高中數學_複數的幾何意涵_棣美弗定理_吳汀菱

各位同學大家好 這一段我們要介紹的是蒂美佛定理 我是吳廷琳老師 蒂美佛定理呢 先不要管它 我們來看一下我們剛剛講的乘法的推廣 第一個 如何計算根號 3i 加十 的十次方 它的值要怎麼算 那這個 根號 3 加 i 這是兩項 它的十次方我們以前在高一學過 可以用二項式定理喔 對不對 二項式定理可以寫出它的每一項 哇 可是這樣寫出來有十一項 非常的複雜 而且根號 3 的九次方 根號 3 的十次方還要分別計算 那有沒有更快的法子呢 好 因為呢 複數的乘法我們用即式可以很快 所以我們試試看即式好了 好 今天把根號 3i 化為即式 根號 3i 的位置 根號 3 加 i 根號 3 加 i 它在這裡 長度是 2 根號 3 跟 i 所以這裡是 30 度 我們寫成 2 cos 六分之π 加 i sin 六分之π 那這個東西呢 就是我拿 根號 3 加 i 再乘根號 3 加 i 如果它自己再乘自己一次 這個二次方 欸 我們的長度是不是就會變成原來的兩倍 因為它乘上的是 2 然後呢 角度呢 是不是就會再加六分之π 所以這裡變兩倍 所以這個地方如果是根號 3 加 i 這個地方就會是根號 3 加 i 的平方 那如果再一直下去呢 欸 三次方就再伸長兩倍 再旋轉 然後再伸長兩倍 再旋轉 如此這般一直下去到十次方的時候 是不是兩倍兩倍兩倍兩倍 欸 變成 十次方 二的十次方 角度呢 一直加下去 一直加 加了十次 是不是就變成十倍 欸 好像有一個規律對不對 好 這個呢 有一個偉大的數學家叫做蒂美佛 同學他不是女生 不是有美就是女 這是翻譯的蒂美佛 這個他提出來蒂美佛定理就是說 我一個複數的任意次方 如果化為極式的話 它的 n 次就會是長度這個絕對值的 n 倍 角度呢 n 次方 角度會 n 倍 有這樣子的性質 而且呢 它的這個 n 次是對於所有的自然數都是對的 那因為我們剛纔是一項一項一項的遞迴 所以得到的這個所有的正整數都符合的話 我們的證明呢就會採取 數學歸納法 因為有遞迴 又對於所有的正整數 那下面呢 老師用數學歸納法來為大家證明 好 若這個 z 的極式表示為 r 倍的 cosθ 加 i sinθ 那對於任意的正整數 n 我們要證明 z 的 n 次方也會是 r 的 n 次 再乘上 cosθ 加 i sinθ 好 數學歸納法呢就是兩個重點 一個就是第一個一定要成立 然後呢 第二件事我要證明 前面那個成立的話 就可以使得我後面那一項成立 那這樣第一個成立 然後呢 每一項又可以使得下一項成立 所以 1 可以使得 2 成立 現在 2 對了 又可以讓 2 去使得 3 對了 3 對了 再使得 4 去對了 所以我們要證明這兩個部分 好 第一個 n 是 1 的時候當然成立囉 因為一次方就是自己 那接著呢我們就要假設 第 k 項的時候是對的 好 那麼下一項 k 加 1 的時候呢 會不會也有這樣子的結果 好 所以我們得假設 k 這個式子是對的 那我要 k 加 1 次 因為我剛纔有 k 次 所以我化為 z 的 k 次乘上 z 那 z 的 k 次剛剛說這個是對的啦 所以我把它用進來 然後再乘上一次的時候呢 我們 a 可以用乘法開始來乘開 變成 cos kθ 乘上 cos θ 然後呢沒有 i 的話是這兩項相乘 所以是 i 平方的 sin kθ 乘上 sin θ 那有 i 的部分是這一個乘這一個 加上這一個乘這一個 我們把 i 提出來 所以是 cos kθ sin θ 加上 sin kθ 乘上 cos θ 欸 這裡呢再發現 cos cos-sin sin 是不是 cos 的合角公式 這裡 cos sin sin cos 是不是 sin 的合角公式 所以果然可以把它變成 k 加 1 倍的 θ k 加 1 倍的 θ 而且長度是 k 加 1 倍 使得 k 加 1 的時候也成立 欸 這兩個部分證完了 所以用數學歸納法就可以得證 我的蒂美佛定理是對的囉 好 再來我們來做個練習好了 像 1 減 i 的 18 次方要怎麼計算呢 好 第一個當然還是我們剛剛所說的 二項式定理 這邊老師不再示範 第二個呢這個 1 減 i 比較特別 1 減 i 的平方有一個特性 我們看一下 1 減 i 的平方把它全部乘開 1 平方減 2i 加 i 平方 這個 i 平方是負 1 所以它會跟 1 消掉 所以 1 減 i 的平方就會是負 2i 欸 那既然它的二次方是負 2i 所以 18 次方可以被我化減為 這個二次方的 9 次方 所以變成負 2i 的 9 次 欸 那就非常的容易是 512 的 i 的 9 次方再加個負號 那 i 的 9 次因為 i 每 4 個一循環 所以 i 的 9 次就是 i 所以答案是負的 512i 好 接著我們再用蒂美佛定理來試著做做看 蒂美佛定理就是要先把 1 減 i 化為 即是很好 1 減 i 呢是 1 減 i 在第四向線 它的 1 跟 1 所以長度是根號 2 那我們提出根號 2 之後變成根號 2 減 1 這樣子 那因為它在下面所以這個主浮角是負 45 度 好 我們寫成這樣子的即是 現在我要 18 次方 所以長度會 18 次 角度會 18 倍 長度 18 次變成 2 的 9 次 那角度 18 倍呢這邊變負的 2 分之 9 拍 負的 2 分之 9 拍就是 負 4 又 2 分之 1 拍 所以就變成負的 2 分之 1 拍 那 512 乘上 cos 負 負的 2 分之拍加 i sin 負的 2 分之拍 這個負 2 分之拍就是負 90 多 所以其實呢它是在 這個 270 的地方 那 270 的地方長度為 1 的就是負 i 所以是 512 乘上 0 減 i 答案就是負的 512i 跟剛才方法 2 是一樣的答案 好 那老師再偷偷改一下 如果是負 18 次方行不行 可是我們剛才的定理否定理 是不是對於 n 為正整數纔可以的呢 所以如果今天有負號怎麼辦 同學很聰明 有同學說 老師我可以先算 1 減 i 的負 1 次方啊 1 減 i 的負 1 次方就是導數啊 剛才我們有做過導數的方法 求出導數之後再用蒂美佛 對的 非常好 你好聰明 那現在呢我們來看一下就是這樣子的想法 好 這個導數是 1 分之 1 那剛才已經換算過 它的導數就會長度變成 1 分之 1 角度呢加一個負號 所以今天我的負 18 次方 如果這個變負 1 次 角度變負 1 倍 所以如果 18 次方的話 就是把這一個用 18 次方 18 次方就可以套用蒂美佛定理 所以是長度的 18 次 角度的 18 倍 這個 n 就可以把它乘進去 所以呢 其實你有沒有發現 次方變負 n 角度變負 n 倍 所以其實這個 蒂美佛定理是可以推廣到 次方為負的整數的 是可以的 好 那我們就利用這個結果來直接計算 前面都一樣 化為即是 但是呢角度跟 邊長現在都是負 18 次跟負 18 倍 那這邊因為多了一個負 所以是 512 分之 1 角度呢就沒有負號 那這是 4 拍再加 2 分之拍 所以變成 90 度的位置 那 90 度的位置呢 是 0 加 i 所以它是 512 分之 i 好 那剛才的 18 次方是負的 512i 現在呢負 18 次是 512 分之 1i 欸 這兩個乘起來是不是剛好 i 乘 i 是負 1 約起來是 1 沒錯的 所以這個負數呢也滿足我們的指數律 這個正的次方跟負的次方相乘是 1 好 最後一個題目 我們來看一下這也是學校的參考題 求最小的正整數 n 使得這個負數 1 減 i 分之根號 3 加 i 的 n 次方 它的數值呢希望它是一個正數 好 同學剛才我們曾經做過 這個乘完的結果會是負十數 那我們知道它就在 x 軸的負項 那今天就是乘完的結果是正數 正數在哪裡 欸 是的 正數在 x 軸的正項 所以我今天希望它是正數的話 是不是就是它最後的主幅角呢 會是 0 度或 0 度的同階角 對 那我們這邊就使用 極式來解它 因為這個 n 次方就可以利用蒂美佛定理 那首先我們將根號 3i 化為極式 這個長度是 2 角度是 6 分之 pi 那下面呢 1 減 i 是根號 2 的 cos 負 45 加 i sin 45 那我們可以先處理這裡面的相除 再來 n 次方 相除的話 長度是相除 2 除以根號 2 得到 2 然後角度的話呢 6 分之 pi 減負的 4 分之 pi 所以我們得到 12 分之 5 pi 那它的 n 次方希望是正數 那剛才講了 今天希望是正數 那所以這個蒂美佛定理 這個 12 分之 5 pi 的 n 倍 12 分之 5 pi 的 n 倍 就希望它是 0 度的同階角 那也就是說 12 分之 5 pi 乘上某一個數 就會是一個 2 的整數倍 那我們來湊湊看 這個 n 至少要 12 可是 12 的話它就不會是偶數 那所以我們給它 2 倍 這個 n 是不是至少要 24 纔行 所以最小是 24 所以這一題的答案呢 最小正整數為 24 它乘出來的結果就會是一個正數 這個小節呢我們講了蒂美佛定理 它就是把這個 負數的乘法和除法呢 推廣到 n 次方 那我們也做了 n 次方可以推到負的 n 次方 都可以使用蒂美佛定理 那乘跟除混合使用的話 這個題目要怎麼去進行 同學要記得即是要寫對 然後呢加法跟除法 的運用要熟練 我們這一節到此結束