高中數學_矩陣_任意三角形的線性變換I_簡心怡

好,各位同學大家好,嗯,我是師大附中簡欣益老師,今天呢要為大家講解的是任意三角形的線性變換1。 好,各位同學,那接下來呢我們就以原點為頂點的平行四邊形的線性變化從這邊來切入。 好,那假設m跟p呢是二階方正,那由前面的引理2呢,我們都知道mp 相乘的底特米呢,會等於m的底特米乘上p的底特米,也就是說我想要知道mp相乘的行列式, 我就把各自的行列式拿來相乘,那其實因為我們左右兩邊同時加絕對值呢,並不會有影響, 所以可以得到,我現在寫底特米mp加個絕對值會等於底特米m加上絕對值再乘上底特米p加絕對值。 好,那我們先來做一下定義,o為原點,那麼我給定a點叫做a1a2, b點叫b1b2,那a'點是a1'a2', b'點叫做b1'b2'. 所以呢,我就假定這個p呢,為一個oa向量ob向量把它擺橫的,把這個 1乘2的這個向量呢,把它擺橫的放進這個2乘2的矩陣,我們這樣製造,那所以呢, mp,mp呢就是oa'ob'把擺橫的做,一樣製作成一個2乘2的矩陣, 得到a1'b1', a2'b2'. 好,那這個時候呢,底特米p加絕對值,其實是代表oa向量和ob向量所夾的平行四邊形面積, 那同理,底特米mp再加絕對值,代表的是oa'和ob'所夾出來的平行四邊形面積, 好,給大家看一下圖,好,藍色的部分呢,是oa跟ob它做出來的面積,好,面積是2, 好,綠色的部分呢,是後來對應出來的,好,綠色這個面積,它面積是10, 那你也可以看一下,欸,剛好我們的面積比有講過喔,面積比剛好跟底特米m再加絕對值有關, 那它的底特米m呢,算出來是5,好,所以原來的面積2乘上這個5,剛好是綠色這一塊的面積, 好,來,各位同學,那接下來老師演示這個剛剛的立體的圖形給大家看看, 好,你可以看到藍色這個平行四邊形呢,是由oa向量和ob向量所延展出來的平行四邊形, 它的面積是2,好,那它相對應,對應過去的是綠色的這一個平行四邊形,面積是10, 那它們乘幾倍呢,欸,這個5倍,剛好是m的行列式的絕對值倍, 好,我們希望呢,可以把這樣的概念,去類化到三角形的部分, 好,接下來呢,我們把它縮一半了,剛剛在講平行四邊形,對不對, 接下來呢,我們以原點為頂點,好,做出來的三角形,它的線性變換是怎麼樣的呢? 因為剛剛說過,三角形不就是平行四邊形去切一半嗎? 好,所以我們把剛剛的做法呢,都除以2,好,所以呢, 1的determinant p加絕對值,代表的是oa跟ob所夾出來的三角形的面積, 好,同理,1的determinant p加絕對值,代表的是oa跟ob所夾出來的三角形面積, 好,那因為這個我們之前學過嘛,這個面積比的公式是這樣子寫, 那麼左邊式子跟右邊式子同乘1的時候,不影響, 可是你會發現,左邊這樣的寫法,其實就是三角形oa、b的面積, 那右邊的寫法呢,就是三角形oa、b的面積,它一樣中間差的倍數呢, 同樣的是determinant m加絕對值,好,給大家看一下這個GGB的圖, 好,它給你了一個原本小小的oa、b三角形, 好,那因為這個m呢,它的行列式算出來是-3,各位小朋友要特別注意, 面積沒有負的,所以你在看面積比的時候,我們說後來是原本的3倍, 記得加絕對值,好,各位同學,那老師示範一下, 以原點為頂點的三角形線性變換,看看它們的面積會有什麼樣的比例方式呢, 好,現在老師左邊這個粉紅色三角形呢,面積是2, 那它對應過去的右邊這個綠色的三角形呢,它的面積是6, 好,這個2和6呢,其實是乘了3倍,你可以發現呢,矩陣m呢,它的行列式是-3, 記得哦,面積沒有負的,所以我們要加個絕對值,是3倍, 那是不是,我們來改變一下它的a點,好,當我的a點呢,慢慢的移動, 好,慢慢的移動,你會發現它的面積呢,也會呈現3倍,是這樣子的,好的, 好,接下來我們看任意三角形的線性變換, 剛剛一直在強調的是其中一個頂點,三角形其中一個頂點是原點, 那現在如果三個頂點呢,都不是原點怎麼辦呢, 好,m是一個行列式不為0的二解方陣,好,那三點呢,a、b、c都不是原點, 我們令作用之後的都給它撇一撇,也就是ma等於a'、mb等於b'、mc等於c' 好,那我們剛剛學的那個面積比公式,是否會依然成立呢, 好,因為現在已經三個點都不是原點了,那再來,這三角形呢,轉換過去以後, 還會是相似的嗎,還是相似三角形嗎,好,給大家看這個例子, 這個例子顯示呢,這個藍色三角形是變換前,它變換過去以後是綠色, 我們光是看那個角度,左邊的是直角三角形,右上角的不是直角三角形, 我們就發現它不是相似的,不過看看它的面積,好,原本的面積是1,後來的面積是5, 那它們差了5倍,這個5倍呢,剛好就是我們的行列式,有沒有,determine m,它就是5, 哦,所以感覺上倍數是ok的,可是相似三角形嗎,就不一定囉, 好,各位同學,接下來老師來演示一下任意三角形區域的線性變換給大家看看, 好,我們可以看到呢,這個是任意一個三角形,這個小藍色呢,它剛好是一個直角三角形, 好,可是經過變換以後呢,它並不是相似形哦,有沒有看到,它是沒有直角的哦, 那所以呢,我們前面說過的,誒,這個變換,先看一下它的面積, 它的面積呢,小藍色是面積1,那變換過去的面積是5, 它一樣會有一個面積比的那個比例,就是我們的行列式取絕對值這個5倍的關係, 可是,要小心哦,它的面積呢,面積雖然是乘這樣子的比例, 可是它的線段的比例,就不一定會是相同的, 線段比的比例不一定相同,所以它也不一定是相似形, 好,以上就是老師為大家所做的演示,好,再看一個例子好嗎, 有一個三角形ABC,它頂點都給你了,都不是原點, 好,那對應過去的A' B' C' 這個三角形面積是原來的幾倍, 好,給大家看一下,因為呢,這個M呢,它的行列式是5, 好,所以呢,看到它的圖形,好,左邊這個藍色三角形,其實呢, 好,我們現在把OB連線,還有OA' OB' OC' 全部都把它連線, 老師要你們看看的是呢,先看左邊藍色三角形,它其實等於 三角形OBC加上三角形OAB這兩塊, 把它相加以後,減掉左下角白色的三角形OAC, 同理,綠色三角形怎麼做呢,其實它就是把OA' B'這一塊, 加上隔壁的OB' C'這一塊, 去減掉下面這個三角形OAC',為什麼要這麼麻煩的寫法, 因為你會發現,我們剛剛前面已經講過,如果你有一個頂點是原點的話呢, 它一定會保持那個5倍的關係,保持那個determinant倍的關係, 所以三角形OAB' B' 其實可以寫成5倍的三角形OAB, 同理,三角形OB' C' 可以寫成5倍的三角形OBC, 最後,三角形OAB' C' 可以寫成5倍的三角形OAC, 那大家都有5倍囉,我們就把它提出來, 那提出來後面的寫法你有沒有發現,就跟我們第一行算式是一樣的, 也就是剛好等於5倍的三角形ABC, 用這樣的方法你可以去印證,任何一般的三角形呢,它其實都有這個 面積比公式的,都是符合面積比公式的, 好,那我們再來看看,所以這個是依然成立的, 只是,就不一定是相似三角形,以這個例子來看,這兩個三角形不相似, 所以對應邊長不一定成比例, 好,注意喔,任意凸多邊形,都是三角形的組合嘛,我們都可以把它做切割, 做切割完以後,我們就可以用剛剛的,我們驗證的東西, 所以是滿足線性變化面積比的關係, 所以今天的課程呢,就到這個地方告一段落了, 回家一定要多多練習,謝謝大家。