高中數學_排列組合_邏輯與集合_集合的基本運算(II)_翁玉華

各位同學大家好,接着我們來學習集合的基本運算二 我是翁玉華老師,首先我們先回顧一下在上一個單元 我們介紹集合的基本運算,交集,連集跟差集 首先先看一下左邊第一個文字圖 斜線區域代表的是在A集合裏面 同時也在B集合裏面,我們稱它是A跟B的交集 再來看中間的文字圖 A集合的區域跟B集合的區域聯合起來的部分 我們稱它叫做連集 再來看最右邊的文字圖 A集合裏面的,扣掉B集合相關的 我們稱它叫做差集,是A差集B A差集B其實就是A扣掉A交集B 同學們如果忘記的話可以點回上一個影片再複習一下哦 接着我們繼續介紹語集跟補集或稱爲語集 當我們探討的集合都是某個集合U的子集時 我們就稱U爲語集 就很像是我們每一個人都是這個宇宙的一份子 所以我們要探討集合的時候呢就要先確定我們的宇宙是誰 再來集合A是語集U的子集 在語集U中所有不屬於A的元素所形成的集合 我們就稱爲A在U中的補集或稱爲語集 記號是AC或A' 以文式圖表示就是像右上方的這一塊一樣 黃色的U的部分呢是我們的語集 然後A集合是紅色的部分 那A集合以外的部分呢也就是綠色的A' 也就是我們的補集 老師這裏呢舉一個例子來演練看看大家有沒有理解補集 首先第一個例子 一到一百的正整數中 是四的倍數有幾個呢 大家想一下哦 好我們知道四的倍數就是四八十二點點點一直到一百 每四個一數就會有一個四的倍數 所以我們把一百除以四就有二十五個四的倍數 那麼接下來第二個問題就是 在一到一百的正整數中 不是四的倍數又有幾個呢 大家想一下哦 好不是四的倍數像一二三 這些都不能被四整除 那麼五六七也是一樣不能被四整除 但是我們要怎麼算這些呢 好我們就可以利用剛剛補集的概念 首先一百里面是四的倍數我們剛剛已經算過了就是二十五個 那麼一百里面 是四的倍數跟不是四的倍數我們就可以這樣子算 一百減掉二十五就是七十五個不是四的倍數 那這個球 集合的技術方式呢 其實就是我們補集的概念 在右邊這個圖 A集合裏面代表的就是 四的倍數 那麼在U集合一到一百里面 不是四的倍數就是綠色的這個區塊 那就可以用一百扣掉二十五 就可以算出來七十五個了 好接下來我們介紹語集跟補集的性質 首先我們以描述法來表示 A的補集A' 也就是A'裏面的元素 符合了X屬於U是語集的一份子 但是X不屬於A 不在A裏面 所以就是斜線區域 那麼補集還有什麼性質呢 首先 U差集A就是A的補集 第一個 第二個 A跟A的補集沒有交集 所以它的交集就是空集合 第三個 A跟A的補集聯集起來就是整個U 第四個 A的補集再補集一次 那就是A本身 那像這些數學的式子呢 其實如果有一個很棒的 詩來幫助大家記憶的話是不是很好呢 這裏馬上就有一首 老師來唸給大家聽 補集之詩 語集減我是補集 我跟補集沒交集 我連補集是全部 補集再補我自己 大家可以配合剛剛的性質 然後再搭配這首詩 就可以很輕鬆的記起來補集的性質 接着我們來介紹 集合的迪摩根定律 像之前我們在 敘述邏輯的時候呢也有介紹過 迪摩根定律 我們接着用文氏圖的方式再講一次 首先是第一個圖 它的斜線區域是在A的外面 所以就是A的補集 第二個圖呢 是在B集合的外面 所以是B的補集 我們把這兩個補集 連集起來 大家就會得到這一個圖 這一個圖的斜線區域呢 就是A的補集連集B的補集 那大家可以觀察到 它其實沒有畫斜線區塊的 是不是就是中間的交集的部分 所以我們又可以把它寫成 A交集B的整個括號的補集 這樣大家有明白嗎 接下來我們用同樣的圖 再說明第二個迪摩根定律 首先第一個還是A的補集 B的補集第二個圖 我們接下來把它們交集看看是哪一個區塊呢 交集的部分是兩個圖形共同有的部分 所以是這一個斜線區域 那既然它都是在A的外面 同時也要在B的外面 那它就不會在A跟B的裏面咯 那麼A跟B的裏面呢就是A跟B的連集 所以把整個先連集起來 再一起做補集的動作 就會等於D最右下角的那個圖了 好老師幫大家整理一下迪摩根定律 第一個A連集B整個括號的補集 可以用A的補集交集B的補集來表示 A交集B整個的補集可以用 A的補集連集B的補集來表示 那麼這個符號呢是不是讓大家很難記憶呢 所以老師這裏給大家一個很簡單的記法 當你要把補集的符號分配進去的時候 記得要把交集換成連集連集換成交集 然後再配合文式圖的思考 就可以把迪摩根定律好好的記起來咯 接着我們來介紹集合的元數個數有一個符號 是我們之後計數的時候常常會使用的 當集合A包含有限個元素的時候 我們用符號N of A表示集合A的元素個數 這個N的這個記號呢就很像是number 你就知道數A集合裏面有幾個元素 老師這裏給大家兩個例子 第一個例子 如果A集合裏面有1,2,3,4,5,6 有6個元素 所以我們就用記號N of A等於6來表示 A集合裏面有6個元素這件事情 第二個例子 若B集合裏面的元素代表着 X是正整數而且X是小於51的 那同學們想一下 那這樣子的X有幾個呢 因爲正整數就是從1開始的數 所以1到50都是在B集合裏面 這裏要注意一下哦 X小於51它是不可以等於51的哦 所以X呢就只能從1,2,3,...到50 所以B集合裏面的元素個數就是50 我們在數學的記號就是N of B等於50 那這裏呢老師要再來那個複習一下 元素集合裏面的元素呢 我們不在意它的順序也不在意它的出現次數 也就是說如果它裏面有出現三個1 我們都還是在計算的時候還是算一個1而已 最後我們要來 應用這個元素個數來計算G集合的個數 假設A跟B是兩個集合 集合A乘B裏面的元素呢 都是由A跟B集合裏面元素做搭配的 它裏面的元素是一個數對的形式 就是X跟Y這個數對 其中X是A集合裏面的元素 Y是B集合裏面的元素 這樣子的集合我們稱爲A跟B集合的G集合 例如A集合裏面有兩個元素1跟2 B集合裏面有三個元素ABC 我們現在要把A集合跟B集合乘起來 就會得到裏面有六個元素1A 1B 1C 2A 2B 2C 這六個元素 大家可以從定義裏面發現一個很重要的性質 也就是G集合裏面的元素個數 是由A集合裏面的元素個數搭配B集合裏面的元素個數 所以就會有以下綠色的公式 G集合元素的個數等於A集合的元素個數乘上B集合的元素個數 這個在接下來我們的技術原理裏面 懲罰原理裏面我們就會再仔細的探討這件事情 今天的課程就到這裏我是翁玉華老師謝謝大家