動力學_許丁友_質點運動學(1)_直線運動學：連續運動(1)

各位同學大家好,我們今天要講的單元是指點運動學,就是希望當我們把一個物體簡化成一個指點的時候 我們怎麼樣去描述這個指點它的運動的方式,那我是臺灣科技大學營建系許丁友 好,那首先我們來看這個單元我們要學習的目標跟大綱是什麼 那我們一開始會從最基本的就是直線運動的運動學來跟大家做介紹 那第一個部分是有關聯繫運動的時候,就是說當我們運動的方式是一直維持同樣一種方式的時候 我們怎麼樣做它的分析,那再來就是如果當我們還是直線運動 但是我們的運動的方式會變化,可能會分段會不同的情況,我們叫它不規則運動,那我們怎樣做分析 好,那我們今天就先開始介紹指點運動學連續運動的部分 那今天當有一個車子在做直線運動,那我們把它簡化成一個指點來做描述的時候呢 那基本上這個指點的運動,我們可以用任何一個時間,它的指點的位置,速度跟加速度 就可以來完整描述它運動的方式,那首先我們介紹位置的部分 一個指點的直線運動的路徑呢,我們可以用下面這張圖,就是一個單一座標,一個S軸座標來定義它 這個S軸座標的有一個原點O,然後這個指點目前位在S的部分 那S這個東西呢,這是一個位置,它是向量的東西,所以它同時具備大小還有方向兩個性質 那以目前這個例子來看的話,它的大小就是S的長度,它的方向就是向右 那位移的概念就是說位置的改變量,那如這個圖裡面,這個指點目前是在S的位置 然後下一個時間點呢,它可能往右變化了一個距離,變到了S'的位置 那所謂位移呢,就是ΔS,就是你後來的位置S'去減掉原來的位置S 那這個位移呢,它也是一個向量,那它還有另外一個概念叫做移動距離 就是說它移動路徑的總長度,那它就是一個存量而已,它的值永遠都是正的 然後再來就是有關速度還有速率的介紹,我們現在假設一個指點在某一段時間,Δt的時間內 它位於了ΔS,那這一段時間內,它的平均的速度呢,我們就寫成V下標AVG,AVG就是average的縮寫 它就會等於ΔS去除以Δt,剛剛是平均速度,那順時速度它就定義就是說 當我們這個Δt趨近於無限小的時候,我們可以寫成這個式子 或者是我們可以用微積分的形式來寫,比較簡化,寫成V等於dS除以dt,V就是順時速度 好,那平均速率的話,它跟定義就是不同了,它是定義是說 它的總路徑長度ST,T是total的意思,去除以它我們現在花費的時間Δt 好,那我們就可以把它寫成V下標SP,SP就是speed的縮寫,然後下標AVG就是平均的意思 會等於ST去除以Δt,那我們用這兩個例子來解釋 左邊這個圖呢,它原本在P的位置,然後經過了一段時間,它先往右移動再往左移動 到一個P'的位置,那它的路徑就是ST這麼長,先往右再往左 那它的位移就是ΔS,就是P'減到P,然後右邊這個例子呢,它往右移動的比較多再回來一樣的位置 同樣回到P'的位置,那它的路徑長ST就會比左邊那個大的多 但是它因為同樣回到P'的位置,所以它的ΔS是一樣的 也就是說這兩個例子裡面呢,兩個人的速度會是一樣的 但是它的速率算起來會是不一樣的,右邊的會比左邊的要大得多 再來看加速度,我們現在假設指點我們任兩點的速度是已知的 那這兩點它的時間變化是Δt,在Δt內的平均加速度的定義呢 就會寫成A-Average會等於ΔV去除以Δt,那順時加速度呢 就會等於A等於limited,ΔV去除以Δt,但是Δt是接近零的時候 或者我們可能要寫成A等於dVdT,那我們剛剛知道說V等於dSdT 我們把它代入這個公式2裡面,就可以發現A會等於dS的,對dT的兩次為分 好,那另外一個,如果我們把V等於dSdT把它移向,就是兩邊同乘dT 然後再把V,兩邊同除V,就可以得到dT等於dS除以V 然後我們剛剛又把加速度等於dVdT,我們做同樣的步驟 我們把它寫成dT會等於dV除以A,那這兩個東西都是dT,所以是相等的 所以dS去除以V會等於dV除以A,然後再把它整理一下,同乘A跟同乘V 就可以得到這個式子,是位移速度還有加速度的為分關係 變成A抵S等於V抵V,這個是公式3 那再來我們看看一些就是特例的情況,就是等加速度運動 那顧名思義就是當加速度是定值的時候,那我們剛剛有得到三個公式 公式1、公式2、公式3,又可以直接做積分 得到加速度、速度、然後位置還有時間的關係 那加速度我們寫成AC,C是constant的意思,就是它是定值的意思 那我們來看看如果我們把速度表示成時間的函數的話 那我們剛剛說加速度是dV除以dT,那我們把它做積分 然後再假設適當的初始條件,當T等於0的時候,速度是V0 那我們先把剛剛A等於dVdT把它整理成這個形式 變成dV等於A乘上dT,等於說我們把兩個微分子 dV跟dT變成等號的兩邊,然後再把A移到dT的這部分 我們就可以來做積分,得到這個式子,那這個積分的式子 它有初始值,就是說左邊是從速度是V0的時候,積到某個變數V 右邊是當時間等於0的時候,積到某個時間點T 那這個東西做積分,就可以簡單得到這個式子,就等於 V會等於初始速度V0加上你的加速度乘上時間T 那這個是等加速度纔可以有的形式 那同樣的我們也可以把位置表示成時間的函數 我們剛剛知道說V等於dSdT 那剛剛我們已經把V等於V0加AT把它寫出來了 那我們把這個式子做積分,同樣我們假設它有一個初始條件 就是時間是0的時候,它初始位移是S0 然後上面這個式子呢,我們把它整理一下 同樣把dS跟dT弄到等式的兩邊 然後我們做積分,帶初始條件 那我們就可以得到S等於S0加上V0T加上1二分之1ACT平方 同樣這個也是等加速度的時候,我們就可以直接用這個公式 好,那如果我們把速度也可以表示成位置的函數是怎麼樣呢? 就是用剛剛第三個公式,ADS等於VdT,VdV 然後我們做積分,同樣我們假設初始條件就是 當位置是一開始是S0的時候,速度是V0 然後做積分之後呢,左邊是VdV的積分 然後所以積分出來就是1二分之1V平方,然後我們再帶V0到V 右邊是AC是常數,所以積分底S就會得到S 然後再帶它的初始條件S0然後到S 這個時候我們把它計算完就會得到這個式子 就會變成V平方會等於V0平方加上兩倍的加速度乘上S減掉S0 那同樣的這個也是在等加速度的時候纔可以使用這個公式 我們這個單元呢主要是介紹我們運動學一些基本的名詞 然後呢我們再介紹說我們位移、速度、加速度 還有時間它們之間的關係是什麼 然後最後呢我們假設如果它是等加速度的時候 我們這些公式會是怎麼樣的簡化的形式 那以上就是我們這個單元的介紹