都是實數 好 一共有三個小題 那我們知道前面的分數比較少 通常是前面比較簡單 那我們先看第一個題目好了 第一個題目呢 它說要求a4的平方加b4的平方 那a4的平方加b4的平方 我們看到下標寫4對不對 所以n就代4 那所以我們最直覺的做法是怎麼樣 把1加i的4次方 把n代4 好 我們來做做看 那1加i的關乎4次方呢 4次就是平方再平方嘛 對不對 我們就先把1加i的平方把它做完 那記得i平方會等於負1 所以前後消掉 中間只剩下2i 那2i的平方呢 會等於還是一樣 i平方是負1嘛 所以2i平方是負4 好 各位同學 負4可以寫成負4加0i對吧 所以10步呢 它前面的部分10步叫做負4 後面虛步的部分呢 是0 所以a4等於負4 b4等於0 所以a4的平方加b4的平方 等於負4的平方等於16 好 這一題非常的簡單 那我們看下一題 那下一題的題目呢 它說 1加i的n加1次 可以寫成1加i的n次 乘上1加i 好 經過這個式子可推的一個t 這個2乘2的矩陣呢 乘上anbn這個2乘1的矩陣 會等於an加1 bn加1這個2乘1的矩陣 那請問這個t應該要怎麼樣表達呢 好 所以你到這邊如果不知道該怎麼下手的時候 我們可以看一下題幹 題幹告訴我們說 1加i的n次方可以寫成an加ibn 那麼我們就把它整個式子代進來 好 代進來以後呢 它後面1加i的括弧n加1次方 會等於這個題幹an加ibn去乘上1加i 它乘的時候小心 尤其是遇到i乘i的時候會變好 變成負1 那我們就可以整理成 十部白起 有i的放一邊 所以an減bn加上i倍的an加bn 好 所以左邊的部分是十部 那我們知道十部它的表達方式是寫成an加1 那虛部表達方式是bn加1 因此我們可以得到 an加1等於an減bn 那bn加1等於an加bn 好 左邊這個直立的你可以直接把它 copy 下來 左邊這個寫成一個2乘1矩陣 叫做an加1 bn加1 那右邊呢 這個an減bn an加bn 要怎麼樣把它寫成一個矩陣 2乘2矩陣再乘以anbn呢 其實很簡單 你就把an跟bn蓋起來 只看它的係數 所以你會發現係數由左而右 1-1 1 1 好 所以其實我們已經找到了 那個t矩陣呢 其實就是那個 只有數字的部分 是1-1 1 1 好 第二題就做完了 好 來 各位同學 接下來我們繼續來看一下以下這個題目 好 它說呢 對一個正整數n 1加i的n次方等於an加上ibn 其中anbn它是時數 那這個題目呢 說pq兩點 是相異於原點的兩點 那麼矩陣t呢 在平面上定義 當我p乘上這個t矩陣的話 會得到p' 那q經過t運算會得到q' 它請我們證明以下兩件事情 第一件事情op'比上op 會等於oq'比上oq 那第二個事情呢 是想要我們證明 角poq會等於角p'oq' 那現在呢 我們先來看第一個證明 好 那先假設這個p點呢 叫做ab向量 q點叫做mn向量 那麼p'呢 經過t的運算 我們把它代進去 乘上一個t向量 乘上一個t矩陣 好 乘進去了以後呢 我們可以得到p'的座標 叫做a-b a加b 那同理呢 q' 我們也可以得到 m-n m加n這樣的座標 好 那接下來呢 我們再重新看一下 因為 接下來的運算呢 其實就是把剛剛的pq 還有p' q'的點呢 把它代到長度的公式裡面 好 那op'的長度呢 就是兩點s相減的平方 加上y相減的平方 所以我們可以看到 把o跟p的 o跟p'的點都代進去 好 得到了它的長度 看起來有點複雜 那這個經過運算以後 我們的分值的部分 把它全部整理開來 你會發現中間項 減2ab加2ab消掉了 所以整理到最後 可以約分 所以最後約出來是√2 那同理oq'跟oq 你把q'跟q點 都把它代到兩點距離公式裡面 一樣 仿照剛剛 所以中間項消掉以後 你會發現呢 最後約掉還是等於√2 所以我們就得到 欸 第一個想要我們證明的 op'比上op 跟oq'比上oq 這個比值是一樣的 接下來呢 那我們再來看一下 第二個希望我們證明的 那在這個證明的部分呢 它其實是想要我們證 線性變換前的夾角 跟線性變換後的夾角是一樣的 那你要算夾角的話呢 其實我們可以利用cosθ這個公式 好 cos角poq呢 它是等於op'dotoq'去除以兩段長度相乘 那內積就是左邊乘左邊加右邊乘右邊 有沒有 s分量相乘加上y分量相乘 所以會得到am加bn 那分母的部分就是長度的 那個公式把它代進去 好 我們寫成這樣 那同樣的我們希望兩個角度是一樣的嘛 所以來試試看 那另外一個角度的cos是怎麼樣呢 那一樣 把公式代進去以後 做個整理 好 整理完了以後呢 因為它的分子分母看起來都很大串 所以呢 再把它劃減一下 那同樣的它中間項都會有 一樣的部分 前後把它整理整理 那你會發現 欸 樓下√2跟√2呢 這個部分可以提出一個2 剛好跟分子的部分約掉 好 最後整理完了以後 欸 剛剛好 就等於樓上的cos角poq 就是我們剛剛整理出來的那一個 欸 既然兩個呢 餘先值它是一樣的 好 那這個時候呢 我們就可以知道 這個角度是一樣的 好 各位同學 剛剛已經證明過了 那個比例是相同的 長度的比例是相同的 那前後角度也是一樣的 那可不可以不要藉由計算 而是換個角度來思考呢 那我們來看一下這個T矩陣 1 1 負 1 1 其實把它可以劃減成 √2倍的裡面 矩陣裡面全部都除以√2 好 它全部除以√2會變成 √2分之一 √2分之一 負√2分之一 √2分之一 欸 它剛好可以整理成 就是一個旋轉矩陣的樣子 逆時針旋轉45度 對吧 那既然是 原來T的作用就是逆時針旋轉45度 然後外面成了一個√2倍 那麼我們就可以把它想成 因為把三角形OPQ以O為原心 以O為中心逆時針旋轉45度 那當然你旋轉以後的角度 是不變的 再來長度一起放大√2倍 那後來的長度比 比上原本的長度 當然比值也會相等 好 那另外一個角度怎麼辦呢 另外一個角度我們同樣做一樣的方法 如果我可以算出cos 的角P' or Q' 如果跟剛剛我叫你記住的那個 算出來是一樣的 那我們不就證明成功了嗎 好 來做做看 OP' dot OQ' 好 一樣左乘左加右乘右 上面有好多項對不對 你要細心的檢查 因為其實有正負可以抵消的 好 我們分母的話 剛剛做過了嘛對不對 一樣中間項會被我們消掉 好 我們可以整理到左邊這個式子 好 那個兩倍 分值的兩倍 跟樓下的√2√2 其實可以提出一個二對不對 上下約分 那約分完以後你發現 哎呀 這寫出來的東西 不就跟我剛剛叫你記住的是一樣的嗎 那所以我們證明完畢了 那今天的題目呢 雖然是有一點點的複雜 那其實這類型的題目 當你不知道的時候 從定義下手 慢慢的解 只要你有耐心 其實是可以做完的 那我們今天的課程 就到這裡告一段落 希望大家回去好好的複習哦 謝謝大家